Сумма цифр от 1 до 100: От 1 до 1 000 000 000

09.12.2018

Содержание

Сумма чисел от 1 до 20. Занимательная математика: правило Гаусса

помогите пожалуйста!! вычислите сумму натуральных чисел от 1+2+3+4+…+97+98+99+100. и получил лучший ответ

Он определил, что при сложений натуральных чисел от 1 до 10 получается 5 таких пар, и что 5 раз по 11 равно 55.
Гаусс увидел, что сложение чисел всего ряда следует проводить попарно, и составил алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар.
2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101.
3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.
Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.
Простая формула: сумма чисел от 1 до n = n * (n+1) : 2. Вместо n подставляйте последнее число и вычисляйте.
Проверьте! Это работает!

Ответ от Ђаня Фертикова [новичек]
5050

Ответ от Михаил Медведев

[активный]
5050

Ответ от Павел соломенников [новичек]
5050

Ответ от Алевтина башкова [новичек]
5050

Ответ от Ђигр Тихомирова [активный]
5050

Ответ от Мария дубровина [новичек]
5050

Ответ от Ѐавил Бадиров [новичек]
5050

Ответ от Дмитрий [активный]
5050

Ответ от Евгений Саяпов [активный]
5050

Ответ от 2 ответа [гуру]

Содержимое:

Целые числа – это числа, не содержащие дробную или десятичную часть. Если в задаче требуется сложить определенное количество целых чисел от 1 до заданного значения N, то их не нужно складывать вручную. Вместо этого воспользуйтесь формулой (N(N+1))/2, где N — наибольшее число ряда.

Шаги

1 Определите наибольшее целое число (N). Суммируя целые числа от 1 до любого заданного числа N, вы должны определить значение N (N не может быть десятичным числом или дробью или отрицательным числом).
- Пример. Найдите сумму всех целых чисел от 1 до 100. В этом случае N=100, так как это наибольшее (и конечное) число данного вам числового ряда.
2 Умножьте N на (N +1) и разделите результат умножения на 2. Когда вы определили целое значение N, подставьте его в формулу (N(N+1))/2 и вы найдете сумму всех целых чисел от 1 до N.
- Пример. Подставьте N=100 и получите (100(100+1))/2.
3 Запишите ответ. Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N.
- Пример.
  - (100(100+1))/2 =
  - (100(101))/2 =
  - (10100)/2 = 5050
  - Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050.
4 Вывод формулы (N(N+1))/2. Еще раз рассмотрим вышеописанный пример. Мысленно разделите ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 на два ряда — первый от 1 до 50, а второй от 51 до 100. Если вы сложите первое число (1) первого ряда и последнее число (100) второго ряда, то вы получите 101. Вы также получите 101, если сложите 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97, и так далее. Если каждое число первой группы сложить с соответствующим числом второй группы, то в итоге мы получим 50 чисел, каждое из которых равно 101. Поэтому 50*101 = 5050 — сумма чисел от 1 до 100. Обратите внимание, что 50 = 100/2 и 101 = 100 + 1. На самом деле это справедливо для суммы любых положительных целых чисел: их суммирование можно разбить на два этапа с двумя рядами чисел, причем соответствующие числа в каждом ряду могут быть сложены друг с другом, а результат сложения будет одинаковым.
- Можно сказать, что сумма целых чисел от 1 до N равна (N/2)(N+1). Упрощенная запись этой формулы есть формула (N(N+1))/2.

Вычисление суммы чисел, расположенных между двумя числами, посредством суммы от 1 до N

1 Определите вариант суммирования (включительно или нет). Часто в задачах вместо того, чтобы найти сумму чисел от 1 до заданного числа N, просят найти сумму целых чисел от N 1 до N 2 , где N 2 > N 1 и оба числа > 1. Вычислить такую сумму довольно просто, но, прежде чем приступать к вычислениям, вы должны определить, включаются ли данные числа в N 1 и N 2 в конечную сумму или нет.
2 Чтобы найти сумму целых чисел между двумя числами N 1 and N 2 , отдельно найдите сумму до N 1 , отдельно найдите сумму до N 2 и вычтите их друг из друга (вычтите сумму до меньшего значения N из суммы до большего значения N). При этом важно знать, суммировать ли включительно или нет. При суммировании включительно вы должны вычесть 1 из данного значения N 1 ; в противном случае вы должны вычесть 1 из данного значения N 2 .
- Пример. Найдем сумму («включительно») целых чисел от N 1 = 75 до N 2 = 100.
  Другими словами, мы должны найти 75 + 76 + 77 + … + 99 + 100. Чтобы решить задачу, мы должны найти сумму целых чисел от 1 до N 1 -1, а затем вычесть ее от суммы чисел от 1 до N 2 (запомните: при суммировании включительно мы вычитаем 1 из N 1):
  - (N 2 (N 2 + 1))/2 — ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
  - (100(100 + 1))/2 — (74(74 + 1))/2 =
  - 5050 — (74(75))/2 =
  - 5050 — 5550/2 =
  - 5050 — 2775 = 2275. Сумма чисел от 75 до 100 («включительно») равна 2275.
- Теперь найдем сумму чисел без включения данных чисел (другими словами, мы должны найти 76 + 77 + … + 99). В этом случае мы вычитаем 1 из N 2:
  - ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 — (N 1 (N 1 + 1))/2 =
  - (99(99 +1))/2 — (75(75 + 1))/2 =
  - (99(100))/2 — (75(76))/2 =
  - 9900/2 — 5700/2 =
  - 4950 — 2850 = 2100. Сумма чисел от 75 до 100 (без включения этих чисел) равна 2100.
3 Уясните процесс. Представьте себе сумму целых чисел от 1 до 100 как 1 + 2 + 3 +. .. + 98 + 99 + 100 и сумму целых чисел от 1 до 75 как 1 + 2 + 3 + … + 73 + 74 + 75. Сумма целых чисел от 75 до 100 («включительно») есть вычисление: 75 + 76 + 77 + … + 99 + 100. Сумма чисел от 1 до 75 и сумма чисел от 1 до 100 равны до числа 75, но сумма чисел от 1 до 100 после числа 75 продолжается: … + 76 + 77 + … + 99 + 100. Таким образом, вычитая сумму чисел от 1 до 75 из суммы чисел от 1 до 100 мы «изолируем» сумму целых чисел от 75 до 100.
- Если мы суммируем включительно, мы должны использовать сумму от 1 до 74, а не на сумму от 1 до 75, чтобы включить число 75 в конечную сумму.
- Аналогично, если мы суммируем без включения данных чисел, мы должны использовать сумму от 1 до 99, а не на сумму от 1 до 100, чтобы исключить число 100 из конечной суммы. Мы можем использовать сумму от 1 до 75, так как ее вычитание из суммы от 1 до 99 исключает число 75 из конечной суммы.

В результате вычисления суммы всегда получается целое число, потому что либо N, либо N +1 – четное число, которое делится на 2 без остатка.
Сумма = Сумма – Сумма.
Другими словами: Сумма = n(n+1)/2

Предупреждения

Хотя распространить этот метод на отрицательные числа не очень сложно, в данной статье рассматриваются только любые положительные целые числа N, где N больше или равно 1.

Цикл «Занимательная математика» посвящен деткам увлекающимся математикой и родителям, которые уделяют время развитию своих детей, «подкидывая» им интересные и занимательные задачки, головоломки.

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) с раннего детства отличался от своих сверстников. Несмотря на то, что он был из небогатой семьи, он достаточно рано научился читать, писать, считать. В его биографии есть даже упоминание того, что в возрасте 4-5 лет он смог скорректировать ошибку в неверных подсчетах отца, просто наблюдая за ним.

Одно из первых его открытий было сделано в возрасте 6 лет на уроке математики. Учителю было необходимо увлечь детей на продолжительное время и он предложил следующую задачку:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс справился с этим заданием достаточно быстро, найдя интересную закономерность, которая получила большое распространение и применяется по сей день при устном счете.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Посмотрите внимательно на эту сумму и попробуйте догадаться, что же необычного смог разглядеть Гаусс? Для ответа необходимо хорошо представлять себе состав чисел.

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Таким образом маленький Карл получил 5 пар чисел, каждая из которых в отдельности в сумме дает 11. Тогда, чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10 необходимо

Вернемся к первоначальной задаче. Гаусс заметил, что перед суммированием необходимо группировать числа в пары и тем самым изобрел алгоритм, благодаря которому можно быстро сложить числа от 1 до100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.

Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.

Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

А сейчас вашему вниманию предлагаются задачи, в которых в той или иной степени используется правило Гаусса. Эти задачки вполне способен понять и решить четвероклассник.

Можно дать возможность ребенку порассуждать самому, чтобы он сам «изобрел» это правило. А можно разобрать вместе и посмотреть как он сможет его применить. Среди ниже приведенных задач есть примеры, в которых нужно понять как модифицировать правило Гаусса, чтобы его применить к данной последовательности.

В любом случае, чтобы ребенок мог оперировать этим в своих вычислениях необходимо понимание алгоритма Гаусса, то есть умение разбить правильно по парам и посчитать.

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Решение.

Вначале можно дать возможность ребенку самому решить первый пример и предложить найти способ, при котором это сделать легко в уме. Далее разобрать этот пример вместе с ребенком и показать как это сделал Гаусс. Лучше всего для наглядности записать ряд и соединить линиями пары чисел, дающие в сумме одинаковое число. Важно, чтобы ребенок понял как образуются пары — берем самое маленькое и самое большое из оставшихся чисел при условии, что количество чисел в ряду четно.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

Решение.

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Значит, если мы сможем сгруппировать гири так, чтобы в каждой кучке были гири суммарным весом 15г, то задача решена.

Один из вариантов:

9г, 6г
8г, 7г
5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Обратите внимание ребенка на то, что когда решаются подобные задачи лучше всегда начинать группировать с большего веса (числа).

Задача 3

Можно ли разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в каждой части были равны?

Решение.

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим, делится ли она на 2:

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Можно ли провести на циферблате часов две прямые линией так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковой?

Решение.

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим делиться ли она на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Ответ: первая линия пройдет между числами 2 и 3, а затем между числами 10 и 11; вторая линия — между числами 4 и 5, а затем между 8 и 9.

Задача 5

Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т. д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?

Решение.

Получаем, что нам необходимо сложить числа от 1 до 20. А к вычислению такой суммы можно применить правило Гаусса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Решение.

Если ребенок решил и с пониманием разобрал примеры из задания 1, то тут же вспоминается, что 45 это сумма чисел от 1 до 9. Следовательно, сажаем кроликов так:

первая клетка — 1,
вторая — 2,
третья — 3,
восьмая — 8,
девятая — 9.

Но если ребенок сразу не может сообразить, то попробуйте натолкнуть его на мысль о том, что подобные задачи можно решить перебором и надо начинать с минимального числа.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Решение.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Имеется набор из 12 гирек массой 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. Из набора убрали 4 гирьки, общая масса которых равна трети общей массы всего набора гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии?

Решение.

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

Следовательно, оставшиеся гирьки (общей массой 78-26 = 52г) надо расположить по 26 г на каждую чашу весов, чтобы они оказались в равновесии.

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Тогда лучший вариант, когда при убирании 4 гирек уберутся две пары из приведенных выше. В этом случае у нас останутся 4 пары: 2 пары на одну чашу весов и 2 пары на другую.

Худший вариант — это когда 4 убранные гирьки разобьют 4 пары. У нас останутся 2 неразбитые пары общим весом 26г, значит их помещаем на одну чашу весов, а оставшиеся гирьки можно поместить на другую чашу весов и они тоже будут 26г.

Удачи в развитии Ваших детей.

Сумма и произведение цифр числа. Решение задачи на Python

Одной из часто используемых задач для начинающих изучать программирование является нахождение суммы и произведения цифр числа. Число может вводиться с клавиатуры или генерироваться случайное число. Задача формулируется так:

Дано число. Найти сумму и произведение его цифр.

Например, сумма цифр числа 253 равна 10-ти, так как 2 + 5 + 3 = 10. Произведение цифр числа 253 равно 30-ти, так как 2 * 5 * 3 = 30.

Обычно предполагается, что данная задача должна быть решена арифметическим способом. То есть с заданным число должны производиться определенные арифметические действия, позволяющие извлечь из него все цифры, затем сложить их и перемножить.

И здесь на помощь приходят операции деления нацело и нахождения остатка. Если число разделить нацело на 10, произойдет «потеря» последней цифры числа. Например, 253 ÷ 10 = 25 (остаток 3). С другой стороны, эта потерянная цифра есть остаток от деления. Получив эту цифру, мы можем добавить ее к сумме цифр и умножить на нее произведение цифр числа.

Пусть n – само число, suma – сумма его цифр, а mult – произведение. Тогда алгоритм нахождения суммы и произведения цифр можно словесно описать так:

Переменной suma присвоить ноль.
Переменной mult присвоить единицу. Присваивать 0 нельзя, так как при умножении на ноль результат будет нулевым.
Пока значение переменной n больше нуля повторять следующие действия:
1. Найти остаток от деления значения n на 10, то есть извлечь последнюю цифру числа.
2. Добавить извлеченную цифру к сумме и увеличить на эту цифру произведение.
3. Избавиться от последнего разряда числа n путем деления нацело на 10.

В языке Python операция нахождения остатка от деления обозначается знаком процента — %. Деление нацело — двумя слэшами — //.

Код программы на языке Python

n = int(input())

suma = 0
mult = 1

while n > 0:
    digit = n % 10
    suma = suma + digit
    mult = mult * digit
    n = n // 10

print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Пример выполнения:

253
Сумма: 10
Произведение: 30

Изменение значений переменных можно записать в сокращенном виде:

...
while n > 0:
    digit = n % 10
    suma += digit
    mult *= digit
    n //= 10
...

Приведенная выше программа подходит только для нахождения суммы и произведения цифр натуральных чисел, то есть целых чисел больше нуля. Если исходное число может быть любым целым, следует учесть обработку отрицательных чисел и нуля.

Если число отрицательное, это не влияет на сумму его цифр. В таком случае достаточно будет использовать встроенную в Python функции abc(), которая возвращает абсолютное значение переданного ей аргумента. Она превратит отрицательное число в положительное, и цикл while с его условием n > 0 будет работать как и прежде.

Если число равно нулю, то по логике вещей сумма его цифр и их произведение должны иметь нулевые значения. Цикл срабатывать не будет. Поскольку исходное значение mult — это 1, следует добавить проверку на случай, если заданное число — это ноль.

Программа, обрабатывающая все целые числа, может начинаться так:

n = abs(int(input()))

suma = 0
mult = 1
if n == 0:
    mult = 0
...

Заметим, если в самом числе встречается цифра 0 (например, 503), то произведение всех цифр будет равно нулю. Усложним задачу:

Вводится натуральное число. Найти сумму и произведение цифр, из которых состоит это число. При этом если в числе встречается цифра 0, то ее не надо учитывать при нахождении произведения.

Для решения такой задачи в цикл добавляется проверка извлеченной цифры на ее неравенство нулю. Делать это надо до умножения на нее значения переменной-произведения.

n = int(input())

suma = 0
mult = 1

while n > 0:
    digit = n % 10
    if digit != 0:  
        suma += digit
        mult *= digit
    n = n // 10

print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Обратим внимание, что заголовок условного оператора if digit != 0: в Python можно сократить до просто if digit:. Потому что 0 — это false. Все остальные числа считаются истиной.

Приведенный выше математический алгоритм нахождения суммы и произведения цифр числа можно назвать классическим, или универсальным. Подобным способом задачу можно решить на всех императивных языках, независимо от богатства их инструментария. Однако средства языка программирования могут позволить решить задачу другим, зачастую более простым, путем. Например, в Python можно не преобразовывать введенную строку с числу, а извлекать из нее отдельные символы, которые преобразовывать к целочисленному типу int:

a = input()

suma = 0
mult = 1

for digit in a:
    suma += int(digit)
    mult *= int(digit)

print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Если добавить в код проверку, что извлеченный символ строки действительно является цифрой, то программа станет более универсальной. С ее помощью можно будет считать не только сумму и произведение цифр целых чисел, но и вещественных, а также цифр, извлекаемых из произвольной строки.

n = input()

suma = 0
mult = 1

for digit in n:
    if digit.isdigit():
        suma += int(digit)
        mult *= int(digit)

print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Пример выполнения:

это3 чи3с9ло!
Сумма: 15
Произведение: 81

Строковый метод isdigit() проверяет, состоит ли строка только из цифр. В нашем случае роль строки играет одиночный, извлеченный на текущей итерации цикла, символ.

Глубокое знание языка Python позволяет решить задачу более экзотическими способами:

import functools

n = list(input())
n = [int(digit) for digit in n]

suma = sum(n)
mult = functools.reduce(lambda x, y: x*y, n)

print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Встроенная функция list() преобразует переданную ей строку в список. Так если заданная строка — "234", то получится список ['2', '3', '4']. {100}=\frac{100(100+1)}{2}=50\cdot 101=5050$$

Как это у него получилось? Давайте попробуем разобраться на примере суммы от 1 до 10.

Первый способ: разбить числа на пары

Запишем числа от 1 до 10 в виде матрицы c двумя строками и пятью столбцами:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end{array}\right)$$

Интересно, сумма каждого столбца равна 11 или $n+1$. И всего таких пар чисел 5 или $\frac{n}{2}$. Получаем нашу формулу:

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=\frac{n}{2}\cdot(n+1)$$

Если нечетное число слагаемых?

Что, если сложить числа от 1 до 9? У нас не хватает одного числа для составления пяти пар, но мы можем взять ноль:

$$\left(\begin{array}{c}0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end{array}\right)$$

Сумма столбцов теперь равна 9 или ровно $n$. А количество столбцов? По-прежнему пять столбцов (спасибо нулю!), но теперь количество столбцов определяется как $\frac{n+1}{2}$ ( y нас $n+1$ чиcел и вдвое меньше столбцов).

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=\frac{n+1}{2}\cdot n$$

Второй способ: увеличить вдвое и записать в две строки

Мы немного по-разному считаем сумму чисел в этих двух случаях.
Может быть, есть способ одинаково посчитать сумму для четного и нечетного количества слагаемых?

Вместо того, чтобы делать из чисел своеобразную «петлю», давайте запишем их в две строки, при этом количество чисел умножим на два:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end{array}\right)$$

Для нечетного случая:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{array}\right)$$

Видно, что в обоих случаях сумма столбцов равна $n+1$, а количество столбцов $n$.

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=n\cdot(n+1)$$

Но нам нужна сумма только одной строки, поэтому:

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2}$$

Третий способ: сделать прямоугольник

Есть еще одно объяснение, давайте попробуем сложить крестики, допутим у нас есть крестики:

xxx

xxxx

xxxxx

Как нам посчитать количество крестиков? Давайте добавим такое же количество ноликов:

x ooooo

xx oooo

xxx ooo

xxxx oo

xxxxx o

Похоже просто на другое представление второго способа — каждая последующая строка пирамидки имеет больше крестиков и меньше ноликов. Количество всех крестиков и ноликов — площадь прямоугольника.

$$Площадь=Высота\cdotШирина=n\cdot(n+1)$$

Но нам нужна сумма крестиков, поэтому:

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2}$$

Четветрый способ: среднее арифметическое

Известно: $Среднее\ арифметическое=\frac{Сумма}{Количество\ членов}$
Тогда: $Сумма = среднее\ арифметическое\cdotКоличество\ членов$

Количество членов нам известно — $n$. А как выразить Cреднее арифметическое?

Заметьте, числа распределены равномерно. На каждое большое число приходится маленькое, расположенное на другом конце.

1 2 3, среднее 2

1 2 3 4, среднее 2.5

В этом случае среднее арифметическое — это среднее арфиметическое чисел 1 и $n$, тоесть $Среднее\ арифметическое=\frac{n+1}{2}$

$$Сумма = \frac{n+1}{2}\cdot n$$

Пятый способ: интеграл

Все мы знаем, что определенный интеграл вычисляет сумму. Посчитаем сумму от 1 до 100 интегралом? Да, но для начала давайте хотя бы найдем сумму от 1 до 3. {2}}{2}+\frac{1000}{2} = 500000+500=500500$$

Данная статья — перевод с небольшим моим дополнением, оригинал.

правило Гаусса. Задачи на использование правила Гаусса

помогите пожалуйста!! вычислите сумму натуральных чисел от 1+2+3+4+…+97+98+99+100. и получил лучший ответ

Ответ от Александр Хейнонен[гуру]
Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) современники называли «королём математики» .
Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности. В возрасте трех лет Гаусс уже исправлял счета отца.
Рассказывают, что в начальной школе, где учился Гаусс (6 лет) , учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам — вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя.
Давайте попробуем устно решить задачу о нахождении суммы указанных выше чисел. Для начала возьмём сумму чисел от 1 до 10: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Гаусс обнаружил, что 1 + 10 = 11, и 2 + 9 = 11, и так далее. Он определил, что при сложений натуральных чисел от 1 до 10 получается 5 таких пар, и что 5 раз по 11 равно 55.
Гаусс увидел, что сложение чисел всего ряда следует проводить попарно, и составил алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар.
2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101.
3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.
Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.
Простая формула: сумма чисел от 1 до n = n * (n+1) : 2. Вместо n подставляйте последнее число и вычисляйте.
Проверьте! Это работает!

Ответ от Ђаня Фертикова [новичек]
5050

Ответ от Михаил Медведев [активный]
5050

Ответ от Павел соломенников [новичек]
5050

Ответ от Алевтина башкова [новичек]
5050

Ответ от Ђигр Тихомирова [активный]
5050

Ответ от Мария дубровина [новичек]
5050

Ответ от Ѐавил Бадиров [новичек]
5050

Ответ от Дмитрий [активный]
5050

Ответ от Евгений Саяпов [активный]
5050

Ответ от 2 ответа [гуру]

Содержимое:

Шаги

1 Определите наибольшее целое число (N). Суммируя целые числа от 1 до любого заданного числа N, вы должны определить значение N (N не может быть десятичным числом или дробью или отрицательным числом).
- Пример. Найдите сумму всех целых чисел от 1 до 100. В этом случае N=100, так как это наибольшее (и конечное) число данного вам числового ряда.
2 Умножьте N на (N +1) и разделите результат умножения на 2. Когда вы определили целое значение N, подставьте его в формулу (N(N+1))/2 и вы найдете сумму всех целых чисел от 1 до N.
- Пример. Подставьте N=100 и получите (100(100+1))/2.
3 Запишите ответ. Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N.
- Пример.
  - (100(100+1))/2 =
  - (100(101))/2 =
  - (10100)/2 = 5050
  - Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050.
4 Вывод формулы (N(N+1))/2. Еще раз рассмотрим вышеописанный пример. Мысленно разделите ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 на два ряда — первый от 1 до 50, а второй от 51 до 100. Если вы сложите первое число (1) первого ряда и последнее число (100) второго ряда, то вы получите 101. Вы также получите 101, если сложите 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97, и так далее. Если каждое число первой группы сложить с соответствующим числом второй группы, то в итоге мы получим 50 чисел, каждое из которых равно 101. Поэтому 50*101 = 5050 — сумма чисел от 1 до 100. Обратите внимание, что 50 = 100/2 и 101 = 100 + 1. На самом деле это справедливо для суммы любых положительных целых чисел: их суммирование можно разбить на два этапа с двумя рядами чисел, причем соответствующие числа в каждом ряду могут быть сложены друг с другом, а результат сложения будет одинаковым.
- Можно сказать, что сумма целых чисел от 1 до N равна (N/2)(N+1). Упрощенная запись этой формулы есть формула (N(N+1))/2.

Вычисление суммы чисел, расположенных между двумя числами, посредством суммы от 1 до N

1 Определите вариант суммирования (включительно или нет). Часто в задачах вместо того, чтобы найти сумму чисел от 1 до заданного числа N, просят найти сумму целых чисел от N 1 до N 2 , где N 2 > N 1 и оба числа > 1. Вычислить такую сумму довольно просто, но, прежде чем приступать к вычислениям, вы должны определить, включаются ли данные числа в N 1 и N 2 в конечную сумму или нет.
2 Чтобы найти сумму целых чисел между двумя числами N 1 and N 2 , отдельно найдите сумму до N 1 , отдельно найдите сумму до N 2 и вычтите их друг из друга (вычтите сумму до меньшего значения N из суммы до большего значения N). При этом важно знать, суммировать ли включительно или нет. При суммировании включительно вы должны вычесть 1 из данного значения N 1 ; в противном случае вы должны вычесть 1 из данного значения N 2 .
- Пример. Найдем сумму («включительно») целых чисел от N 1 = 75 до N 2 = 100. Другими словами, мы должны найти 75 + 76 + 77 + … + 99 + 100. Чтобы решить задачу, мы должны найти сумму целых чисел от 1 до N 1 -1, а затем вычесть ее от суммы чисел от 1 до N 2 (запомните: при суммировании включительно мы вычитаем 1 из N 1):
  - (N 2 (N 2 + 1))/2 — ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
  - (100(100 + 1))/2 — (74(74 + 1))/2 =
  - 5050 — (74(75))/2 =
  - 5050 — 5550/2 =
  - 5050 — 2775 = 2275. Сумма чисел от 75 до 100 («включительно») равна 2275.
- Теперь найдем сумму чисел без включения данных чисел (другими словами, мы должны найти 76 + 77 + … + 99). В этом случае мы вычитаем 1 из N 2:
  - ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 — (N 1 (N 1 + 1))/2 =
  - (99(99 +1))/2 — (75(75 + 1))/2 =
  - (99(100))/2 — (75(76))/2 =
  - 9900/2 — 5700/2 =
  - 4950 — 2850 = 2100. Сумма чисел от 75 до 100 (без включения этих чисел) равна 2100.
3 Уясните процесс. Представьте себе сумму целых чисел от 1 до 100 как 1 + 2 + 3 +. .. + 98 + 99 + 100 и сумму целых чисел от 1 до 75 как 1 + 2 + 3 + … + 73 + 74 + 75. Сумма целых чисел от 75 до 100 («включительно») есть вычисление: 75 + 76 + 77 + … + 99 + 100. Сумма чисел от 1 до 75 и сумма чисел от 1 до 100 равны до числа 75, но сумма чисел от 1 до 100 после числа 75 продолжается: … + 76 + 77 + … + 99 + 100. Таким образом, вычитая сумму чисел от 1 до 75 из суммы чисел от 1 до 100 мы «изолируем» сумму целых чисел от 75 до 100.
- Если мы суммируем включительно, мы должны использовать сумму от 1 до 74, а не на сумму от 1 до 75, чтобы включить число 75 в конечную сумму.
- Аналогично, если мы суммируем без включения данных чисел, мы должны использовать сумму от 1 до 99, а не на сумму от 1 до 100, чтобы исключить число 100 из конечной суммы. Мы можем использовать сумму от 1 до 75, так как ее вычитание из суммы от 1 до 99 исключает число 75 из конечной суммы.

В результате вычисления суммы всегда получается целое число, потому что либо N, либо N +1 – четное число, которое делится на 2 без остатка.
Сумма = Сумма – Сумма.
Другими словами: Сумма = n(n+1)/2

Предупреждения

Хотя распространить этот метод на отрицательные числа не очень сложно, в данной статье рассматриваются только любые положительные целые числа N, где N больше или равно 1.

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.

Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.

Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Решение.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

Решение.

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Один из вариантов:

9г, 6г
8г, 7г
5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Задача 3

Решение.

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Решение.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Задача 5

Решение.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Решение.

первая клетка — 1,
вторая — 2,
третья — 3,
восьмая — 8,
девятая — 9.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Решение.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Решение.

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Удачи в развитии Ваших детей.

Занимательная математика: правило Гаусса

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

5 * 11 = 55

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.
Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.
Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Решение.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

Решение.

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Далее смотрим, можно ли этот вес разбить на три равных веса:

45 : 3 = 15 (г)

Один из вариантов:

9г, 6г
8г, 7г
5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Задача 3

Решение.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Решение.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Задача 5

Решение.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Решение.

первая клетка — 1,
вторая — 2,
третья — 3,
…
восьмая — 8,
девятая — 9.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Решение.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Решение.

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

78 : 3 = 26 (г)

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Удачи в развитии Ваших детей.

О сумме цифр, обобщённом признаке делимости и одной нерешённой задаче

Все знают, что если сумма цифр числа делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9. А для определения, делится ли число на 11, нужно сложить его цифры, стоящие на чётных местах и отнять сумму цифр, стоящих на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число также будет делиться на 11.

Возникает вопрос: почему существуют признаки делимости? Иными словами, почему для ответа на вопрос, делится ли число m на число n, достаточно не выполнять деление, а провести некоторые операции с цифрами числа m? И как вывести признак делимости на произвольное n. К ответу на этот вопрос мы придём, решая одну, казалось бы, пустяковую задачку.

Задача

Возьмём какое-нибудь натуральное число, скажем, 17. Сумма его цифр равна 8. Если 17 умножить на 2, получим 34 и сумма цифр этого числа окажется равной 7. А у произведения 17*3=51 сумма цифр равна 6. Вопрос: на какое натуральное число нужно умножить 17, чтобы сумма цифр произведения была наименьшей?

Решение

Понятно, что сумма цифр, равная 1 будет только у степеней десятки, которые кратны лишь произведениям степеней двойки и пятёрки. Поэтому попробуем найти кратное 17-ти число вида 100…01 с суммой цифр, равной двум.

17*X=100…01

Чтобы последней цифрой произведения была единица, последней цифрой неизвестного множителя должна быть тройка. Далее, т.к. 17*3=51, а предпоследняя цифра произведения равна 0, то предпоследней цифрой неизвестного множителя должна быть пятёрка.
17*53=901

Третьей с конца цифрой множителя снова должна быть тройка (чтобы произведение оканчивалось на . .001)

17*353=6001.

Далее находим, последовательно:
17*2353=40001
17*82353=1400001
17*882353=15000001
17*5882353=100000001 (!)

Весь этот процесс представлен на анимированной гиф-иллюстрации

Итак, среди чисел, кратных 17-ти наименьшая сумма цифр, равная 2, будет у числа 100000001=17*5882353.

Ответ: число 17 нужно умножить на 5882353, и тогда сумма цифр произведения будет равна 2.

Возникает вторая задача: а что было бы, если бы потребовалось найти кратное с минимальной суммой цифр для какого-нибудь другого числа? Почти сразу приходят на ум числа 3 и 9, кратные которых, вследствие соответствующих признаков делимости, не могут иметь суммы цифр, меньшие, чем 3 или 9, соответственно. Но оказывается, что и многие другие числа не имеют кратных вида 100…01.

К примеру, попробуем провести операции, аналогичные проведённым с числом 17, для числа 41.

Если существует такой множитель Х, что 41*Х=100…01, то последняя цифра числа Х равна 1.
41*1=41.
Далее, предпоследняя цифра числа Х должна быть равна 6
41*61=2501
Далее получаем, последовательно:
41*561=23001
41*7561=310001
41*97561=4000001

И тут мы обнаруживаем, что зациклились: далее неизвестный множитель будет продолжать обрастать цифрами 6, 5, 7 и 9, а сумма цифр кратного, равная 2, достигнута не будет.

Итак, какова же минимальная сумма цифр у числа, кратного 41-му?

Вот тут мы и приходим к проблеме построения обобщённого признака делимости. Почему же для ответа на вопрос, делится ли число m на число n, достаточно не выполнять деление, а провести некоторые операции с цифрами числа m?

Как известно, если число m имеет k цифр, то его можно представить в виде суммы произведений его цифр на соответствующие степени десятки:

Далее, известно, что сумма остатков равна остатку суммы, а произведение остатков равно остатку произведения. Тогда, если j-я степень десятки даёт остаток при делении на n, то остаток числа m при делении на n будет равен остатку от деления на n выражения

Этот обобщённый признак делимости называется признаком Паскаля.

Докажем теперь с помощью этого признака делимости, что не существует числа вида 100…01, которое делится на 41. Вычислим остатки от деления на 41 степеней десятки:

j		Остаток от деления на 41
0	1	1
1	10	10
2	100	18
3	1000	16
4	10000	37
5	100000	1
6	1000000	10
…	…	…

Заметим, что удобнее находить искомые остатки не непосредственно делением степени числа 10 на 41, а делением на 41 предыдущего остатка, умноженного на 10. И, поскольку каждый следующий остаток однозначно зависит от предыдущего, то, получив на шестом шаге единицу, мы видим, что последовательность зациклилась.

Следовательно, признак делимости на 41 можно сформулировать следующим образом:

Чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью – на 18, четвёртую – на 16, пятую – на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Таким способом можно получать признаки делимости на любые числа.

Возвращаясь к задаче о минимальной сумме цифр кратного, мы убеждаемся, что число с двумя единицами и остальными цифрами – нулями на 41 разделиться не может.

Перебирая не более чем 5-ти значные числа с суммами цифр 3 и 4 (это можно сделать как на компьютере, так и вручную) оказывается, что среди чисел, кратных 41-му минимальную сумму цифр, равную 5, будет иметь само число 41.

Другое интересное число, 31, замечательно тем, что, хотя на 3 не делится, никакое из его кратных не может иметь сумму цифр, меньше трёх. В первый раз минимум достигается в числе 31*322581=10000011

Собственно, вот и та самая нерешённая задача, о которой сказано в заголовке. Исследование поведения последовательности минимальных сумм цифр кратных чисел (обозначим эту функцию minmds(n) – minimal multiples’ digits sum) представляет собой открытую проблему. Мы с моим учителем, а ныне и коллегой, Сергеем Тихоновичем Кузнецовым, оптимизировали алгоритм поиска и сейчас имеются данные по 56000 чисел.

По этим данным можно построить следующую таблицу:

k	Количество чисел в диапазоне 1-56000 с minmds(n)=k	Минимальное n, такое, что minmds(n)=k
1	65	1
2	15544	7
3	26521	3
4	3889	79
5	939	41
6	2485	33
7	143	239
8	23	2629
9	5581	9
10	21	2981
11	2	21649
12	89	813
13	0	?
14	1	51139
15	4	13947
16	0	?
17	0	?
18	632	99
…	0	?
27	56	999
…	0	?
36	5	9999

Сразу возникает очевидный и интересный вопрос: для какого числа x minmds(x)=13? (И существует ли такое число вообще?) И как по числу определить его minmds, по возможности наименее прибегая к перебору? Существует ли не кратное трём число с minmds, равным 9? (На этот можно ответить при внимательном изучении прилагаемого файла 😉

Таких вопросов можно набрать множество, и решать их будет одинаково интересно как математику-профессионалу, так и учащемуся при написании работы в Малой академии наук.

Занятие 19 апреля — Кружок «Увлекательная математика» при ФМЛ №30

На этом занятии мы продолжили тему «делимость»: обсудили свойства простых чисел, разобрали несколько домашних и несколько новых задач. Разбор и домашнее задание вы найдете ниже.

Разобранные задачи:

1) Сколько цифр в числе 11…11, если оно делится без остатка на 999 999 999?

Заметим, что чтобы число делилось на 999999999 необходимо, чтобы оно делилось на 111111111 и потом еще на 9.

Чтобы число, составленное из единиц делилось на число из 9 единиц, мы можем только приписывает его само к себе. То есть, первое такое число — это 9 единиц, второе — 18 единиц, и т.д.

Посмотрим, что будет, если ети числа разделить на 111111111:

9 единиц: 111111111 / 111111111 = 1

18 единиц: 111111111111111111 / 111111111 = 1 000000001

и т.д. То есть каждое приписывание 111111111 к числу дает еще одну единицу к частному. А нам нужно, чтобы оно делилось на 9. Очевидно, это произойдет когда мы 9й раз припишем 9 единиц. Значит, ответ: 9*9 = 81 единица будет в этом числе.

2) В числе переставили цифры и получили число, в 3 раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делится на 27.

Обозначим полученное число за A. Тогда исходное число, которое в 3 раза больше, будет равно 3A.

Исходное число делится на 3, значит сумма его цифр делится на 3. У полученного числа сумма цифр такая же, значит, оно тоже делится на 3.

Обозначим A как 3B, раз оно делится на 3. Тогда: исходное число равно 9B, полученное равно 3В.

Исходное число делится на 9(оно равно 9В), значит сумма его цифр делится на 9. У полученного числа сумма цифр такая же, значит, оно тоже делится на 9. Значит, B делится на 3. Обозначим его как 3С.

Тогда исходное число равно 27С, полученное равно 9С. Очевидно, исходное число делится на 27.

3) Незнайка перемножил все числа от 1 до 100. Посчитал сумму цифр произведения. У полученного числа он снова посчитал сумму цифр, и так далее. В конце концов Незнайка получил однозначное число. Какое?

Произведение всех чисел от 1 до 100 будет делиться на 9, поскольку само чило 9 входит в это произведение.

Значит сумма его цифр тоже будет делиться на 9. Значит, складывая цифры получаемых чисел, мы всегда будем получать числа, делящиеся на 9. И в итоге получем однозначное число, делящееся на 9. Такое число всего одно и это 9.

Безопасность | Стеклянная дверь

Мы получаем подозрительную активность от вас или от кого-то, кто использует вашу интернет-сеть. Подождите, пока мы убедимся, что вы настоящий человек. Ваш контент появится в ближайшее время. Если вы продолжаете видеть это сообщение, напишите нам чтобы сообщить нам, что у вас проблемы.

Nous aider à garder Glassdoor sécurisée

Nous avons reçu des activités suspectes venant de quelqu’un utilisant votre réseau internet. Подвеска Veuillez Patient que nous vérifions que vous êtes une vraie personne.Вотре содержание apparaîtra bientôt. Si vous continuez à voir ce message, veuillez envoyer un электронная почта à pour nous informer du désagrément.

Unterstützen Sie uns beim Schutz von Glassdoor

Wir haben einige verdächtige Aktivitäten von Ihnen oder von jemandem, der in ihrem Интернет-Netzwerk angemeldet ist, festgestellt. Bitte warten Sie, während wir überprüfen, ob Sie ein Mensch und kein Bot sind. Ihr Inhalt wird в Kürze angezeigt. Wenn Sie weiterhin diese Meldung erhalten, informieren Sie uns darüber bitte по электронной почте: .

We hebben verdachte activiteiten waargenomen op Glassdoor van iemand of iemand die uw internet netwerk deelt. Een momentje geduld totdat, мы исследовали, что u daadwerkelijk een persoon bent. Uw bijdrage zal spoedig te zien zijn. Als u deze melding blijft zien, электронная почта: om ons te laten weten dat uw проблема zich nog steeds voordoet.

Hemos estado detectando actividad sospechosa tuya o de alguien con quien compare tu red de Internet. Эспера mientras verificamos que eres una persona real. Tu contenido se mostrará en breve. Si Continúas recibiendo este mensaje, envía un correo electrónico a para informarnos de que tienes problemas.

Hemos estado percibiendo actividad sospechosa de ti o de alguien con quien compare tu red de Internet. Эспера mientras verificamos que eres una persona real. Tu contenido se mostrará en breve. Si Continúas recibiendo este mensaje, envía un correo electrónico a para hacernos saber que estás teniendo problemas.

Temos Recebido algumas atividades suspeitas de voiceê ou de alguém que esteja usando a mesma rede.Aguarde enquanto confirmamos que Você é Uma Pessoa de Verdade. Сеу контексто апаресера эм бреве. Caso продолжить Recebendo esta mensagem, envie um email para пункт нет informar sobre o проблема.

Abbiamo notato alcune attività sospette da parte tua o di una persona che condivide la tua rete Internet. Attendi mentre verifichiamo Che sei una persona reale. Il tuo contenuto verrà visualizzato a breve. Secontini Visualizzare questo messaggio, invia un’e-mail all’indirizzo per informarci del проблема.

Пожалуйста, включите куки и перезагрузите страницу.

Это автоматический процесс. Ваш браузер вскоре перенаправит вас на запрошенный контент.

Подождите до 5 секунд…

Перенаправление…

Заводское обозначение: CF-102 / 61f0f3514ced75ab.

Факториал

— Найдите сумму цифр в числе 100!

Должен быть способ получше.

$ 100! $ — это произведение всего 100 маленьких чисел, каждое из которых имеет легко найденное разложение на простые множители.1 $ для вычисления $ 10! $, Затем мы находим дискретную свертку / произведение Коши двух векторов. Я оставлю это на ваше усмотрение, учитывая, что было указано, что некоторые люди обычно не одобряют слишком полные решения проблем PE.

Комментарии к этому посту заслуживают внимания. Да, это как раз реализация библиотеки BigInt. Да, это именно алгоритм умножения.

Однако, на мой взгляд, цель PE не в том, чтобы обучать людей тому, как искать библиотеки для выполнения своей работы; это открыть для себя основную математику.Надеюсь, отношения, которые я упомянул между продуктами Коши, дискретными свертками и алгоритмом умножения, интересны — более интересны, чем поиск языка с поддержкой BigInt.

Уловка Гаусса — семинар для сотрудников

Начало работы

Можете ли вы сложить первые 10 чисел в уме? А как насчет первых 100 или первой тысячи? В вашей голове!

Карл Фридрих Гаусс был специальным математиком. История гласит, что в школе в возрасте 8 лет он очень быстро сумел сложить первые 100 чисел.Мне нравится думать, что учитель использовал этот трюк много раз, чтобы занять класс надолго, пока он вздремнул. Он знал, что его ждет долгий период затишья, пока класс не работает. Даже если один из них получил ответ, учитель мог попросить его проверить его, чтобы отнять больше времени. Но он не стал торговаться с этим не по годам развитым восьмилетним мальчиком.

В мгновение ока Гаусс получил 5050. Но он не только смог так быстро вычислить сумму первых 100 чисел, но и смог обосновать правильность своего ответа.И вы сделаете это до того, как проведете этот семинар для сотрудников.

Возможно, вы захотите прочитать о Карле Фридрихе на одном из многих веб-сайтов. Стоит кое-что записать о Гауссе. Например, где он жил, когда жил, какие бытовые проблемы у него были и тому подобное. Стоит достать карту современной Германии и показать, где находится Брансуик (Брауншвейг). Насколько я помню, это недалеко от Ганновера и старой границы Восточной и Западной Германии.

Так в чем же секрет и как с его помощью впечатлить друзей и коллег?

Пример 1

Сначала я с трудом сложу целые числа от 1 до 10, чтобы вы могли увидеть, как все работает.Предположим, что сумма первых 10 чисел равна S. Тогда

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

Интересно, что если сложить числа в обратном направлении, мы получим тот же ответ. Очевидно! Но давайте все равно сделаем это.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

И что? Что ж, я сделаю так, чтобы было легче увидеть, если эти два способа написания S друг под другом.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Теперь просто добавьте S к S. Я знаю, что мы, кажется, уходим дальше от значения S, которое мы так стремимся получить, но терпите меня. Что ты видишь? Какие закономерности начинают проявляться?

К счастью для Гаусса и нас,

1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 10 + 1 = 11.

Сумма всех этих пар чисел дает 11! Это означает, что

2S = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11.

Там у десять 11, так что

2S = 10 × 11 = 110.

Итак, S = 5 × 11 = 55.

Но этот трюк нельзя повторять снова и снова. Так что мы его доим изо всех сил.

Пример 2

Давайте сложим числа Гаусса, все целые числа от 1 до 100. Пусть снова S будет этой суммой. Итак, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 98 + 99 + 100.

Теперь вы видите, что я был довольно ленив и опустил все числа от 6 до 97.Но мы с тобой знаем, что они действительно есть. Многоточие (…) говорит нам об этом.

О очередь!

S = 100 + 99 + 98 +… + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Теперь давайте объединим эти две вещи и посмотрим, что произойдет.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 98 + 99 + 100.

S = 100 + 99 + 98 +… + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Здесь магическая сумма равна 101. Каждая пара чисел, одна над другой, прибавляется к 101.Итак, 2S = 101 + 101 + 101 +… + 101 + 101 + 101.

Единственная проблема, которая у нас сейчас есть, — это вычислить, сколько там 101. Но на самом деле это не должно быть проблемой. В конце концов, мы начали со 100 чисел, поэтому у нас должно быть 100 сумм, которые складываются с 101. Итак, 2S = 100 × 101.

Это означает, что S = 50 × 101 = 5050.

И Гаусс опередил нас всего на столетие или два.

Теперь вы видите быстрый способ сложить первые 1000 целых чисел? Как насчет первых 10 000, первых 100 000 или первого миллиона?

Пример 3

Я приведу еще один последний пример, прежде чем мы сделаем то, что делает каждый хороший математик, а именно попытаемся обобщить то, что мы делали.Другими словами, мы попытаемся найти закономерность. А пока давайте сложим первые 67 целых чисел.

S = 1 + 2 + 3 +… + 65 + 66 + 67.

S = 67 + 66 + 65 +… + 3 + 2 + 1.

На этот раз ключ 68. В конце концов, 1 + 67 = 68 = 2 + 66 = 3 + 65 =…

Итак, 2S = 68 + 68 + 68 +… + 68 + 68 + 68.

Затем мы снова сталкиваемся с попыткой вычислить, сколько таких сумм. Но мы начали с шестидесяти семи чисел, так что у нас должно быть шестьдесят семь 68.Итак, 2S = 67 × 68, или S = 67 × 34 = 2278.

Есть какие-нибудь предположения относительно общей картины здесь?

Обобщение

Я полагаю, что у нас должно быть достаточно информации, чтобы мы могли найти сумму первых n целых чисел, где n — любое значение, которое нам нравится. Давайте посмотрим на то, что нам нужно, чтобы увидеть, сможем ли мы сделать предположение, предположение о том, что происходит на самом деле.

Мы начали с n = 10 и получили S = 10 × 11 ÷ 2;

, тогда n = 100 дало нам S = 100 × 101 ÷ 2;

, то n = 67 дает нам S = 67 × 68 ÷ 2.

Похоже, нам нужно взять число, которое мы хотим суммировать, умножить на это число плюс 1, а затем разделить на 2. Итак, у нас есть

Гипотеза 1: Сумма S первых n чисел равна S = (n x (n +1)) / 2.

Можем ли мы это оправдать, доказать?

Пусть S будет суммой чисел от 1 до n, независимо от n.

Если ваша алгебра немного заржавела, измените n ниже на «любое число», измените n — 1 на «любое число минус один», измените n + 1 на «любое число плюс один» и так далее.

Проверенным методом получаем

S = 1 + 2 + 3 +… + (n — 2) + (n — 1) + n.

S = n + (n — 1) + (n — 2) +… + 3 + 2 + 1.

Итак, делая то, что теперь естественно, получаем

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +… + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1).

Поскольку вначале было n чисел, теперь должно быть n партий (n + 1). Итак

2S = n × (n + 1).

Итак, S = (n x (n + 1)) / 2.

Похоже, мы опровергли эту гипотезу. Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

(i) Дает ли эта формула правильный ответ, если n = 15?

(ii) Разумеется, S должно быть целым числом, поскольку мы складываем первые n целых чисел. Но мы делим на 2 в правой части уравнения. Может ли n × (n + 1) иногда быть нечетным и все портить?

(iii) О чем эта формула говорит словами?

Немного дальше

Но вам не обязательно прибавлять только первые числа.Предположим, что мы хотим сложить все числа от 8 до 93. Как мы могли это сделать?

Мне кажется, что мы могли бы сделать это по крайней мере тремя способами, но я не буду беспокоиться о том, когда вы складываете числа по одному.

Метод 1: Мы могли бы записать числа от 8 до 93 в обычном порядке, а затем записать их в обратном порядке, как мы это делали в других примерах. Я предоставлю вам сделать это, чтобы посмотреть, что вы получите.

Method 2: С другой стороны, мы можем сначала прибавить 1 к 7, а затем от 1 к 93, используя нашу формулу.Тогда мы могли бы вычесть меньшее из большего. Как это:

В 1 + 2 +… + 6 + 7, «любое число», n равно 7, поэтому сумма этих чисел составляет (7 x 8) / 2 = 28.

В 1 + 2 +… + 92 + 93, «любое число», n равно 93, поэтому сумма этих чисел составляет (93 x 94) / 2 = 4371.

Итак, сумма, которую мы хотим, составляет 4371 — 28 = 4343.

Перед тем, как продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

(iv) Существует ли формула для суммы чисел от любого числа, которое вы выберете (например, 8), до любого другого числа, которое вы выберете (например, 93)? Другими словами, можете ли вы обобщить гипотезу?

(v) Вы видите, как мы медленно попадаем в более сложные ситуации? Это тот путь, по которому математика всегда пытается расширить наши знания о мире.

(vi) В свете мысли в (v), к чему мы должны двигаться дальше? Каким будет следующий способ расширить то, что мы делаем? Мы пытались перейти от 1 к чему-то, а затем от чего-то к чему-то еще, но шаги от числа к числу всегда были единичными. Можем ли мы добиться прогресса, если ступеньки больше единицы?

(vii) В конце концов, существует ли только одна формула для ряда сложений, которые не просто складывают первое такое количество чисел? Что могла бы быть эта формула на словах?

Семинар

Еще раз вам придется подумать о том, как представить этот материал, который лучше всего подходит для ваших сотрудников, но как насчет следующего?

Установите их, задав им вопрос, который задал ему учитель Гаусса.Дайте им поработать немного. Затем дайте им понять, что 8-летний ребенок может сделать это в своей голове. Это должно привести к поиску некоторых закономерностей в числах от 1 до 100, которые могут облегчить быстрое суммирование. Например, некоторые группы видят, что 1 + 100 = 2 + 99 и так далее. Обычно они не думают о сложении двух сумм S. Но вы можете быстро сложить числа от 1 до 100 и другим способом.

Тогда попробуйте их с другими примерами. Если вы вооружитесь калькулятором, вы можете предложить им сложить числа от 1 ко всему, что они выберут, быстрее, чем вы.

Тогда им следует подумать, что вы знаете, чего они не знают? Попросите их сделать несколько примеров и предположить, что это за образец.

В зависимости от того, насколько хорошо идут дела, вы можете перейти к некоторым арифметическим прогрессиям, общая разница которых не равна 1 (см. Раздел 8). С заинтересованной группой вы даже можете провести доказательство.

Но вы должны сказать кое-что о Гауссе и его значении на математической сцене. Вы также должны найти несколько интересных историй о нем по ссылке, которую я дал выше.Немного истории никогда не сбивается с пути.

Ответы на некоторые вопросы

В этом разделе мы завершаем работу, которую мы проделали в разделах 2–6. Конечно, насколько далеко вы зайдете с этой проблемой, будет зависеть от алгебраической уверенности ваших сотрудников, хотя вы можете полностью обойти алгебру, если думаете, что она пойдет. над, как свинцовый шар. В любом случае, постарайтесь немного вытолкнуть их из зоны комфорта, но бросьте им спасательный круг, когда они тонут. Мы оставляем это решение на ваше усмотрение, но здесь должно быть достаточно материала для вашего семинара.

Сейчас я попытаюсь найти формулу для суммы строки чисел, в которой шаг вверх от одного числа к другому всегда одинаков. Приведу два примера, а затем решу задачу в целом.

Первый пример: Суммируйте числа 2 + 4 + 6 +… + 64 + 66 + 68.

Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это единица, как и деление всех чисел в сумме на 2 с использованием известной нам формулы. Однако я возвращаюсь к испытанному методу «сначала вперед, потом назад».Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Итак, вперед, затем назад, мы имеем

S = 2 + 4 + 6 +… + 64 + 66 + 68.

S = 68 + 66 + 64 +… + 6 + 4 + 2.

Это означает, что 2S = 70 + 70 + 70 +… + 70 + 70 + 70.

Единственная проблема сейчас в том, сколько там терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 2, у нас было бы 1 + 2 + 3 +… + 32 + 33 + 34. Поскольку здесь 34 члена, должно быть 34 члена в S. Итак, 2S = 34 × 70 и S = (34 x 70) / 2 = 1190.

Вы можете проверить это одним из других методов, но он немного похож на формулу, которую мы нашли в разделе 5.

Второй пример: Суммируйте числа 9 + 12 + 15 +… + 54 + 57 + 60.

Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это единица, как и деление всех чисел в сумме на 3 и использование известной нам формулы. Однако я возвращаюсь к испытанному методу «сначала вперед, потом назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем.Итак, вперед, затем назад, мы имеем

S = 9 + 12 + 15 +… + 54 + 57 + 60.

S = 60 + 57 + 54 +… + 15 + 12 + 9.

Это означает, что 2S = 69 + 69 + 69 +… + 69 + 69 + 69.

Единственная проблема сейчас в том, сколько там терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 3, у нас было бы 3 + 4 + 5 +… + 18 + 19 + 20. Поскольку здесь 20-2 = 18 членов, должно быть 18 членов в S. Итак, 2S = 18 × 69 и S = (18 x 69) / 2 = 621.

Вы можете проверить это одним из других методов.Здесь есть закономерность? Вам знакомы эти слова?

Общий пример: Прежде всего, можно ли угадать, что мы надеемся найти? Мы хотели бы найти формулу для суммы набора чисел, которые где-то начинаются и попадают в другое место, но при этом шаг между числами всегда одинаков. Исходя из имеющейся у нас информации, можем ли мы угадать, какой могла бы быть формула, прежде чем пробираться сквозь беспорядок алгебры, с которым мы столкнемся, чтобы получить ответ? В каждом случае, какие два числа мы умножаем, чтобы получить S?

Мы знаем, что когда мы добавили от 1 к n, числа были n и n + 1.Когда мы добавили от 2 до 68, их было 34 и 70; когда мы добавили от 9 до 60, их было 18 и 69.

Очевидно, что в каждом случае большее число — это общая сумма, которую мы получаем, складывая большие числа с меньшими числами. Эти большие числа представляют собой сумму наименьшего и наибольшего чисел.

А как насчет 34 и 18? И как они соотносятся с n, которое мы получили при сложении первых n чисел. Что у них общего? Разве это не просто количество чисел, которые мы складываем? Означает ли это, что формула, которую мы должны получить, дана в следующей гипотезе?

Гипотеза 2: Если S — сумма любой из этих строк, где есть общая разница, S = ((количество членов) (сумма первого и последнего чисел)) / 2

Найдите в формуле другие наборы чисел, которые где-то начинаются и растут на постоянную величину.Другими словами, наборы чисел, в которых есть общая разница между последовательными числами.

На этом этапе у нас есть предположение относительно того, каким может быть ответ. Это довольно сильная гипотеза, потому что она работает на множестве примеров. Но можем ли мы доказать, что это работает для любого набора чисел с общим свойством разности? Ну конечно можем. И сначала мы покажем это словесным методом, а затем посмотрим, насколько проще выразить то же самое с помощью алгебры.

Предположим, что набор чисел — это некоторое число, первое число; некоторое число плюс общая разница, второе число; некоторое число плюс общее различие плюс общее различие, третье число; до самого большого числа, последнего числа.

Тогда сумму S можно записать двумя обычными способами:

S = первое число + второе число +… + второе последнее число + последнее число

S = последнее число + второе последнее число +… + второе число + первое число.

Теперь первое число + последнее число = второе число + второе последнее число. Это потому, что мы поднимаемся на общую разницу, идущую от первого числа ко второму числу, и вниз на общую разницу, идущую от последнего числа ко второму последнему числу.Итак, как обычно, все отдельные суммы одинаковы. Итак

2S = (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число) +… + (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число).

Но в скобках указана одна из сумм для каждого из слагаемых исходной суммы. Итак, 2S = (количество терминов) (первое число + последнее число), и поэтому S = (количество терминов) (первое число + последнее число) ÷ 2.

Это то, что мы предположили выше. И теперь мы доказали гипотезу, и она верна для любого набора чисел, который увеличивается с одинаковыми шагами.Эти наборы называются арифметических прогрессий .

Между прочим, математики работали во многом так же, как мы, до изобретения алгебры. Даже в работе Ньютона вы найдете уравнения со словами. Здесь это неплохо, но может стать очень громоздким. С появлением алгебры математическая жизнь значительно улучшилась.

Если вам нужна полная алгебраическая версия, вот она. Пусть первый член будет a, общая разница будет d, а количество членов будет n. Тогда

S = a + (a + d) + (a + 2d) +… + [a + (n — 3) d] + [a + (n — 2) d] + [a + (n — 1) d ]

S = [a + (n — 1) d] + [a + (n — 1) d] + [a + (n — 1) d] +… + (a + 2d) + (a + d) +

Итак, 2S = [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] +… + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d]

или S = n [2a + (n — 1) d] ÷ 2.

Одним из преимуществ этого метода является то, что легче увидеть, что сумма каждой пары соответствующих терминов одинакова.Другой заключается в том, что он записывает ответ в терминах первого члена, количества терминов и общей разницы. Единственный недостаток, по-видимому, заключается в том, что он скрывает тот факт, что формула включает «первое число плюс последнее число», записывая это выражение как [2a + (n — 1) d]. И форму, которую мы написали в Гипотезе 2, легче запомнить.

Гаусс и сон его учителя

Большой трюк с суммированием Гаусса

Одним из самых известных математиков всех времен был Карл Гаусс. Один день,
Как гласит история, его учитель дал классу задание, чтобы они были заняты, поэтому
что он может вздремнуть в задней части класса. Задача, которую он назначил, будет
держать большинство из нас занятыми не менее получаса, если не больше. Однако к его
Удивление учителя, молодой мистер Гаусс решил ее за секунды.

Вот задача, которую поставил учитель. Студентам было предложено сложить все
числа от одного до ста.То есть 1 + 2 + 3 + 4 + 5 98 + 99 + 100. Менее чем за
большинству студентов потребовалось записать эту задачу сложения сотен чисел, Gauss
получил ответ. Сумма — 5050, — уверенно сказал он своему учителю, и так оно и было.
Но как он пришел к такому ответу за столь короткое время?

Гаусс был гением, а гении иногда видят вещи иначе, чем большинство из
мы, не гениальные типы. Но это не значит, что после того, как ему показали путь,
мы не можем решить проблему так, как это сделал бы гений, которому сначала показали путь.

Вот как молодой Гаусс так быстро пришел к своему ответу. Он заметил, что в
г. ряд чисел 1 +2 + 3 +4 97 + 98+ 99 + 100, сумма пар чисел
от каждого конца и продвигаясь к середине, суммируется до того же значения, 101.
Другими словами, 1 + 100, 2 +99, 3 + 98, 4 + 97 и т. Д. Все в сумме дает 101! С тех пор
пятьдесят пар чисел в ряду от 1 до 100, Гаусс полагал, что сумма
из всех чисел будет 50 умножить на 101 или 5050.

Этот небольшой трюк будет работать с любой серией чисел при условии, что они равны
. равномерно распределены. Например, 2, 4, 6, 8 или 3, 6, 9, 12 или, 5, 10, 15, 20 и т. Д.
В любом случае, чтобы найти сумму, вам нужно только сложить первую и последнюю и
затем умножьте на количество пар в серии.

Мы можем написать решение всех проблем этого типа, используя следующие
математическое предложение:

Сумма ряда = (первая + последняя), умноженная на количество пар в серии.

Давайте попробуем это с серией 5 + 10 + 15 +20 + 25 +30

Сумма этого ряда = (первая + последняя), умноженная на количество пар

Или сумма этого ряда = (5 + 30), умноженное на 3 пары
= (35) х 3
= 105

Убедитесь в этом сами, сложив числа сложным способом, по одному!

Теперь, когда мы знаем это маленькое правило, мы можем найти закономерность в сумме
номера в следующих наборах серий:

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp от 1 до 10 сумма 55
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp от 1 до 100 сумма 5050
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp от 1 до 1000 сумма 500500
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp от 1 до 10000 сумма 50005000
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp от 1 до 100000 сумма 5000050000
& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp от 1 до 1000000 сумма 500000500000

Вы видите образец?

Вот подсказка.Обратите внимание, что сумма всегда равна 5, за которой следует один
меньше количества нулей в самом большом числе, затем еще 5 и то же
снова количество нулей. 1 включительно = 1 * 45 + 1

Далее…. сумма цифр целых чисел от 1 до 99 включительно = 900

Мы можем видеть это, потому что у нас есть цифры 1-9 в разряде единиц, представленные 10 раз = 10 (45) = 450

И мы иметь сумму цифр в разряде десятков как 10 (1 + 2 +3 + …. 9) = 10 (45) = 450

И добавление «1» к следующему целому числу (100) дает нам это сумма = 900 + 1 = 20 * 45 + 1

После этого сумма отдельных цифр целых чисел от 1 до 999 = 13 500 [проверьте это сами]

И добавив «1» в следующем целое число (1000) дает нам эту сумму:

13500 + 1 = 300 * 45 + 1

Обратите внимание на закономерность, которая, кажется, появляется.102 + 1, найденные Гостем и эврикой !!!!

День расплаты Гаусса | Американский ученый

Позвольте мне рассказать вам историю, хотя это настолько изношенный кусочек математических знаний, что вы, вероятно, уже слышали ее:

В 1780-х годах провинциальный немецкий школьный учитель дал своему классу утомительное задание сложить первые 100 целых чисел. Задача учителя заключалась в том, чтобы на полчаса заставить детей замолчать, но один юный ученик почти сразу дал ответ: 1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100 = 5 050. Умным парнем был Карл Фридрих Гаусс, который впоследствии присоединился к короткому списку кандидатов на звание величайшего математика всех времен. Гаусс не был вундеркиндом, который мысленно складывал все эти числа. У него было более глубокое понимание: если вы «сложите» ряд чисел в середине и сложите их попарно — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 и так далее, — все пары в сумме дадут 101. Всего 50 таких пар, и поэтому общая сумма будет просто 50 × 101. Более общая формула для списка последовательных чисел от 1 до n : n ( n + 1) / 2.

Вышеупомянутый абзац — моя собственная интерпретация этого анекдота, написанного несколько месяцев назад для другого проекта. Я говорю, что это моя собственная, и все же не претендую на оригинальность. Ту же историю почти таким же образом рассказывали сотни других людей до меня. Я слышал о школьном триумфе Гаусса с тех пор, как был школьником.

История была мне знакома, но до тех пор, пока я не изложил ее своими словами, я никогда не задумывался о событиях в том давнем классе.Теперь меня начали мучить сомнения и вопросы. Например: как учитель проверял правильность ответа Гаусса? Если бы учитель уже знал формулу для суммирования арифметического ряда, это несколько уменьшило бы драматизм момента. Если бы учитель не знал , разве он не проводил бы свой перерыв в тишине и покое, выполняя те же бессмысленные упражнения, что и его ученики?

Есть другие способы ответить на этот вопрос, но есть и другие вопросы, и вскоре я задумался о происхождении и подлинности всей истории.Откуда оно взялось и как дошло до нас? Серьезно ли воспринимают этот анекдот ученые как событие из жизни математика? Или это к тому же жанру, что и рассказы о Ньютоне и яблоке или Архимеде в ванной, где буквальная правда не является главной проблемой? Если рассматривать этот эпизод как миф или басню, то какова мораль этой истории?

Чтобы удовлетворить свое любопытство, я начал поиск версий анекдота Гаусса в библиотеках и онлайн-ресурсах. К настоящему времени у меня есть более ста экземпляров на восьми языках. (Коллекция версий доступна здесь.) Источники варьируются от научных историй и биографий до учебников и энциклопедий, а также от детской литературы, веб-сайтов, планов уроков, студенческих работ, сообщений групп новостей Usenet и даже романов. Все пересказы описывают одно и то же происшествие — действительно, я считаю, что все они в конечном итоге происходят из одного источника — и все же они демонстрируют удивительное разнообразие и творческий подход, поскольку авторы изо всех сил пытались заполнить пробелы, объяснить мотивацию и построить связную повествование.(Вскоре я понял, что сам немного выполнил вышивку ad lib .)

Прочитав все эти вариации истории, я все еще не могу ответить на фундаментальный вопрос фактов: «Так ли это действительно случилось?» Мне нечего добавить к нашим знаниям о Гауссе. Но я думаю, что я кое-что узнал об эволюции и передаче таких историй, а также об их месте в культуре науки и математики. Наконец, у меня также есть некоторые мысли о том, как остальные дети в классе могли бы подойти к своей задаче.Это тема, которая мало обсуждается в литературе, но для тех из нас, чьи таланты не достигают гауссовского гения, это может быть наиболее актуальный вопрос.

Я начал свой обзор с пяти современных биографий Гаусса: книг Дж. Уолдо Даннингтона (1955), Торда Холла (1970), Карин Райх (1977), У. К. Бюлера (1981) и только что выпущенной биографии MBW Tent ( 2006). Инцидент в школе описан всеми этими авторами, кроме Бюлера. Версии различаются в нескольких деталях, таких как возраст Гаусса, но они сходятся в основных моментах.Все они упоминают суммирование одного и того же ряда, а именно целых чисел от 1 до 100, и все они описывают метод Гаусса в терминах формирования пар, сумма которых равна 101.

Ни один из этих авторов не выражает особого скептицизма по поводу анекдота (если только Бюлер не высказал предположение) молчание можно интерпретировать как сомнение). Нет подробного обсуждения происхождения истории или свидетельств, подтверждающих ее. С другой стороны, ссылки в некоторых биографиях действительно привели меня к ключевому документу, от которого, похоже, зависят все последующие рассказы.

Этот locus classicus школьной истории Гаусса представляет собой мемориальный том, опубликованный в 1856 году, всего через год после смерти Гаусса. Автором был Вольфганг Сарториус, барон фон Вальтерсхаузен, профессор минералогии и геологии Геттингенского университета, где Гаусс провел всю свою академическую карьеру. Как и положено погребальной дань, он во всем ласковый и хвалебный.

На портрете, который дает нам Сарториус, Гаусс был вундеркиндом .Он научился читать и к трем годам исправлял ошибку в арифметических расчетах отца. Вот отрывок, в котором Сарториус описывает раннее обучение Гаусса в городе Брауншвейг, недалеко от Ганновера. Перевод, за исключением двух фраз в скобках, принадлежит Хелен Уортингтон Гаусс, правнучке математика.

В 1784 году, после семилетия, мальчик поступил в государственную школу, где преподавали элементарные предметы и которая тогда находилась под руководством человека по имени Бюттнер. Это была тусклая, невысокая классная комната с изношенным, неровным полом … Здесь среди нескольких сотен учеников Бюттнер ходил туда-сюда, держа в руке выключатель, который тогда все приняли как последний аргумент учителя. При необходимости он использовал это. В этой школе — которая, кажется, во многом следовала образцу средневековья — молодой Гаусс провел два года без особых происшествий. К тому времени он дошел до класса арифметики, в котором большинство мальчиков оставалось до пятнадцати лет.
Здесь произошел инцидент, который он часто рассказывал в старости с забавой и удовольствием. В этом классе ученик, первым завершивший свой пример по арифметике, должен был положить свою грифельную доску в центр большого стола. Сверху второй положил свою доску и так далее. Молодой Гаусс только что вошел в класс, когда Бюттнер сдался за задачу [суммирование арифметического ряда]. Проблема была едва сформулирована, как Гаусс швырнул свою доску на стол со словами (на низком брауншвейгском диалекте): «Вот оно. «Пока другие ученики продолжали [считать, умножать и складывать], Бюттнер с осознанным достоинством ходил взад и вперед, время от времени бросая ироничный, жалостливый взгляд на этого младшего из учеников. Мальчик сидел тихо, завершив свое задание, поскольку полностью осознавая, так как он всегда заканчивал задание, что проблема была решена правильно и другого результата быть не могло ..
В конце часа доски переворачивались снизу вверх.На вершине лежала фигура молодого Гаусса с одинокой фигурой. Когда Бюттнер зачитал ответ, к удивлению всех присутствующих, ответ молодого Гаусса оказался правильным, тогда как многие другие ошибались.

Случайные подробности из этого рассказа снова и снова появляются в более поздних рассказах этой истории. Ритуал складывания сланцев — одна из таких особенностей. (К тому времени, когда был добавлен сотый грифель, это, должно быть, была довольно большая куча!) Выключатель (или трость, или хлыст) Бюттнера также часто появлялся до 1970-х годов, но сейчас встречается реже; мы стали брезгливо упоминать о таких варварствах.

Что больше всего в Sartorius примечательно, так это не то, что там есть, а то, чего нет. Нет никаких упоминаний о числах от 1 до 100 или любой другой конкретной арифметической прогрессии. И нет ни намека на трюк или технику, изобретенную Гауссом для решения проблемы; идея объединения чисел в пары не обсуждается, равно как и формула для суммирования ряда. Возможно, Сарториус думал, что процедура настолько очевидна, что не требует объяснений.

Несколько слов о фразах в квадратных скобках: Странно, но в переводе Уортингтона Гаусса упоминаются первые 100 целых чисел. Там, где Сарториус пишет просто «eine arithmetischen Reihe», Уортингтон Гаусс вставляет «ряд чисел от 1 до 100». Я не могу объяснить эту интерполяцию. Я могу только догадываться, что Уортингтон Гаусс под влиянием более поздних работ, в которых обсуждается пример «1 к 100», пытался помочь Сарториусу, заполнив пропуск.Второй отрывок в квадратных скобках отмечает пробел в переводе: там, где у Сарториуса есть ученики «rechnen, multiplizieren und addieren», Уортингтон Гаусс пишет просто «добавляя». Я расскажу больше по этому поводу ниже.

Если Sartorius не указал серию от 1 до 100, откуда взялись эти числа? Может ли быть какой-нибудь другой документ эпохи Гаусса, содержащий недостающие детали? Возможно, кто-то, кому Гаусс рассказал эту историю «с удовольствием и удовольствием», оставил запись об этом событии.Нельзя исключить наличие такого подтверждающего документа, но в настоящее время никаких доказательств этому нет. Ни в одной из увиденных мною работ нет никаких намеков на другой ранний источник. Если рассказ о жизни Гаусса существует, он остается настолько неясным, что не мог оказать большого влияния на других рассказчиков этой истории.

В изученной мною литературе серия 1-100 впервые появляется в 1938 году, примерно через 80 лет после того, как Сарториус написал свои мемуары. Пример 1-100 представлен в биографии Гаусса Людвигом Бибербахом (математиком, известным как главный инструмент нацистского антисемитизма в немецком математическом сообществе).Изложение этой истории Бибербахом также является первым, что я видел, чтобы определить стратегию Гаусса для вычисления суммы — метод формирования пар, которые добавляют к 101. Следовательно, следует ли рассматривать Бибербаха как источник, из которого множество более поздних авторов заимствовали эти «факты». «? Или это случай нескольких независимых изобретений?

Если вы считаете совершенно неправдоподобным, что два или более авторов предложили один и тот же пример и один и тот же метод, то сам Бибербах не может быть признан источником.За целое тысячелетие до того, как Гаусс и Бюттнер столкнулись в классе, по сути та же проблема и решение появились в рукописи восьмого века, приписываемой Алкуину Йоркскому.

Каталог рассказов содержит особенности примерно 70 рассказов анекдота Гаусса. В крайних правых столбцах таблицы указаны следующие особенности, которые могут присутствовать или не присутствовать в данной версии: идентифицирован ли Гаусс как самый молодой член своего класса, объясняется ли задание как занятие, упоминается ли хлыст Бюттнера, упоминается ли Гаусс объявляет «Ligget se!» («Вот оно!»), Описана ли в классе процедура складывания досок, считается ли Гаусс единственным учеником, получившим правильный ответ, предполагается ли, что Бюттнер знает метод суммирования ряда, и, наконец, упоминаются ли два других элемента знаний Гаусса — что он научился считать до того, как научился говорить, и что в возрасте трех лет он исправил арифметику своего отца. Некоторые из этих функций, такие как тема занятости, отсутствовали в исходных версиях, но теперь стали обычным явлением. Более полная версия этой таблицы, включая ссылки на первоисточники, доступна здесь.

Брайан Хейс

Более того, за годы, прошедшие после написания Бибербахом, появились безошибочные свидетельства независимого изобретения. Не все версии согласны с тем, что последовательность чисел была набором последовательных целых чисел от 1 до 100. Хотя эта последовательность является подавляющей фаворитом, было предложено множество других.Есть небольшие вариации: 0–100 или 1–99. Некоторые авторы, кажется, считают, что сложение 100 чисел — слишком большая работа для учеников начальной школы, и поэтому они сокращают объем задания, предлагая 1-80, или 1-50, или 1-40, или 1-20. , или 1-10. Некоторые другие, по-видимому, думают, что 1-100 слишком просто, и поэтому они дают 1-1000 или еще ряд, в котором разница между последовательными членами является константой, отличной от 1, например, последовательность 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27. (Примеры серий, выбранных разными авторами, и другие особенности версий приведены в таблице выше.)

Возможно, самая влиятельная версия истории после рассказа Сарториуса — это версия, рассказанная Эриком Темпл Беллом в книге Men of Mathematics , впервые опубликованной в 1937 году. Белл имеет репутацию изобретательного писателя (эта черта не всегда считается добродетель биографа или историка). Он превращает школу в Брауншвейге в сцену готического ужаса: «убогий пережиток средневековья, которым управляет мужественный зверь, некто Бюттнер, чья идея обучить сотню или около того мальчиков в его подчинении заключалась в том, чтобы довести их до такого состояния. ужаснули глупость, что забыли собственные имена.«Очень кинематографично! Когда дело доходит до арифметики, однако, Белл — один из немногих авторов, которые стесняются различать факт и предположение. Он не утверждает, что знает действительный числовой ряд, но пишет:« Проблема заключалась в следующем: следующая сортировка: 81297 + 81495 + 81693 + . .. + 100899, где шаг от одного числа к другому все время один и тот же (здесь 198), и необходимо добавить заданное количество членов (здесь 100) ». (Лично мне было бы трудно даже написать эту проблему на маленьком листе, не говоря уже о ее решении.)

Разобраться в моделях влияния и передачи в таком сборнике историй непросто. Когда более поздний автор упоминает серию 81297 + 81495 + …, мы можем быть уверены, что эти числа были получены от Bell. Однако в приведенном примере 1–100 отследить линию наследования не так просто — если она есть. И около дюжины других последовательностей, которые появляются в литературе, говорят в пользу высокой скорости мутации; каждый из этих примеров должен был быть изобретен хотя бы один раз.

Рассказчики сказок, подобных этой, похоже, работают с особым разрешением от обычных правил написания истории. Авторы, которые не осмелились бы изменить такой факт, как место рождения Гаусса или детали его математических доказательств, не стесняются приукрашивать этот анекдот, просто чтобы сделать его лучше. Они выбирают из доступных им материалов, берут то, что им нужно, и оставляют остальное — и если ничего под рукой не подходит для цели, они изобретают! Например, несколько авторов демонстрируют знакомство с версией истории Белла, цитируя или заимствуя из нее отличительные фразы, но они отказываются согласиться с выбором Белла серии, начинающейся 81297, вместо этого прибегая к старому надежному 1-100 или вставляя что-то совсем другое.Таким образом, похоже, что движущей силой развития этой истории является не просто накопление ошибок передачи, как в детской игре «шепотом по дорожке»; авторы сознательно стараются «улучшить» рассказ, чтобы сделать его лучше повествованием.

По большей части я бы не стал критиковать эту практику. Эффективное повествование, безусловно, является законной целью, и за пределами формальных научных работ немного вышивки на голой ткани сюжета не причинит вреда.Показательный пример — тема «занятой работы», обнаруженная в самых последних рассказах этой истории (включая мою). Кажется, мы чувствуем необходимость объяснить, почему Бюттнер давал своим ученикам такое долгое и утомительное упражнение. Но Сарториус вообще ничего не говорит о мотивации Бюттнера, как и никакие другие работы XIX века, с которыми я консультировался. Идея о том, что он хотел, чтобы дети молчали, пока отдыхал, является совершенно современным выводом. Возможно, это неправильно — в лучшем случае это не подтверждено доказательствами — и все же это удовлетворяет потребности читателей сегодня.

В том же духе многие авторы сталкиваются с вопросом, который побудил меня начать этот квест: как Бюттнер сделал математические вычисления? Белл твердо уверен, что Бюттнер знал формулу заранее; другие говорят, что он научился трюку только тогда, когда Гаусс объяснил ему это. Примером последней позиции является следующий отчет, написанный в 2001 году тремя учениками пятого класса, Райаном, Джорданом и Мэтью:

Когда Гаусс учился в начальной школе, его учитель Мастер Бюттнер не очень любил математику, поэтому он не тратил много времени на эту тему. Одна из задач, которые его учитель дал классу, заключалась в том, чтобы «сложить все числа от 1 до 100». Его учитель, мастер Бюттнер, был поражен тем, что Гаусс умел складывать в уме все числа от 1 до 100. Мастер Бюттнер не верил, что Гаусс может это сделать, поэтому заставил его показать классу, как он это делает. Гаусс показал мастеру Бюттнеру, как это сделать, и мастер Бюттнер был поражен тем, что только что сделал Гаусс.

Я нечестен, сравнивая Эрика Темпл Белла с тремя пятиклассниками? К какой стороне несправедливо? Оба предлагают интерпретации, которые не могут быть подтверждены историческими свидетельствами, но Райан, Джордан и Мэтью ближе к опыту классной жизни.

Как и в случае с идентичностью серии, детали того, как Гаусс решил проблему, остаются предметом предположений. Предложенный мной алгоритм — складывание последовательности пополам с последующим добавлением первого и последнего элементов, второго и предпоследнего и т. Д. — не единственная возможность. Родственный, но несколько иной алгоритм упоминается многими авторами. Идея состоит в том, чтобы записать серию дважды, один раз вперед и один раз назад, а затем добавить соответствующие элементы. Для знакомой серии 1-100 эта процедура дает 100 пар из 101, всего 10 100; затем, поскольку исходный ряд был продублирован, нам нужно разделить на 2, получив правильный ответ 5050.Преимущество этой схемы в том, что она работает одинаково независимо от того, является ли длина последовательности нечетной или четной, тогда как алгоритм сворачивания требует некоторых суетливых настроек для работы с сериями нечетной длины.

Еще лучше мне кажется третий подход к проблеме суммирования. Основная идея состоит в том, что для любого конечного набора чисел , независимо от того, образуют ли числа арифметическую прогрессию или нет, сумма равна среднему значению всех элементов, умноженному на количество элементов.Таким образом, если вы знаете среднее значение, вы легко найдете сумму. Для большинства наборов чисел этот факт не очень полезен, потому что единственный способ вычислить среднее — сначала вычислить сумму, а затем разделить ее на количество элементов. Однако для арифметической прогрессии есть ярлык: среднее значение по всей серии равно среднему значению первого и последнего элементов (или среднему значению любых других элементов, симметрично расположенных вокруг средней точки). Если это было секретное оружие Гаусса, то его умножение в уме было не 50 x 101, а 100 x 50½.

Все три идеи — и некоторые другие — были представлены тем или иным автором как метод , открытый Гауссом во время своего первого урока арифметики. Выраженные в виде формул для суммирования последовательных целых чисел от 1 до n , три правила (складывание, двойные строки, среднее) выглядят следующим образом:

Математически очевидно, что они эквивалентны: для одного и того же значения n они дают тот же ответ. Но вычислительные детали различны и, что более важно, таковы процессы рассуждения, которые приводят к этим формулам.

Есть еще один способ думать о процессе суммирования: n ( n + 1) / 2 была известна с древних времен как формула для треугольных чисел, входящих в последовательность 1, 3, 6, 10. , 15, 21 …. Таким образом, некоторые авторы предполагают, что Гаусс мыслил геометрически, формируя прямоугольник размером n на n + 1 и разрезая его по диагонали.

Вот и все о том, как выдающийся Карл Фридрих Гаусс решил эту проблему.А как насчет остальных учеников в классе? Позвольте предложить вам взять лист бумаги и попробовать сложить числа от 1 до 100.

Готово? Уже?

Когда я попробовал этот эксперимент, я обнаружил, что очень сложно провести его трудным путем. Вы можете послушно выполнить все операции добавления, но ярлыки появляются, даже когда вы их не ищете. Предположим, вы применяете стандартный алгоритм начальной школы, записывая все 100 чисел в высокий столбец, а затем начинаете работать с цифрами единиц.После первых 10 цифр неполная сумма равна 45; следующие 10 цифр добавляют еще одно приращение 45, доводя частичную сумму до 90; затем еще 45 — 135 и так далее. Насколько далеко ученик продвинется в этом процессе, прежде чем распознает повторяющийся образец? При переходе к разрядам десятков шаблон еще труднее упустить: есть десять единиц, за которыми следуют десять двоек, затем десять троек и т. Д. Конечно, любой ученик, у которого есть навыки для выполнения этой задачи, вообще не стал бы складывать эти повторяющиеся числа на единицу. одним.Более вероятной была бы стратегия, которую подразумевал Сарториус, когда писал «считать, умножать и складывать» — фразу, которую Хелен Уортингтон Гаусс свела к простому «сложению».

На маленькой доске или листе бумаги трудно написать 100 чисел в столбце, поэтому ученики, скорее всего, разбили бы задание на подзадачи. Предположим, вы начинаете с добавления чисел от 1 до 10, получая сумму 55. Тогда сумма от 11 до 20 составляет 155, а от 21 до 30 получается 255. Опять же, как далеко вы продвинетесь, прежде чем обнаружите тенденцию?

По общему признанию, эти ярлыки не могут сравниться с элегантностью и изобретательностью метода Гаусса.Они привязаны к десятичному представлению чисел, и они также не обобщаются на арифметические прогрессии, кроме списков последовательных целых чисел. Но они напоминают нам, что обычно существует несколько способов решить проблему.

Я подозреваю, что только один тип учеников мог бы сложить числа от 1 до 100, выполняя 99 последовательных сложений, а именно, ученик, использующий компьютер или программируемый калькулятор. А для этого ученика самая простая стратегия может оказаться лучшей.

Мы можем надеяться, что современный Бюттнер — разумеется, лишенный хлыста и преподающий в классе, где компьютеры заменили планшеты, — не будет обучать студентов навыкам такой сомнительной полезности, как сложение длинных серий чисел вручную. . Но новый Бюттнер мог просто попросить своих учеников написать программу для вычисления суммы любой арифметической прогрессии. Новый Гаусс с такой же проницательностью мог бы создать очень эффективную программу, основанную на идее создания пар, и этот подвиг до сих пор заслуживает высочайшего восхищения.Но современный Гаусс может быть не первым, кто бросит свой ноутбук на стол и воскликнет: «Вот оно!» Написание этой умной программы — и ее тестирование, отладка и доказательство ее правильности — будет не быстрее, чем написание простой пошаговой версии. В этом отношении технология может быть чем-то вроде эквалайзера.

История Гаусса и его завоевания арифметических рядов естественно привлекает молодых людей. В конце концов, герой — ребенок, ребенок, который перехитрил «мужественного зверя».»Для многих студентов это, безусловно, вдохновение. Но меня немного беспокоит то, что постоянное повторение историй, подобных этой, может оставить впечатление, будто математика — это игра, подходящая только только тем, кто идет по жизни, постоянно отбрасывая искры блеска. .

В первый раз услышав эту басню, большинство студентов наверняка захотят представить себя в роли Гаусса. Однако рано или поздно большинство из нас обнаруживает, что мы одни из менее выдающихся одноклассников; если мы в конце концов получим правильный ответ , это тяжелый труд, а не родной гениальности.Я надеюсь, что эта история может быть рассказана таким образом, чтобы эти студенты продолжали учиться. И, возможно, это можно уравновесить другими историями, показывающими, что в математике есть место более чем одному типу ума.

В сборе версий анекдота Гаусса мне помогли десятки библиотекарей, а также друзья и другие. Я особенно хочу поблагодарить Йоханнеса Берга из Кельнского университета; Кэролайн Грей из библиотек Университета Джонса Хопкинса; Стефан Мертенс из Магдебургского университета; Иво Шнайдер из Университета Бундесвера, Мюнхен; Маргарет Тент из школы Альтамонт в Бирмингеме, штат Алабама, и Мэри Линн Вернет из библиотек Северо-Западного государственного университета в Натчиточе, Луизиана.

Белл Э. Т. 1937. Математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер.
Бибербах, Людвиг. 1938. Карл Фридрих Гаусс: Ein Deutsches Gelehrtenleben. Берлин: Кейл Верлаг.
Бюлер, В. К. 1981. Гаусс: биографическое исследование. Нью-Йорк: Springer-Verlag.
- Даннингтон, Дж. Уолдо. 1955, 2004. Карл Фридрих Гаусс: Титан науки. С дополнительными материалами Джереми Грея и Фриц-Эгберта Дозе. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки.
- Холл, Торд. 1970. Карл Фридрих Гаусс: биография. Перевод Альберта Фродерберга. Кембридж: MIT Press.
- Hänselmann, Людвиг. 1878. Карл Фридрих Гаусс: Zwolf Kapitel aus Seinem Leben. Лейпциг: Дункер и Хамблот.
- Папас, Теони. 1993. Фракталы, гуголы и другие математические сказки. Сан-Карлос, Калифорния: Wide World Publishing / Tetra.
- Петерсон, Иварс. 2004. Молодой Гаусс. Новости науки в Интернете http://www.sciencenews.org/articles/20041023/mathtrek.asp
- Райх, Карин. 1977. Карл Фридрих Гаусс: 1777/1977 . Перевод Патрисии Крэмптон. Бонн-Бад-Годесберг: Inter Nationes.
- Райан, Джордан и Мэтью. Математическая мания: Иоганн Карл Фридрих Гаусс. http://library.thinkquest.org/J0110961/gauss.htm
- Sartorius von Waltershausen, W.1856. Gauss: zum Gedächtnis. Лейпциг: С. Хирцель.
- Sartorius von Waltershausen, W. 1856, 1966. Карл Фридрих Гаусс: Мемориал. Перевод Хелен Уортингтон Гаусс. Колорадо-Спрингс, штат Колорадо.
- Палатка, M. B. W. 2005. Князь математики: Карл Фридрих Гаусс. Уэлсли, Массачусетс: А. К. Питерс.
- Wußing, Hans. 1989. Карл Фридрих Гаусс. Лейпциг: B. G. Teubner Verlagsgesellschaft.

3 НОМЕР: ЧТО ЕСТЬ ЗНАТЬ? | Добавляем: помощь детям в изучении математики

	классических времен, написал бумагу в виде письма королю своего города, объясняя, как писать такие очень большие числа.Архимед, однако, не зашел так далеко, чтобы изобрести десятичную систему счисления с возможностью неограниченного расширения.
22.	Knuth, 1974, стр. 323.
23.	Steen, 1990. См. Морроу и Кенни, 1998, чтобы узнать больше об алгоритмах.
24.	Точки с многоточием «…» в выражении являются важной частью абстрактной математической записи, компактно обозначающей пропуск необходимых терминов (для достижения м, в данном случае ).

Список литературы

Бер, М.Дж., Харел, Г., Пост, Т., И Леш Р. (1992). Рациональное число, соотношение и пропорция. В D.A.Grouws (Ed.), Справочник по исследованиям по преподаванию и изучению математики (стр. 296–333). Нью-Йорк: Макмиллан.

Bruner, J. S. (1966). К теории обучения . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press.

Куоко, А. (Ред.). (2001). Роли представления в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики 2001 г.).Рестон, Вирджиния: NCTM.

Дюваль Р. (1999). Представление, видение и визуализация: когнитивные функции в математическом мышлении. Основные вопросы для обучения. В F.Hitt & M.Santos (Eds.), Proceedings of the двадцать первой ежегодной встречи Североамериканского отделения Международной группы по психологии математического образования (том 1, стр. 3–26). Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по естествознанию, математике и экологическому образованию. (ERIC Document Reproduction Service No.ED 433 998).

Фройденталь, Х. (1983). Дидактическая феноменология математических структур . Дордрехт, Нидерланды: Рейдел.

Грино Дж. Дж. И Холл Р. (1997). Практика репрезентации: изучение репрезентативных форм. Дельта Фи Каппан , 78 , 1–24. Доступно: http://www.pdkintl.org/kappan/kgreeno.htm. [10 июля 2001 г.].

Капут,]. (1987). Системы представлений и математика.В C.Janvier (Ed.), Проблемы представления в преподавании и изучении математики (стр. 19–26). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Knuth, D.E. (1974). Информатика и ее отношение к математике. Американский математический ежемесячник , 81 , 323–343.

Лакофф, Г., & Нуньес, Р.Э. (1997). Метафорическая структура математики: набросок когнитивных основ для математики, основанной на разуме. В Л.D.English (Ed.), Математические рассуждения: аналогии, метафоры и изображения (стр. 21–89). Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Морроу, Л.Дж., и Кенни, М.Дж. (ред.). (1998). Преподавание и изучение алгоритмов в школьной математике (Ежегодник Национального совета учителей математики за 1998 год).

Сумма цифр от 1 до 100: От 1 до 1 000 000 000

Сумма чисел от 1 до 20. Занимательная математика: правило Гаусса

Шаги

Вычисление суммы чисел, расположенных между двумя числами, посредством суммы от 1 до N

Предупреждения

Немного истории

Задачи на использование правила Гаусса

Сумма и произведение цифр числа. Решение задачи на Python

Первый способ: разбить числа на пары

Второй способ: увеличить вдвое и записать в две строки

Третий способ: сделать прямоугольник

Четветрый способ: среднее арифметическое

Пятый способ: интеграл

правило Гаусса. Задачи на использование правила Гаусса

Шаги

Вычисление суммы чисел, расположенных между двумя числами, посредством суммы от 1 до N

Предупреждения

Немного истории

Задачи на использование правила Гаусса

Занимательная математика: правило Гаусса

Немного истории

Задачи на использование правила Гаусса

О сумме цифр, обобщённом признаке делимости и одной нерешённой задаче

Занятие 19 апреля — Кружок «Увлекательная математика» при ФМЛ №30

Безопасность | Стеклянная дверь

Nous aider à garder Glassdoor sécurisée

Unterstützen Sie uns beim Schutz von Glassdoor

— Найдите сумму цифр в числе 100!

Уловка Гаусса — семинар для сотрудников

Начало работы

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Обобщение

Немного дальше

Семинар

Ответы на некоторые вопросы

Гаусс и сон его учителя

Большой трюк с суммированием Гаусса

День расплаты Гаусса | Американский ученый

3 НОМЕР: ЧТО ЕСТЬ ЗНАТЬ? | Добавляем: помощь детям в изучении математики

You May Also Like

Юному художнику что подарить: Что подарить художнику – ТОП 25 оригинальных подарков

Онлайн детская песня: Коллекция детских песен. Песенки онлайн

Leave a Reply Cancel