Загадка лягушка: Загадки про лягушек (для детей)

Услышав карканье, мы обновляем образец пространства, используя новую информацию, которую мы получили.То есть, услышав кваканье, мы знаем, что пень B не может иметь двух самок лягушек, потому что самки лягушки не квакают. Поэтому мы исключаем (FF) из выборочного пространства. Теперь у нас есть оставшиеся возможности: (MM), (MF) и (FM). Две из этих трех возможных ситуаций содержат самку лягушки, поэтому вероятность того, что самка лягушки окажется на втором пне, составляет 2 из 3, или 66,7%. Очевидно, что вероятность попадания лягушки-самки на пень А составляет всего 50%, поскольку мы ничего об этом не знаем. Поэтому мы выбрали пень Б.

Решение TED имеет смысл.Однако это также противоречит некоторой простой интуиции. Допустим, мы рассматриваем пень B с двумя лягушками, которые могут быть самцами или самками. Как только мы слышим кваканье, мы знаем, что есть по крайней мере один самец лягушки. Мы не знаем, кто из них мужчина, но это не имеет значения. Теперь есть одна лягушка, о которой мы знаем, что это самец, и одна лягушка, о которой мы действительно ничего не знаем. Поскольку лягушки независимы, вероятность того, что вторая лягушка будет самкой, по-прежнему составляет 1/2, или 50%, и поэтому вероятность того, что пень B содержит самку, составляет 50%.Следовательно, не имеет значения, выберете ли вы пень A или пень B.

Это аргумент, который доминирует в разделе комментариев на YouTube. Пользователи придумали несколько способов объяснить причину, по которой вероятность составляет 50% в любом случае. Некоторые из этих объяснений столь же убедительны, как и объяснения TED.

Теперь у нас есть два разных решения, которые кажутся правильными, но дают противоречивые ответы. Как мы можем точно сказать, какое из них действительно верно? Хороший подход, хотя и не такой увлекательный, — это свести проблему к чему-то прозрачному и объективному.Для этого мы переводим задачу в понятную математическую нотацию. Если вы не знакомы с вероятностью и не хотите увязать в формулах, смело переходите к разделу «Урегулирование спора». Остальным из вас я рекомендую вытащить свои записи из вероятности и проработать их самостоятельно.

Первыми шагами, как всегда, являются определение переменных для различных событий и определение количества, которое мы хотим определить. Это количество составляет «вероятность того, что два самца находятся на пне B, при условии, что наблюдалось кваканье», написано P (M₂ | C).Сразу же мы можем использовать теорему Байеса, чтобы преобразовать желаемую вероятность в комбинацию значений, которые легче найти. Для тех, кто плохо знаком с правилом Байеса (рад, что вы все еще читаете!), Определение может быть мало полезным. В статье Института корпоративных финансов говорится, что правило Байеса ¹

… представляет собой математическую формулу, используемую для определения условной вероятности событий… на основе предварительных знаний об условиях, которые могут иметь отношение к событию

Самая важная вещь, которую нужно понимать в правиле Байеса, — это то, что оно позволяет нам инвертировать условную вероятность P (M₂ | C) в P (C | M₂), как показано ниже.

Замечание Я сказал, что эту форму легче решить, а не просто. Нахождение P (C), вероятности наблюдения кваканья, требует использования закона полной вероятности и нескольких других шагов. Они показаны ниже. Важное замечание: P (C) — это безусловная вероятность наблюдения кваканья. Люди часто хотят написать P (C) = 1, поскольку известно, что было слышно кваканье, но это неверно, поскольку P (C) представляет собой вероятность услышать кваканье в целом. Также предполагается, что вероятность кваканья одной лягушки не зависит от кваканья другой лягушки.Это обычное предположение с точки зрения вероятности и кажется правдоподобным для данной проблемы.

Вот и все. P (C) = Pc — 0,25Pc ². Все просто, правда? Но возникает очевидный вопрос: «Что такое ПК?» Выше мы определили его как — вероятность увидеть кваканье у одной лягушки в заданный период времени. Мы обсудим это через минуту. Во-первых, приведем P (M₂ | C) в его окончательный вид.

Если вы не знаете, откуда берутся значения P (M ₂ ) или P (C | M ₂ ), посмотрите, как мы решили для Pc. P (M ₂ ) и P (C | M ₂ ) мы решали по пути.

Теперь мы завершили нашу задачу решения для P (M₂ | C)! Однако это не число, подобное 66,7%. Это уравнение. Это не кажется правильным, но на самом деле проблема не решается в том виде, в котором она представлена. Для получения численного решения необходимо сделать важное предположение: какое значение Pc использовать! По этой причине два несовместимых решения на самом деле оба правильные в зависимости от того, насколько вероятно, что кто-то наблюдает кваканье от одной лягушки-самца.На графике ниже показан диапазон значений P (M₂ | C) для разных значений Pc (от 0 до 1).

Когда Pc приближается к 0 (то есть, когда вероятность увидеть кваканье у самца лягушки крайне редка), вероятность двух самцов лягушки приближается к 50%. Это соответствует решению YouTube. Когда Pc приближается к 1 (то есть когда вероятность увидеть кваканье у самца лягушки чрезвычайно распространена), вероятность двух самцов лягушки приближается к 33%. Это соответствует решению TED, хотя они рассматривают проблему как вероятность по крайней мере одной женщины, которая составляет 1–0,33 = 0,67. Поскольку фактическое значение Pc неизбежно находится где-то между 0 и 1 исключая, вероятность того, что хотя бы одна самка окажется на культе B, будет выше 50%, поэтому культя B является лучшим выбором.

Почему вероятность услышать карканье на что-нибудь влияет? Что ж, если кваканье действительно редкое явление, вероятность его появления у нас примерно в два раза выше, когда есть два самца, чем когда есть только один.Однако, когда кваканье является обычным явлением, вероятность увидеть кваканье у двух самцов примерно такая же, как у одного самца. Вероятность наблюдения кваканья при наличии двух самцов влияет на вероятность появления двух самцов при наблюдении кваканья. Это соотношение может сбивать с толку, но это взаимодействие можно увидеть в нашем решении уравнения P (C | M₂) выше.

Если вы никогда не слышали о теореме Байеса до сегодняшнего дня, или если эта проблема убедила вас, что вам нужно освежиться, посмотрите это видео из Khan Academy.

TED и YouTube — не единственные, кто делает невысказанные предположения. В приведенном выше решении я исходил из предположения, что невозможно услышать или различить два квакания в заданный период времени. Я объединил случаи одного кваканья и двух кваканий в одну общую категорию слышания кваканья. Это имеет смысл в контексте проблемы, но, вероятно, нереально. Если мы удалим это предположение и укажем, что в данном случае было слышно только одиночное кваканье, мы получим следующее уравнение для P (M₂ | C), где C конкретно относится к событию слышания одиночного кваканья.

Эта функция также дает значение 0,5 при Pc = 0, но убывает быстрее, чем первая функция, до значения 0 для Pc = 1 (если вы всегда слышите кваканье, когда есть самец лягушки, то вы никогда не услышите просто одно кваканье, когда есть два самца лягушки.) Поскольку фактическое значение Pc неизбежно находится где-то между 0 и 1 исключая, вероятность двух самцов на пне B будет на меньше, чем на , чем на 50%, и, следовательно, вероятность того, что по крайней мере один самка будет больше 50%. Поэтому пень B — лучший вариант.Кроме того, поскольку эта функция убывает быстрее, чем первая функция, она дает более высокую вероятность того, что лягушка-самка находится на культе B для всех значений Pc> 0.

[1] Институт корпоративных финансов, что такое теорема Байеса? (2018), Corporatefinanceinstitute.com

Загадка TED-Ed Frog НЕПРАВИЛЬНА

Загадка TED-Ed Frog НЕПРАВИЛЬНА duckware.com/tedfrog — 17 января 2017 г. — Blog Index 1.Загадка TED-Ed о лягушке Загадка: Согласно TED-Ed «Сможете ли вы решить загадку с лягушкой?» видео (или посетите ed.ted.com для полного урока): «Итак, вы оказались в огромном тропическом лесу и съели ядовитый гриб. Чтобы спасти В вашей жизни вам нужно противоядие, выделяемое определенными видами лягушек. К сожалению, только самка вид производит противоядие.И что еще хуже, мужчины и женщины встречаются в равных количествах и выглядят одинаково, и вы не можете отличить их друг от друга, за исключением того, что самец имеет характерное карканье. И это может быть просто твой удачный день. Слева вы заметили лягушку на пне. Но прежде чем вы начнете бежать к нему, вы поражаетесь кваканью самца лягушки, доносящегося с поляны в противоположном направлении. Там вы видите двух лягушек, но не можете сказать, какая из них издала звук. Вы чувствуете, что начинаете терять сознание и осознать, что у вас есть время пойти только в одном направлении, прежде чем вы рухнете.Каковы ваши шансы на выживание, если вы отправитесь на поляну и лизнете там обеих лягушек? А если ты пойдешь к пню? Куда идти? » Бежать на поляну или бежать к пню (или умереть, пытаясь разгадать эту загадку)? Противоречие: Преш Талвалкар опубликовал Видео «Загадка о лягушке TED-Эда неверна» на своем канале YouTube «Mind Your Decisions», в котором размещено видео TED-Ed для неверно, и представил свой метод нахождения « правильной » вероятности появления самки лягушки на поляне. Единственная проблема в том, что Преш решил, что женское карканье «доказывает» неправоту TED-Ed. 2. Неправильный ответ на загадку. Ответ TED-Ed: TED-Ed утверждает, что вероятность найти самку лягушки на поляне составляет 2/3. 1/2 за нахождение лягушки на пне с условной вероятностью. Это неправильный ответ. Ужасный пример условной вероятности: Эта загадка TED-Ed — ужасный пример условной вероятности , потому что она оставляет много критические допущения, открытые для интерпретации.А как насчет биологии и того факта, что лягушка-самец каркает, чтобы атаковать лягушку-самку? Очевидно, мы должны игнорировать это. Самка лягушки вообще квакает? Не в реальной жизни! Итак, сохраните как можно больше переменной и решите. Итак, просто заявите, что самцы лягушки квакают с вероятность p, а самки квакают с вероятностью q и решите эту проблему (вы всегда можете ставим q = 0 постфактум)! Совершенно очевидно, что TED-Ed предназначался для характерного кваканья самца лягушки из поляна просто (только) сообщить нам, что на поляне есть самец лягушки. Однако TED-Ed не планировал того, что он также сообщает нам, что на пне нет каркающего самца! Итак, имеет значение, КАК вы узнали, что на поляне был самец лягушки! Сделал «оракул» сказать вам, что на поляне был самец лягушки (не влияет на пень). Или ты слышал только кваканье с поляны (тоже сказывается на пне)? Это имеет значение. См. «Режим оракула» в симуляции далеко ниже. Также «Копай глубже» раздел урока для загадки лягушки на сайте TED-Ed указывает на Проблема Монти Холла (дополнительная информация из вики), что еще раз подтверждает, что TED-Ed намеревался представить проблему «оракула». Задача Монти Холла: Вы находитесь на игровом шоу, и там три коробки. Внутри только один коробка лежат ключи от новенькой машины! Вас попросят выбрать поле. После того, как вы выбрали коробку, ведущий игрового шоу показывает пустую коробку и спрашивает, хотите ли вы , чтобы сохранить исходный выбор, или переключитесь на одно оставшееся поле. Что вы должны сделать? Для большинства людей ответ — что переключение дает 2/3 шанса выиграть машину — кажется невозможным.Но небольшая мысль делает это очевидным. В 1/3 случаев, когда вы изначально выбирали ящик с ключами от машины, хозяин показывает одну проигрышную коробку, вы переключаетесь на другую проигрышную коробку и проигрываете. Но в 2/3 случаев, когда вы первоначально выбрали проигрышную коробку, ведущий показывает другую проиграв коробку, вы переключаетесь на коробку с ключами от машины и выигрываете! Характерное кваканье: Тот факт, что вы узнали о лягушке-самце на поляне. пара, услышав характерное карканье самца, , и что других карканье не было , не только изменяет исходное пространство для поля, , но также изменяет исходное пространство за пень (как оттуда не было карканья)! Кроме того, фактическое значение вероятности кваканье самца лягушки (или нет) играет ключевую роль в вероятности нахождения самки лягушки. Квот, вероятность имеет значение! Чтобы ясно увидеть, что вероятность кваканья лягушки-самца имеет очень большое значение, рассмотрите что происходит, когда вероятность мужского кваканья равна 100%. Тогда любая «молчаливая» лягушка ДОЛЖНА быть лягушкой-самкой! И тот факт, что вы слышали одинокого мужчину характерное кваканье, исходящее от поляны, означает, что две другие (тихие) лягушки (одна на поляне; одна на пне) ОБЯЗАНЫ быть самками лягушек! Веселый ответ TED-Ed: Я заполнил контактную форму TED-Ed и сообщил о проблеме с математикой в ​​видео (дело № 721930). Ответом TED-Ed была поддержка, и поскольку этот человек не был математиком, Я не буду цитировать этого человека напрямую, но они защищали видео с лягушкой, эффективно заявляя ‘ на пне мужского кваканья нет, но также нет и женского кваканья, так что это означает, что 1/2 — правильный ответ ». 3. Правильный ответ на загадку. Пожалуйста, обратитесь к следующим разделам для обоснования этих ответов Q: «Каковы ваши шансы на выживание, если вы направитесь на поляну и лизнете там обеих лягушек?» Ответ: Вероятность найти самку лягушки на поляне с учетом того, что вы слышали характерное мужское кваканье, исходящее с поляны (и никаких других кваканций), составляет (1-q) / (2-p-q) , где ‘p’ — вероятность мужского пола кваканье лягушки, а «q» — вероятность кваканья самки лягушки. При p = 0,5 и q = 0 вероятность составляет 2/3. Q: А что, если вы подойдете к пню? Ответ: Вероятность найти лягушку на пне при условии, что вы слышали характерное мужское кваканье, исходящее с поляны (и никаких других кваканций), составляет (1-q) / (2-p-q) , где ‘p’ — вероятность мужского пола кваканье, а q — вероятность кваканья самки лягушки. При p = 0,5 и q = 0 вероятность составляет 2/3. Q: Куда идти? Ответ: Независимо от того, какова вероятность кваканья лягушки-самца или кваканья самки, в обоих случаях вероятность найти самку лягушки одинакова! Но, учитывая, что вы вот-вот «потеряете сознание» и «коллапс», лучше не терять время зря — а значит, лизать нужно только ОДНУ лягушку, а не две, так что … Лучший вариант — пойти к пню! 4.Справочная информация: условная вероятность Загадка TED-Ed — это классическая ситуация с условной вероятностью. А именно какова вероятность события А («найти лягушку на поляне / на пне»), учитывая что произошло условие B («вас пугает кваканье самца лягушки, летящего с поляны в противоположном направлении»). Формула условной вероятности: Решение — условная вероятность формула (видно справа).Эта формула означает: вероятность того, что A при данном B равна вероятность того, что A и B произойдут вместе, деленная на вероятность только B . Другой способ мышления об условной вероятности состоит в том, что она, по сути, создает новое пространство выборки ‘B’ , которое представляет собой подмножество исходного пространства выборки — а затем какова вероятность того, что «А» произойдет в этом новом пространстве отсчетов «В». Пример: Бросьте две справедливые кости.Пространство выборки — 6 × 6 = 36 (равновероятно) элементов. Какова вероятность, что только один из бросков выпадет на 5? Осматриваем пробное пространство и находим 10 совпадений. Итак, ответ — 10/36, или чуть меньше 28%. Теперь, какова вероятность того, что только один из бросков выпадет на 5, , если сумма обоих кубиков равна 9? P (B) — это P (если сумма обеих игральных костей равна 9), а P (A) — это P (какова вероятность, что только один из бросков выпал на 5). Решая, мы получаем P (B) 4/36, а P (A∩B) 2/36 для окончательного ответа тогда (2/36) / (4/36), или 50%. Ключ к пониманию другого ответа — осознание того, что условие создает новое пространство выборки. Нечто подобное происходит с загадкой о лягушке. Ключ к разгадке лягушачьей загадки правильно находит новое пространство сэмплов «B». Вики по условной вероятности. Условные вероятности иногда могут быть невероятно сложными. Вы получите только «правильный» ответ когда вы (1) правильно перечисляете (или учитываете) ВСЕ возможные результаты и (2) правильно отфильтровываете исходы без условий. 5. Математика правильного ответа Прежде чем мы начнем, давайте проясним некоторые моменты: P (самец или самка): Мы должны знать вероятность встречи самца или самки лягушки. Исходные состояния загадки ‘равные числа’, что мы будем переводить как ‘равновероятные’, хотя это не именно это (более подробно об этом см. в следующем разделе). P (кваканье самца): Мы будем использовать вероятность кваканья самца лягушки на букву «р» — удерживая ее. Переменная! Таким образом, постфактум, вы можете установить ‘p’ на что угодно. P (кваканье самки): Мы будем использовать вероятность кваканья самки лягушки «q» — сохраняя это переменной! Таким образом, постфактум, вы можете установить ‘q’ на что угодно, включая ноль, что исключает женское кваканье. один и только один мужской квакан: Исходное видео TED-Ed ясно дает понять в последующем повествовании, что «напуган карканьем самца лягушки» означает слышать ОДИН и только один самец кваканье, которое устраняет одновременное кваканье нескольких самцов. и никакого другого кваканья: Рассказ загадки дает понять, что вы смотрите у лягушки на пне, когда вас начинает характерное карканье самца из расчистка. Итак, вы знаете, что пень не издавал кваканья. Что касается расчистки, загадка гласит: «Кто издал звук?», что означает, что был слышен единственный звук. Новое пространство образца (выделено) F 0 — F 0 F 0 F 0 — F 0 F 1 F 0 — F 1 F 0 F 0 — F 1 Ф. 1 F 0 — F 0 M 0 F 0 — F 0 M 1 F 0 — F 1 M 0 F 0 — F 1 M 1 F 0 — M 0 F 0 F 0 — M 0 F 1 F 0 — M 1 F 0 F 0 — M 1 Ф. 1 F 0 — M 0 M 0 F 0 — M 0 M 1 F 0 — M 1 M 0 F 0 — M 1 M 1 F 1 — F 0 F 0 F 1 — F 0 F 1 F 1 — F 1 F 0 F 1 — F 1 Ф. 1 F 1 — F 0 M 0 F 1 — F 0 M 1 F 1 — F 1 M 0 F 1 — F 1 M 1 F 1 — M 0 F 0 F 1 — M 0 F 1 F 1 — M 1 F 0 F 1 — M 1 Ф. 1 F 1 — M 0 M 0 F 1 — M 0 M 1 F 1 — M 1 M 0 F 1 — M 1 M 1 M 0 — F 0 F 0 M 0 — F 0 F 1 M 0 — F 1 F 0 M 0 — F 1 Ф. 1 M 0 — F 0 M 0 M 0 — F 0 M 1 M 0 — F 1 M 0 M 0 — F 1 M 1 M 0 — M 0 F 0 M 0 — M 0 F 1 M 0 — M 1 F 0 M 0 — M 1 Ф. 1 M 0 — M 0 M 0 M 0 — M 0 M 1 M 0 — M 1 M 0 M 0 — M 1 M 1 M 1 — F 0 F 0 M 1 — F 0 F 1 M 1 — F 1 F 0 M 1 — F 1 Ф. 1 M 1 — F 0 M 0 M 1 — F 0 M 1 M 1 — F 1 M 0 M 1 — F 1 M 1 M 1 — M 0 F 0 M 1 — M 0 F 1 M 1 — M 1 F 0 M 1 — M 1 Ф. 1 M 1 — M 0 M 0 M 1 — M 0 M 1 M 1 — M 1 M 0 M 1 — M 1 M 1 ‘услышал мужское кваканье на расчистке’ уменьшает 64 элемента до 8 Условная вероятность: Эта загадка является классической условной вероятностью проблема (формула приведена в разделе выше).Учитывая «состояние» «вас пугает кваканье самца лягушки, летящего с поляны в противоположном направлении», что (1) вероятность попадания самки лягушки на культю, и (2) вероятность появления самки лягушки на поляне? Настройка: Начните с перечисления ВСЕХ возможных результатов встречи с одной лягушкой. на пне и две лягушки на поляне ( F = самка, M = самец), где нижний индекс каждой лягушки F / M указывает, квакает ли эта лягушка ( 1 = да, 0 = нет). 6 или 1/64. P (B) = P (слышно мужское кваканье на поляне и никаких других квакананий): Просмотрите все 64 предмета на предмет единственного мужского кваканья, исходящего с поляны. пара лягушек и НИКАКОГО другого кваканья. На спичках отметьте / выделите весь элемент желтым цветом. Эти предметы представляют собой новое пространство для образцов. Сумма всех 8 отмеченных / желтых вероятностей P (предмета) для любых «p» и «q» составляет: P (самка на культе | B): Для всех предметов в пределах P (B), если есть самка «у пня», покрасьте эту самку в красный цвет.Сумма всех 4-х красных вероятностей P (предмета) для любых «p» и «q» равна: Итак, ответ для P (самка на культе | B): П (гнездо в расчёте | В): Для всех предметов в пределах P (B), если есть женщина «в паре очистки», раскрасьте эту женщину в синий цвет. Сумма всех 4 вероятностей синего P (предмета) для любых «p» и «q» равна: Итак, ответ для P (женщина на поляне | B): Невнятное женское кваканье? Одно из возможных толкований повествования загадки: что, когда характерное мужское карканье слышно , может быть «неразличимое» женское кваканье продолжается в то же время. В предыдущей версии этой статьи я рассчитал эта возможность и результат формулы точно такие же, как при установке q на ноль. Таким образом, игнорирование женского кваканья (отсутствие влияния на слух «характерного» мужского кваканья) — это точно так же как и никакого женского кваканья. Это имеет смысл. Но где же тогда это делать? Только в формуле очистки? В формуле пня? Обе? Какой беспорядок. 6. Как TED-Ed облажался Как ошибся TED-Ed: Поскольку невозможно точно знать, что TED-Ed намеревался сделать для этой загадки, но давайте предположим, что TED-Ed знал, что они были (в основном) делали.На основании всего, что они делали, и здравого смысла, наиболее логичным выводом является то, что TED-Ed использовал p = 0,5, q = 0, напортачил, создавая пробелы, которым повезло с очисткой (правильный ответ, но неправильная математика), и просто напортачили на пне (неправильный ответ и неправильная математика): Дерево вероятности пня Пень: Для пня есть только одна лягушка с возможностями (M, F). Если распространить это на только одну лягушку-самца, квакающую на поляне и не кваканье самки, вы получите либо (1) самку, либо (2) не квакающего самца — либо пробел из (Ф * , М 0 ).Также см. Дерево вероятностей, показанное справа. Следовательно, условная вероятность найти лягушку у пня, учитывая мужское кваканье только с поляны (и p = 0,5, q = 0) равно (1/2) / (1/2 + 1/4) или 2/3. Но TED-Ed использовал образец пространство (M, F) и вычисленное 1/2, неправильный ответ! Ключевая ошибка TED-Ed — непонимание того, что вероятность того, что мужчина кваканье лягушки влияет как на поляну, так и на пень — и просто (ошибочно) предположили, что F * и M 0 одинаково вероятны. Единственный способ получить ответ 1/2 TED-Ed — это если лягушки-самцы никогда не квакают (p = 0)! Расчистка: Для расчистки есть две лягушки с возможностями (FM, MF, MM). Когда вы распространите это на кваканье только одной лягушки-самца и не на кваканье самки, вы получите (F * M 1 , M 1 F * , M 1 M 0 , M 0 M 1 ). Следовательно, условная вероятность найти самку лягушки на поляне, учитывая мужское кваканье только с поляны (и p = 0.5, q = 0) равно (1/8 + 1/8) / (1/8 + 1/8 + 1/16 + 1/16) = 2/3. Но TED-Ed использовал образец пространства (FM, MF, MM), рассчитал 2/3, и ему повезло, получив правильный ответ с использованием неправильной математики. 7. Преш Талвалкар ответил не на тот вопрос. Неправильный вопрос: Преш Талвалкар задал неверный вопрос. Он сосредоточился на вероятности появления самки лягушки. в расчёте, заявив, что это была 1/2, а не 2/3, рассчитанные TED-Ed. Но единственный способ получить такой результат — это предположить, что самки лягушки квакают с вероятность 0,5 (но самки лягушки в реальном мире не квакают). Это была ошибка и неправильная тактика. Преш должен был вместо этого просто вычислить вероятности в любом случае и показать, что они равны! Беспорядок противоречивой информации: блог PT и видео на YouTube — беспорядок противоречивых Информация. В его блоге говорится: «Если предположить, что квакают только самцы лягушек», а его видео на YouTube противоречит что заявляет, что «мы будем предполагать, что (кваканье самцов и самок лягушки) — все равно вероятные события». Я написал PT, и он ответил, но когда я начал обсуждать ошибки в его работе, PT замолчал. Это молчание говорит само за себя! 8. Но лягушки-самки не квакают! Правильно! Формулы были созданы не для того, чтобы получить конкретный ответ, а для того, чтобы ясно показывают, что не имеет значения, каковы вероятности кваканья — вероятность Самки на поляне точно так же, как вероятность попадания самки на культю. Чтобы исключить кваканье самок лягушки, просто задайте в формулах q = 0. 9. Сможете ли вы решить эти варианты загадок? Возьмите загадку TED-Ed, представленную вверху этой страницы. Вероятность мужское кваканье 0,5. Самки не квакают. Учитывая эти основные правила, можете ли вы решить эти другие загадки / вопросы … Загадка первая: Возьмите загадку TED-Ed и перефразируйте ее следующим образом: «Слева от вас»… Вы видите, как одна лягушка прыгает на пень. Вы видите, как вторая лягушка прыгает на пень и распознает в нем «помеченного» самца. Вы видите, как третья лягушка прыгает на пень. Все три лягушки выглядят одинаково. У вас есть только время лизать ОДНУ лягушку. Какую лягушку вы собираетесь лизать (первую или третью) и почему? Разве не удивительно, что математики, которые неправильно придираются к загадке TED-Ed? переведите «мужчина и женщина встречаются в равном количестве» на «одинаково вероятны». Оба очень близки друг к другу, но не одно и то же! «Равные числа» означает, что вы начинаете с N самцами лягушек и N самками! Для N самок лягушек и N самцов существует вероятность N / (2N) = 1/2, что первая лягушка — самка. Вторая лягушка — самец. Так что насчет третьей лягушки? Посчитайте, и есть вероятность 1 / (2-1 / N), что третья лягушка самка дает очень небольшое преимущество третьей лягушке, являющейся самкой ! Когда N идет к бесконечность, 1 / (2-1 / N) становится ожидаемой 1/2 в случае «равновероятно». СОВЕТ. Таблица — ваш лучший друг. Мои шаги: (1) создать рабочую модель в электронной таблице, (2) выведите формулу на бумаге и (3) введите формулу в электронную таблицу и убедитесь, что она и модель дает те же результаты для различных «N». Итак, ответ таков: вы должны лизать третью лягушку. Загадка вторая: (1) Какова вероятность, что вы услышите одиночный мужской кваканье? от пары женщина / мужчина? (2) Какова вероятность того, что вы услышите одиночное кваканье от мужчины / мужчины? пара? (3) Какова вероятность того, что вы услышите кваканье (кваканье) от пары мужчина / мужчина? Первый ответ — 1/2 (единственная вилка вероятности, когда самка не квакает, — это квакание самца или нет) Второй ответ тоже 1/2. (потому что вы исключаете, когда они оба не кваканье или когда они оба квакают). Третий ответ — 3/4 (1/4 — когда они оба не хрипят). Парадокс кваканья двух лягушек: Учитывая вероятность кваканья лягушки 0,5, каков вероятность услышать одиночное кваканье от (1) ОДНОЙ лягушки, (2) ДВУХ лягушек. Удивительно то же самое! Для одной лягушки это, очевидно, 1/2. Для двух лягушек это 2/4 (01,10) от (00, 01, 10, 11) или то же 1/2. Ключ в понимании того, что с две лягушки, одна лягушка квакает и другая лягушка НЕ ​​ДОЛЖНА квакать! 10.ВСЕГДА запускайте симуляцию Q + D — чтобы проверить свою математику и загадку Подтвердите результаты: Запустите моделирование и убедитесь, что вычисленный математический ответ совпадает с ответом моделирования. Даже малейшее ошибочное предположение при чтении вероятностной задачи может резко повлияют на результаты. I всегда пишу быстро и грязно Monte Carlo Simulation , чтобы «подтвердить» (или опровергнуть) рассчитанные математические результаты. В течение нескольких минут (кодирования) симуляция покажет истинная «реальная» измеренная вероятность события (или загадки) в секундах! ▶ Запустите моделирование лягушки — подтверждает, что ответ одинаков в обоих направлениях Предупреждение: Существует опасность, что вы сделаете неправильное предположение, а затем закодируете это неверно. предположение в моделирование, что только еще больше подтверждает ваше ошибочное предположение. Если симуляция подтверждает ваши математические вычисления, ваши математические вычисления могут быть правильными. Но если моделирование опровергает ваши математические расчеты, тогда вы абсолютно ЗНАЕТЕ, что у вас есть проблема (либо в математике, либо в моделировании). Другой пример: PT описывает «парадокс мальчика или девочки» в своем видео. Это моделирование показывает, насколько легко подтвердить эти результаты с помощью моделирования. Симуляторы работают!

Сможете ли вы разгадать загадку с лягушкой? — Дерек Эбботт

Это милые головоломки, которые заставляют нас задуматься о том, как работает условная вероятность. Однако как насчет реальных приложений в науке, экономике, медицине, криминологии и технике?

В жизни, если мы можем использовать информацию, чтобы исключить возможности, мы сможем найти ответы, которые ищем, с большей вероятностью. Если мы пойдем на 10 свиданий, есть 10% шанс выбрать из них лучшего брачного партнера. Но если информация, полученная на основе свиданий, может определенно устранить 8 из них, то теперь у нас есть увеличенные шансы выбрать лучший до 50%.

Детектив по неосторожным делам стремится исключить маловероятные и невозможные сценарии, чтобы нацелить на более вероятного подозреваемого.

Трейдер фондового рынка пытается использовать информацию, которую он знает о корпорациях и текущем рынке, чтобы исключить худшие сделки и сосредоточиться на тех, которые с большей вероятностью будут успешными.

Инженеры используют математику информации и условную вероятность при работе с потоками цифровой информации, например, 10000111001010110001001111… Учитывая, что наше устройство получает, скажем, «1», если следующий бит имеет высокую вероятность также быть «1» тогда мы получаем предсказуемый контент. Если следующий бит вызывает удивление, значит, последовательность дает нам нечто богатое информационным содержанием. Используя математику условной вероятности, инженеры тщательно проектируют все, от способа кодирования битов на вашем DVD до способа их кодирования при передаче по цифровому мобильному телефону.

И кто бы мог подумать, что все эти высокотехнологичные штуки имеют какое-либо отношение к паре лягушек?

Посмотрите, сможете ли вы выполнить поиск в Интернете и найти пять примеров применения из науки, техники, медицины или судебной экспертизы, где используются вычисления, основанные на условной вероятности.

Любите загадки? Начните с изучения этих трех уроков и посмотрите, как у вас получится. Удачи!
Сможете ли вы разгадать «Загадку Эйнштейна»? — Дэн Ван дер Вирен
Знаменитая сложная зеленоглазая логическая головоломка — Алекс Гендлер
Сможете ли вы решить загадку с тюремной шляпой? — Алекс Гендлер

Загадка о лягушке TED-Ed не совсем верна — Теория игр, вторник — Не забывайте принимать решения

На TED-Ed есть одни из самых популярных загадок на YouTube. На прошлой неделе возникла проблема под названием «загадка лягушки».

Вот суть проблемы. Вы отравились в лесу, и вам нужно лизнуть лягушку-самку, чтобы вылечиться. Самцы и самки лягушки идентичны во всех отношениях, за исключением того, что самец имеет характерное кваканье. Популяция лягушек делится поровну на самцов и самок.

Впереди одна лягушка. Позади вас вы слышите кваканье самца лягушки, которое, как вы знаете, исходило от пары лягушек (но вы не знаете, какая именно). У вас есть время сделать только один выбор, прежде чем вы потеряете сознание.Вы можете лизать лягушку впереди или двух лягушек позади вас.

Имеет ли значение, какой выбор вы сделаете?

Посмотрите видео о проблеме и ее решении.

Сможете ли вы отгадать загадку с лягушкой? — Дерек Эбботт

Видео поднимает интересный момент о вероятности, но я бы сказал, что есть проблема с их интерпретацией.

Я оставил комментарий к видео, чтобы объяснить ошибку, но он не отображается. Так что, надеюсь, этот пост разрешит некоторую путаницу и выявит возможную ошибку в видео.

Мое видео с объяснением ошибки

Я разместил объяснение на YouTube.

Загадка о лягушке TED-Ed неверна

Или продолжайте читать ниже для моего объяснения.
.
.
.
.
.
.

«Все будет хорошо, если вы будете использовать свой разум для своих решений, и думать только о своих решениях». С 2007 года я посвятил свою жизнь тому, чтобы разделить радость теории игр и математики.MindYourDecisions теперь имеет более 1000 бесплатных статей без рекламы благодаря поддержке сообщества! Помогите и получите ранний доступ к сообщениям с обещанием на Patreon.

Будет ли женщина с большей вероятностью, если вы увидите одну лягушку, или если вы увидите двух лягушек, из которых вы знаете, что одна — самец?

Если вы видите одну лягушку, вероятность того, что это самка, составляет 50%.

Если вы видите двух лягушек, есть 4 равновероятные возможности:

Самец-самец
Самец-самка
Самка-самец
Самка-самка

Если вы знаете, что одна из лягушек — самец, тогда самка-самка возможность должна быть исключена.Это оставляет 3 равновероятных события:

Самец-Самец
Мужчина-Самка
Самка-Самец

В 2 из 3 случаев есть самка лягушки.

Другими словами, вероятность лизать самку составляет 50%, если вы видите одну лягушку, но это 2/3 & приблизительно; 66,7%, если вы можете лизать двух лягушек, из которых вы знаете, что одна — самец.

Довольно удивительно, что знание того, что лягушка — самец, может изменить шансы и фактически увеличить вероятность того, что одна из них — самка!

Как подсказывает видео, вы должны идти позади себя и лизать двух лягушек.

Но история видео предлагает альтернативную интерпретацию

Есть одна проблема с этим расчетом: вы должны принять во внимание, как вы узнали, что одна из двух лягушек была самцом.

Приведенный выше расчет предполагает, что вы узнали его случайно. Представьте, что ваш друг может определить пол лягушек и подбросил монетку, чтобы определить один из полов, объясняя, что это лягушка-самец. Это механизм, который дает вам 2/3 шанса, что хотя бы одна из двух лягушек была самкой.

Но видео случилось не то!

Нам говорят, что мы слышим кваканье лягушки и определяем, что это самец. Эта маленькая деталь может повлиять на расчет вероятности!

Детализация кваканья означает, что пространство для выборки также должно включать частоту кваканья лягушки. Если предположить, что квакают только самцы лягушек, то вначале есть 4 возможности со связанными частотами кваканья:

Самец1-Самец2 (2Х кваканье)
Самец-Самка (1Х кваканье)
Самка-Самец (1Х квакание)
Самка- Самка (0X кваканье)

Когда мы слышим кваканье, мы можем исключить пару самок:

Male1-Male2 (2X кваканье)
Male-Female (1X кваканье)
Female-Male (1X квакание)

Есть 4 равновероятно способов, которыми мы могли услышать кваканье:

Кваканет самец1 мужчины1-самец2
самец2 мужчины1-самец2 каркает
самец мужчины-самка каркает
Самец самца-самца каркает

Теперь, какова вероятность есть самка, учитывая что мы слышали кваканье?

В 2 из 4 равновероятных возможностей есть женщина.

Следовательно, вероятность лизать самку составляет 50%. Поймать пару лягушек позади вас НЕ лучше, чем 50% -ный шанс поймать одну лягушку.

Альтернативная интерпретация (подробнее)

Сказанное выше немного упрощает расчет. Предположим, что самец лягушки квакает с вероятностью p , а самка с вероятностью q на время, когда вам нужно решить лизнуть лягушек.

Какова вероятность того, что в паре лягушек есть самка, если мы слышим одно кваканье самца? Поскольку мы слышим мужское кваканье, необходимо рассмотреть три гендерные пары:

Мужской1-Мужской2
Мужской1-Женский
Женский-Мужской2

В парах мужчина-женщина нам нужна вероятность того, что самец каркнет ( p ) раз. вероятность, что у самки нет (1 — q ).

В паре самец-самец нам нужна вероятность того, что каркает ровно один самец. Если первый хрипит, а второй нет, то это p (1 — p ). Если первый не квакает, а второй — то (1 — p ) p . Их сумма составляет 2 p (1 — p ).

Следовательно, вот вероятности услышать ровно 1 мужское кваканье:

Male1-Male2, вероятность 2 p (1 — p )
Male1-Female, вероятность p (1 — q )
Female -Male2, вероятность p (1 — q )

Полная вероятность — это сумма, которая равна 2 p (2 — p — q ).

Вероятность иметь самку равна 2 p (1 — q ), разделенным на 2 p (2 — p — q ). Это упрощается до (1 — q ) / (2 — p — q ).

Если предположить, что самки не каркают, тогда q = 0. Это упрощает вероятность до 1 / (2 — p ).

Если самец каркает нечасто, скажем, p = 0,05, то вероятность того, что это самец, составляет около 51,2%. Это почти 50%!

Интуиция большинства людей о том, что оба варианта одинаковы, не так уж и далека.Может быть, было бы лучше выбрать пару лягушек, но это не так резко, как показывает видео.

Условная вероятность

Видео TED-Ed объясняет, что вероятность — это информация. Если вы узнаете больше информации, это может изменить вероятность того, что вы знаете.

Однако также важно то, как вы усваиваете знания. Например, если вы попросите людей рецензировать вашу книгу, вы, скорее всего, получите резкие отзывы от людей, которые любили или ненавидели книгу.Будет много людей, которые купят книгу, будут думать, что она прекрасна, и никогда не напишут рецензий. Вы не можете рассматривать обзор как случайную выборку читателя.

Точно так же в загадке с лягушкой есть деталь, которую мы слышим, как кваканье лягушки, чтобы узнать, что это самец. Вероятность услышать кваканье выше, если в паре 2 самца, чем если в паре 1 самец. Следовательно, мы не можем рассматривать слух кваканья как случайный индикатор того, что лягушка является самцом. Если мы слышим кваканье, это примерно в два раза больше вероятности того, что пара была мужчиной-мужчиной по сравнению с мужчиной-женщиной.

Я бы сказал, что видео было хорошим и дало удивительный результат. Однако я считаю, что детали кваканья влияют на вероятность, поэтому вероятность того, что у двух лягушек будет самка, близка к 50%.

Парадокс мальчика или девочки

Все еще не верите, что в видео пропущен расчет?

Вот еще одно объяснение. Видео представляет собой вариацию хорошо известного парадокса мальчика или девочки. Вот как это происходит. Представьте, что у мистера Джонса двое детей, по крайней мере, один из которых мальчик.Какова вероятность, что оба ребенка мальчики?

В начале есть четыре равновероятных события (B = мальчик, G = девочка):

BB
BG
GB
GG

Зная, что хотя бы одно из них — мальчик, удаляет GG, поэтому есть 3 одинаково вероятных события:

BB
BG
GB

Существует одно событие BB из 3 равновероятных событий, поэтому шанс равен 1/3. Вероятность того, что в паре будет девочка, — 2/3. Вот о чем должна быть загадка о лягушке.

Но теперь рассмотрим еще одну деталь: предположим, вы знаете, что мальчик родился во вторник (день 2).Это меняет вероятность? На самом деле это так! Это изменяет вероятность ближе к 50%.

Посмотрим, почему. Напишите B _i , чтобы обозначить, что мальчик родился в день и недели, и G _i для девочки, родившейся в день и , с порядком 0 = воскресенье, 1 = понедельник, 2. = Вторник,… и 6 = суббота.

Знание, что есть 1 мальчик, означает, что существует 3 возможных гендерных пары:

BB
BG
GB

Зная, что во вторник родился мальчик, означает, что существует 27 одинаково вероятных событий:

B ₂ B ₀
B ₂ B ₁
B ₂ B ₂
B ₂ B ₃
B ₂ B ₄
B ₂ B ₅
B B ₆

B ₀ B ₂
B ₁ B ₂
B ₂ B ₂ * Не в счет: мы уже перечислили это выше
B ₃ B ₂
B ₄ B ₂
B ₅ B ₂
B ₆ B ₂

B ₂ G ₀
B _{2 903}
B ₂ G ₂
B ₂ G ₃
B ₂ G ₄
B ₂ G ₅
B ₂ G ₆

G ₀ B ₂
G ₁ B ₂ 0 G _{2 2 2
G 3 B 2
G 4 B 2
G 5 B 2
G 6 B 2}

В скольких случаях у нас два мальчика? Из 27 событий 13 равновероятных. Таким образом, вероятность появления 2 мальчиков в этом случае составляет 13/27 & ок. 48%, а вероятность появления девушки в паре составляет 14/27 & ок. 52%. Это ближе к нашей интуиции в 50% и сильно отличается от ответа 1/3, если бы мы не знали, что мальчик родился во вторник.

Точно так же загадка о лягушке TED-Ed имеет детали, которые, как мы знаем, — это самец лягушки и , лягушка издала характерное кваканье. Дополнительная детализация кваканья похожа на слух, что мальчик родился во вторник: он изменяет пространство выборки равновероятных событий и делает вероятность появления женщины близкой к 50%.

Урок из всего этого заключается в том, что условная вероятность не всегда интуитивно понятна. Вам следует рассмотреть набор равновероятных событий и точно рассчитать количество успехов.

Сможете ли ВЫ заметить лягушку среди листьев?

Интернет-художник Гергей Дудаш вернулся, чтобы рассердить своих поклонников еще более головокружительными головоломками.

Дудольф, как его называют фанаты, поделился новой головоломкой на Facebook во вторник, прося пользователей найти лягушку среди листьев.

На оживленной сцене множество растений джунглей различных оттенков зеленого и пурпурного, из-за чего очень сложно обнаружить прячущихся среди них земноводных.

Более 2 000 фанатов уже пытались найти лягушку, но сможете ли ВЫ его заметить?

Прокрутите вниз, чтобы найти решение

Венгерский художник Гергели Дудас предлагает игрокам разглядеть лягушку среди моря листьев

Игроки с орлиными глазами должны быть в состоянии заметить существо в нижнем правом углу рисунка, но вы не должны этого делать. Не расстраивайся, если не можешь.

Многие описывали головоломку Дудольфа как «самую сложную» в комментариях на Facebook, признавая, что им потребовалось до десяти минут, чтобы найти лягушку.

Один фанат написал: «Наверное, это было для меня самым трудным, но я его нашел!»

Другой согласился, добавив: «На этот у меня ушло примерно в 10 раз больше времени, чем на другие, лягушка такая маленькая и так хорошо спрятана! Престижность! ‘

Венгерский карикатурист стоит за одними из самых любимых в Интернете визуальных головоломок.

В мае он предложил пользователям найти один леденец среди десятков мороженого.

В море замороженных угощений очень похожих оттенков почти невозможно заметить леденец.

Игроки с орлиным взглядом должны уметь заметить существо в правом нижнем углу картинки, но игроки говорят, что это его самая сложная задача.

Игроки должны быть в состоянии заметить улыбающийся леденец в правом верхнем углу изображение.

Некоторые люди утверждали, что нашли леденец быстро, но получили удовольствие от головоломки.

Один человек сказал: «Потребовалось 2 секунды, чтобы найти леденец, но потратил 3 минуты, смеясь над двумя испуганными конусами, а один их облизывал»

Другой написал: «Зеленое мороженое в левом верхнем углу и с большим смайликом. лицо привлекло мое внимание … Я не могу оторвать глаз от него, чтобы разглядеть леденец »

Венгерский художник Дудольф бросил вызов сети, чтобы найти леденец среди красочной толпы мороженого

Игроки с орлиными глазами должны быть способен заметить дерзкое угощение в верхнем правом углу

Он также выпустил специальную пасхальную головоломку для фанатов.

Где-то на этом ярком цветочном участке есть единственная пчела, жужжащая вокруг за медом, но только самые зоркие игроки смогут ее выбрать.

Прошлогоднее пасхальное приношение, одно яйцо, спрятанное в оживленном саду, было непросто, но, несомненно, труднее.

Для тех, кто ищет разгадку, желтая пчела летает между двумя цветками одного цвета.

Десятки фанатов прокомментировали, насколько сложной они нашли головоломку после того, как Дудольф поделился ею на своей странице в Facebook.

Бездомный! Игроки изо всех сил пытались найти пчелу, жужжащую вокруг этой оживленной весенней сцены

Обнаружено! Только самые зоркие смогли бы выбрать эту крошечную пчелу

Один написал: «Ее так сложно найти, потому что цветы крошечные, а пчела такая маленькая».

Другой согласился: «Я должен был надеть очки для этого ~ но я нашел это!»

Дудас стал онлайн-сенсацией после того, как его обманчиво сложная головоломка с изображением панды, спрятанной среди группы снеговиков, охватила Интернет в декабре 2015 года.

Смесь любви слона: Где-то в этом стаде слонов спрятано крошечное сердечко

Вот оно! Головоломка была настолько сложной, что некоторые признали, что не могут найти сердце.

Теперь он создает головоломки для большинства крупных праздников и радует подписчиков, публикуя случайные выпуски в течение года.

На Рождество Дудас выпустил новую книгу Bear’s Merry Book of Hidden Things, в которой используются красочные иллюстрации и головоломки типа «искать и находить», чтобы рассказать историю медведя, готовящегося к рождественской вечеринке.

Хотя название предназначено для детей, головоломки достаточно хитрые, чтобы развлекать родителей.

Праздничная головоломка: Где-то в этой куче подарков спрятана единственная рождественская открытка

Нашел! Узор на открытке специально разработан так, чтобы гармонировать с множеством подарков

Rood & Riddle Equine Hospital

Боб Агне, DVM

Дрозд — это черные выделения с неприятным запахом из центральных или боковых борозд или бороздок лягушки. Может поражать как задние, так и передние лапы. Обычно пораженная борозда глубже, чем обычно, и лошадь может испытывать боль при чистке этих участков.Выделения из пораженного участка непостоянны и могут быть незаметны, если борозда не будет тщательно исследована и очищена. В более запущенных случаях ткань лягушки и подошвы может быть повреждена из-за обнажения чувствительного кориума и отека нижней конечности. Часто лошади с сокращенными пятками и атрофированными или слабыми и узкими лягушками более восприимчивы из-за глубины борозд, и точно так же лошади с отросшими копытами более подвержены этой проблеме.

Молочница вызывается бактериальной инфекцией нечувствительных тканей лягушки, которая может, если не лечить, инфицировать более глубокие слои кожи. Хотя не было выделено ни одного конкретного микроорганизма, вызывающего молочницу, и в большинстве случаев из пораженного участка можно культивировать ряд бактерий, изолят Fusobacterium necrophorum является обычным. Из-за бактериальной природы инфекции лошади, живущие во влажной и грязной среде, более восприимчивы к инфекции.

Профилактика, очевидно, предпочтительнее обработки, и важны регулярная чистка, осмотр и обрезка / подковка. Кроме того, совершенно необходимо обеспечить чистую и сухую подстилку лошадям, прикованным к стойле.Упражнения помогают поддерживать здоровый кровоток во всех областях стопы и помогают поддерживать здоровье лягушки с нормальной архитектурой копыт.

Лечение ранних, легких случаев включает в себя санацию или удаление пораженной ткани и лечение местным вяжущим средством. Доступно несколько коммерческих продуктов, можно применять настойку йода или «сахардина» (равные части бетадина и белого сахара). Лечение следует продолжать до тех пор, пока инфекция не будет устранена, а лошадь не следует содержать в чистом и сухом помещении. Более серьезный случай, требующий внимания ветеринара, может включать более обширную хирургическую обработку раны, терапию антибиотиками и терапевтическую обувь, которая защищает пораженный участок и обеспечивает доступ к поражению.

Часто молочница возникает у лошадей, которые содержатся в хорошем состоянии и в остальном нормальные. , здоровые ноги, однако в некоторых случаях наличие молочницы может указывать на основную проблему либо в уходе за лошадью, либо в ее здоровье. Конечно, когда легкий случай молочницы не поддается лечению, следует проконсультироваться с ветеринаром, необходимо проверить окружающую среду лошади и уход за копытами, а в случае лошадей со стянутыми пятками и узкими атрофированными лягушками — тщательный осмотр копыт. следует выполнять, так как это телосложение соответствует хронической боли в пятке у лошади.

Сможете ли ВЫ заметить лягушку, прячущуюся в листьях?

ЭТА ошеломляющая головоломка заставила Интернет почувствовать себя жабо сбитым с толку — но можете ли вы найти лягушку, спрятанную среди листьев?

Венгерский художник Гергей Дудаш, также известный как Дудольф, известен своими сложными рисунками в стиле «Где Уолли», и его новейший рисунок — не исключение.

4

Более 2000 фанатов уже пытались найти лягушку, но можете ли ВЫ ее заметить?

Если вы посмотрите в правый нижний угол изображения, амфибию можно увидеть среди моря листьев.

Люди сказали, что это было самое сложное. Даниэль Сноухилл, написавшая в Facebook, сказала: «Это, наверное, было самым трудным для меня, но я его нашла!»

Юстина Нэгл добавила: «Это был самый сложный из них. Обычно я нахожу их быстро, но на самом деле мне пришлось вернуться к этому».

4

Франция Персо Терио пошутил: «Забрал меня навсегда, и ему пришлось увеличить экран моего телефона… но я наконец нашел его … теперь у меня болят глаза и голова … лол … я слишком стар для этого … снова потерял … лол … «

Эми Шепард сказала: «Джипер, этот немного подлый, ха-ха. Но нашел».

Дудольф стоит за некоторыми из любимых визуальных головоломок в Интернете.

Посмотрите на другой ниже …

4

4

ЛЮБОВЬ, МАМА

НА НАШУ УЛИЦУ

ПОДНИМАЯ КРЫШКУ

WHINE O’CLOCK

Exclusive

HOT & HEAVY

TOUCHY ISSUE

В ознаменование Дня святого Валентина он выпустил фотографию моря розовых и фиолетовых улиток и попросил людей найти душу в том, что фанаты назвали «самым крутым».