Сумма всех натуральных четных чисел до 100: Найти сумму всех чётных чисел до 100. Найти сумму всех нечетных чисел до 100.

07.05.2021

Содержание

Арифметическая прогрессия. Сумма арифметической погрессии

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим здесь.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.

1+2+3+4+5+5+…+97+98+99+100=?

А как бы считали вы?

+ показать

Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.

Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

-9, -6, -3, 0, 3, …

Решение:

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

, где – разность арифметической прогрессии.

Сумма чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.

Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.

Ответ: 390.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

2) ,

где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу).

Примеры

Пример 1.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Решение: + показать

Пример 2.

Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Решение: + показать

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Воспользуемся формулой :

Ответ: 420.

Пример 3.

Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Решение: + показать

Шаг () равен 1;

Обращаемся к формуле :

Поскольку мы работаем с натуральными , то

Ответ: 17.

Пример 4.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.

Решение: + показать

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

Последовательность чисел арифметической прогрессии, начиная с 5-го (по 16), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии {} по формуле :

где

Ответ: 606.

Пример 5.

Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.

Решение: + показать

Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных 4, то есть 12+16+…+96;

3) из суммы вычтем сумму ;

Итак,

Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?

Обозначим порядковый номер числа 96 в ряду 12, 16, … 96 за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ().

Найдем .

Тогда

Итак,
Ответ: 3717.

Вы можете пойти тест по теме «Сумма арифметической прогрессии».

Всякое нечетное число равно сумме четного числа и единицы

Четно или нечетно?

Натуральное число, которое делится на 2, называется четным, а которое не делится на 2 – нечетным.

Всякое нечетное число равно сумме четного числа и единицы.

При решении задач используются следующие простые свойства сложения четных и нечетных чисел:

Сумма двух любых четных чисел – четное число;
Сумма двух любых нечетных чисел – четное число;
Сумма четного и нечетного чисел – нечетное число.

Ясно, что сумма любого количества четных чисел – четное число. Например, сумма

2 + 4 + 6 + 8 + … + 98 + 100 – четное число.

Рассмотрим сумму 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19. Все слагаемые в ней – нечетные числа, а всего слагаемых 10. Слагаемые можно объединить в пары: 1 + 3; 5 + 7 и т. д. каждая пара даст в сумме четное число, поэтому и вся сумма – четное число.

Рассмотрим теперь сумму 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21, в которую входит 11 слагаемых. Если объединять слагаемые в пары, то останется еще одно нечетное число. Поэтому вся сумма – нечетное число.

Сумма, содержащая нечетные слагаемые, является четным числом, если число слагаемых четно. В противном случае такая сумма – число нечетное.

Упражнения:

Четным или нечетным числом является сумма:

А) 69 + 78 + 67 + 83 + 45 + 34 + 65 + 89

Б) 699 +378 + 667 + 843 + 485 + 364 + 615 + 970

Четным или нечетным числом является сумма:

А) всех натуральных чисел от 1 до 100;

Б) всех натуральных нечетных чисел от 1 до 90;

В) всех нечетных чисел от 1 до 49;

Г) всех двузначных чисел?

Четным или нечетным будет произведение:

А) простых чисел во втором десятке;

Б) простых однозначных чисел;

В) двух последовательных натуральных чисел;

Г) пяти последовательных нечетных чисел?

Что можно сказать о двух числах, если известно, что:

А) их сумма четна;

Б) их произведение четно;

В) их сумма и произведение четны;

Г) их сумма нечетна;

Д) их произведение нечетно;

Е) их сумма и произведение нечетны?

Какой знак («+» или «-») стоит в выражении:

А) 87 – 86 + 85 – 84 + … — 2 + 1 перед числом 35;

Б) 68 – 66 + 64 – 62 + … + 4 – 2 перед числом 38?

В последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Каких чисел больше среди первых 12 чисел этой последовательности – четных или нечетных? Четным или нечетным является число, стоящее в последовательности под номером: а) 15; б) 96; в) 1000?
Заполните пропуски так, чтобы получилось правильное утверждение:

А) разность двух нечетных чисел является … числом;

Б) разность четного и нечетного числа является … числом;

В) произведение двух четных чисел является … числом;

Г) если хотя бы один множитель в произведении является четным, то произведение — … число.

О бесконечных множествах

Вадим Дунаев

Раздел из книги «Занимательная математика. Множества и отношения»

Профессор. Теория множеств создавалась как инструмент для выяснения устройства бесконечных совокупностей объектов. Бесконечность всегда привлекала внимание людей. Термином “бесконечность” сначала обозначали все, что было невозможно сосчитать или перечислить. Бесконечное — это что-то запредельное, невообразимо большое или, напротив, чрезвычайно малое, к чему можно стремиться сколь угодно долго, но достичь которого невозможно. Приведите, пожалуйста, пример бесконечного объекта.

Простак. Первое, что приходит мне на ум, — вселенная, состоящая из бесчисленного количества звезд, атомов и других частиц.

Зануда. Множество целых чисел бесконечно: какое бы число мы ни взяли, всегда можно перейти к следующему, прибавив к предыдущему 1. Таким образом, мы никогда не сможем сказать “вот, все целые числа перечислены и других целых чисел больше нет”.

Профессор. На каком основании Вы, Простак, считаете вселенную бесконечной? В действительности Вы и никто другой не знаете, какая она, — бесконечная или конечная. Муравью килограммовый камень кажется бесконечно тяжелым. Число 2¹⁰⁰ настолько огромно, что простой перебор всех целых чисел, не превышающих его, с помощью самого современного компьютера потребует невообразимо много сроков жизни самого компьютера. Тем не менее, количество таких чисел конечно. Это означает, что процесс их пересчета когда-нибудь да закончится. Мы называем вселенную бесконечной, имея в виду лишь ее очень большие размеры, а также то, что никто из людей никогда не достигал ее границ. А вот множество всех целых чисел в самом деле бесконечно. Иначе говоря, мы доподлинно знаем, что оно бесконечно, поскольку таковым по определению оно создано нашим разумом. Для обозначения бесконечно большого количества в математике используют специальный символ

, а для бесконечно малого — 1/. Однако и 1/ это не числа, а просто символы, поскольку они не подчиняется обычным правилам арифметики. Так, 2, 100, , т.е. арифметические операции над бесконечно большим количеством оставляют это количество бесконечно большим.

С античных времен бесконечное множество рассматривали как совокупность объектов, данную не в завершенном виде, а как постоянно формирующуюся. По заданному правилу эту совокупность можно было дополнить новыми объектами когда угодно. Так, множество целых чисел считалось существующим не актуально, в готовом или завершенном виде, а существующим только потенциально. Его можно было постоянно пополнять новыми членами, но этот процесс никогда не мог быть завершен. Такой взгляд на бесконечные множества существовал вплоть до начала 1870-х годов, когда Георг Кантор стал рассматривать бесконечные множества как данные актуально. В результате он показал, что одни бесконечные множества могут включать в себя другие, т.е. что бесконечные множества можно сравнивать в количественном отношении подобно конечным множествам.

Сравнение бесконечных множеств

Профессор. Конечные множества можно сравнить в количественном отношении (хотя бы принципиально, если не практически) так: сначала подсчитать количество элементов в каждом из них, а затем сравнить полученные числа. Для бесконечных множеств данный способ не годится, поскольку подсчет количества их элементов никогда не закончится или, лучше сказать, не завершится какими-то числами, которые можно сравнивать. Тем не менее, интуиция подсказывает нам, что одни из бесконечных множеств могут быть больше других. Попробуйте сравнить бесконечные множества всех натуральных и четных натуральных чисел.

Простак. Натуральные числа это 1, 2, 3, …. Каждое второе из них — четное. Очевидно, что четных чисел меньше в два раза, хотя и тех, и других бесконечно много.

Зануда. Странно все это. С одной стороны, оба множества бесконечны и не имеют количественной характеристики, а с другой — одно из них больше другого, и даже видно, во сколько раз.

Профессор. Похоже, вы оба согласны, что бесконечные множества можно сравнивать. Однако результат сравнения, полученный Простаком, оказался неверным. В действительности четных натуральных чисел столько же, сколько и всех натуральных чисел. Прежде чем разобраться с этой задачей, попробуйте решить более простую. Пусть имеются конечные множества болтов и гаек. Как определить без подсчета, равны ли их количества?

Простак. Я бы стал навинчивать гайки на болты или просто выкладывать пары болт-гайка. Если бы для каждого болта нашлась бы своя гайка, то количества болтов и гаек равны, а в противном случае — нет. Таким образом, я решил задачу, не выясняя, сколько именно было гаек и болтов.

Профессор. Прекрасно. Воспользуемся Вашим методом применительно к бесконечным множествам чисел.

Простак. Идея метода состоит в сопоставлении друг другу элементов различных множеств. Выпишем ряд натуральных чисел, а под ним — ряд натуральных четных чисел:

1, 2 , 3, 4, 5, 6, … — натуральные числа;

2, 4, 6, 8, 10, 12, … — четные натуральные числа.

Не трудно заметить, что каждому натуральному числу однозначно соответствует некоторое четное натуральное число. Так, натуральному числу n соответствует четное натуральное число 2n. И наоборот, каждому четному натуральному числу k однозначно соответствует натуральное число k/2. Выходит, можно образовать пары из элементов рассматриваемых множеств так, что ни один элемент какого-то из двух множеств не окажется без пары. Следовательно, множества натуральных и четных натуральных чисел равночисленны, если позволительно так сказать.

Профессор. Вы прекрасно справились с данной задачей. Поскольку количество элементов бесконечного множества не может быть выражено каким-либо числом, то говорят не о количестве, а о мощности множества. Для конечных множеств понятия их количества и мощности совпадают. Итак, только что установлено, что множества всех натуральных чисел и четных натуральных чисел равномощны. Очевидно, что аналогичным способом можно доказать, что равномощны множества натуральных и нечетных натуральных чисел.

Зануда. Я вынужден согласиться с приведенным доказательством равномощности рассматриваемых множеств, хотя результат не согласуется с интуицией, которая говорит нам, что множество натуральных чисел состоит из четных и нечетных натуральных чисел, взятых вместе. Таким образом, мы видим, что нарушается принцип, что целое больше своей части.

Профессор. Это один из примеров того, что иногда математика позволяет выяснить нечто, не подвластное нашей интуиции. Соотношения, выполняющиеся для конечных множеств, могут не выполняться применительно к бесконечным множествам. Бесконечность имеет особые свойства, которых нет в конечном. Так в чем же состоит метод, с помощью которого мы устанавливаем равномощность или неравномощность множеств?

Зануда. Как мы видели, суть метода состоит в попытке установить соответствие между элементами сравниваемых множеств. Это соответствие должно быть взаимно однозначным, чтобы множества были равномощными. Иначе говоря, каждому элементу одного множества должен соответствовать некоторый единственный элемент другого множества, и наоборот.

Профессор. Вы верно выразили суть метода сравнения множеств по их мощности. Теперь вы сможете сравнить множества натуральных и целых чисел. Попробуйте сделать это.

Простак. Целые числа это натуральные числа плюс те же натуральные числа, но со знаком “минус”, и еще 0. Иначе говоря, целые числа можно представить рядом: …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Очевидно, что множество целых чисел содержит в качестве своего подмножества все натуральные числа. Однако это еще не основание говорить о том, что данные множества неравномощны. Попробуем установить взаимно однозначное соответствие между ними, для чего выпишем ряды чисел один под другим:

… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

… 1, 2, 3,…

Однако из данной записи не очевидно, как следует образовывать пары чисел из двух рядов и возможно ли это в принципе. Здесь надо подумать.

Зануда. Давайте упорядочим целые числа иначе: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …; натуральные числа оставим в их естественном порядке. Расположим ряды этих чисел один под другим:

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …— целые числа;

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … — натуральные числа.

Нетрудно заметить, что n-е по порядку целое число (обозначим его через z_n) можно вычислить по следующей формуле:

z_n = n/2, если n четное;

z_n= — (n-1)/2, если n нечетное.

С другой стороны, для каждого целого числа z можно однозначно указать его номер (натуральное число):

n= 2z, если z > 0;

n = 2z+1, если z0.

Таким образом, между целыми и натуральными числами установлено взаимно однозначное соответствие: каждому натуральному числу однозначно сопоставляется некоторое единственное целое число и, наоборот, каждому целому числу однозначно соответствует некоторое единственное натуральное число. Следовательно, натуральных чисел не меньше, но и не больше, чем целых, а значит их множества равномощны.

Профессор. Хорошее решение, приводящее к правильному результату.

Итак, мы только что убедились, что множества всех натуральных, только четных натуральных, только нечетных натуральных и целых чисел равномощны. При этом равномощность множеств определяется как существование взаимно однозначного соответствия между элементами данных множеств. Замечу, что кажущаяся парадоксальность полученных результатов имеет своей причиной рассмотрение бесконечных множеств как актуально данных в своем завершенном виде. Такой подход к бесконечным множествам был выполнен Кантором преднамеренно, хотя еще Галилео Галлией указывал, что он приведет к необходимости признать, что четных чисел столько же, сколько четных и нечетных вместе, а это по мнению подавляющего большинства его современников и предшественников считалось абсурдным.

Для бесконечных множеств такое утверждение, как “часть меньше целого” перестает быть верным. Это заметил еще древнегреческий математик Зенон, рассматривая следующее обстоятельство. Пусть дан треугольник АВС, в котором отрезок В’C’ параллелен основанию ВС и соединяет середины сторон, выходящих из вершины А. Спроектируем из этой вершины на ВС все точки отрезка В’C’. Тогда каждой точке отрезка В’C’ будет соответствовать некоторая точка основания ВС и, наоборот, каждой точке основания треугольника будет соответствовать какая-то точка отрезка В’C’. Например, точке X’ будет соответствовать точка X, а точке X — точка X ’. Следовательно, на отрезке В’C’, параллельном и равном отрезку ВА’ (А’ — середина основания ВС), размещается столько же точек, сколько и на вдвое большем отрезке ВС. При этом Зенон не знал, что аналогичный парадокс возникает при сравнении бесконечных подмножеств множества целых чисел.

На отрезке В’C’ размещается столько же точек, сколько на вдвое большем отрезке ВС

А теперь рассмотрим множество рациональных чисел, т.е. целых и дробей. Рациональное число, как известно, можно представить как частное от деления двух целых чисел. Особенность множества рациональных чисел состоит в том, что между любыми соседними целыми числами находится бесконечно много рациональных чисел. Например, между 0 и 1 находятся дроби 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … . Возникает подозрение, что рациональных чисел больше, чем целых: целых бесконечно много, а между любыми соседними целыми находится тоже бесконечно много чисел. Получается бесконечное множество, составленное из бесконечных множеств, что, согласитесь, представляется более сложным, чем множество натуральных чисел. Однако, как показал Кантор в 1874г., рациональных чисел столько же, сколько и натуральных. Трудность, с которой он столкнулся, заключалась в поиске способа нумерации рациональных чисел. Кантор расположил рациональные числа не в один ряд, а в бесконечной квадратной таблице, т.е. в бесконечно много рядов. Далее оставалось только найти зигзагообразный путь обхода всех чисел, позволяющий последовательно пронумеровать каждое из них.

Всякое множество, элементы которого можно взаимно однозначно сопоставить натуральным числам, Кантор назвал счетным. Другими словами, элементы счетного множества можно пересчитывать.

Метод доказательства счетности рациональных чисел

Зануда. А существуют ли несчетные множества, элементы которых пересчитать нельзя?

Профессор. Да, существуют. Например, множество всех действительных чисел, содержащее кроме рациональных еще и иррациональные числа (например, , ), несчетно. Множество действительных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством точек прямой. Обратите внимание, что множество рациональных чисел значительно “плотнее” множества целых чисел (между любыми соседними целыми числами располагается бесконечное множество рациональных чисел), но тем не менее оба эти множества равномощны. Плотность же множества действительных чисел существенно больше, и пересчитывать их нельзя. Последнее означает, что не существует взаимно однозначного соответствия между множествами действительных и натуральных чисел.

Простак. Мне трудно поверить в это. Что же может помешать нам последовательно, без пропусков, перебирать действительные числа, приписывая им натуральные номера?

Зануда. Сначала всем нам было трудно поверить, что натуральных чисел столько же, сколько целых и даже рациональных, а теперь трудно поверить, что есть множество, для нумерации элементов которого натуральных чисел просто не хватит. Но ведь именно последнее лучше всего согласуется с нашей интуицией. Воистину, наш разум способен сначала из сложного сделать простое, чтобы потом снова все усложнить! Вы хотите сказать, профессор, что нельзя придумать способ нумерации действительных чисел?

Профессор. Именно так!. Рассмотрим идею доказательства этого утверждения, придуманного Кантором. Сначала он предположил, что взаимно однозначное соответствие между натуральными и действительными числами существует. Затем он показал, что данное предположение приводит к противоречию и, следовательно, взаимно однозначное соответствие между натуральными и действительными числами невозможно. Таким образом, Кантор использовал метод доказательства от противного.

Доказательство можно заметно упростить, рассматривая только подмножество всех действительных чисел, заключенных между 0 и 1. Если уж это бесконечное подмножество окажется больше множества всех натуральных чисел, то все множество действительных чисел и подавно больше его.

Итак, предположим, что действительные числа в промежутке между 0 и 1 могут быть пронумерованы без повторов и пропусков натуральными числами. Другими словами, мы допускаем гипотезу, что все действительные числа, расположенные между 0 и 1, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Это означает, что мы можем составить некий бесконечный перечень действительных чисел, каждое из которых можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Всякое действительное число можно представить бесконечной десятичной дробью. Такие бесконечные десятичные дроби, как 0.5000…, представим в виде эквивалентной бесконечной дроби 0.4999…. Перечень всех десятичных дробей, представляющих все действительные числа в промежутке от 0 до 1, может быть любым с точки зрения их порядка. Просто представим мысленно этот список: бесконечное количество различных бесконечно длинных десятичных представлений действительных чисел от 0 до 1. Каким бы ни был этот список, пронумеруем его элементами натуральными числами без пропусков и повторений. Перечень или, другими словами, список это — последовательность элементов, которым можно сопоставить натуральные числа: первому в списке элементу сопоставим 1, второму — 2 и т.д.

Теперь задача состоит в том, чтобы построить такую десятичную дробь, которой нет в указанном списке. Если нам это удастся, то тем самым мы докажем, что наш первоначальный перечень всех действительных чисел от 0 до 1 не полон и, следовательно, его нумерация не является нумерацией всех десятичных дробей от 0 до 1. Разумеется, мы можем пополнить начальный перечень вновь сконструированным числом. Однако ничто не мешает нам повторить аналогичные рассуждения, с помощью которых мы создадим еще одно новое действительное число, которого раньше не было в списке, и так далее. Итог будет один — список нумерованных действительных чисел всегда не полон. А это означает, что наша нумерация относится не к тому объекту, для которого она предназначалась изначально. Иначе говоря, наша нумерация нумерует не все действительные числа от 0 до 1 и, следовательно, она не является нумерацией этого подмножества действительных чисел. Так как это положение вещей будет сохраняться при сколь угодно долгом пополнении первоначального списка вновь созданными действительными числами, то мы должны признать, согласно Кантору, что нумерации действительных чисел просто не существует. Такова идея доказательства.

Зануда. Уважаемый профессор, если я Вас правильно понял, получается следующее. Сначала мы предполагаем, что множество действительных чисел можно представить в виде перечня всех его элементов, пусть даже бесконечного. Само понятие перечня предполагает некоторую, хотя бы произвольную, упорядоченность его элементов. Так, перечень создается из элементов любого множества следующим образом: сначала как-то выбирается первый элемент, затем второй и, далее, все остальные. Коль скоро мы можем сделать это, то можем и пронумеровать элементы этого списка натуральными числами 1, 2, 3,… . Таким образом, гипотеза о возможности нумерации действительных чисел уже провозглашена. Далее Вы, профессор, вместе с Кантором, говорите, что любая нумерация этого множества таковой не является по той простой причине, что само множество не соответствует своему определению, т.е. не является множеством всех действительных чисел в промежутке от 0 до 1. Ведь Вы говорите, что можете построить число, не входящее в исходный перечень. На этом основании Вы заключаете, что нумерация действительных чисел невозможна.

Профессор. Вы верно поняли мысль Кантора, которую я намерен лишь только растолковать, не претендуя ни на что большее. Давайте теперь рассмотрим ее техническую сторону. Это интересно как феномен изобретательской деятельности человека.

Итак, мы должны построить новое число, которого не было в первоначальном списке. Это число должно отличаться по крайней мере одним десятичным знаком (цифрой в одном из разрядов) от каждого из действительных чисел в списке. Вместе с тем, оно должно быть действительным числом, расположенным между 0 и 1.

Пусть имеется бесконечный перечень бесконечных десятичных представлений действительных чисел от 0 до 1. В этом перечне такие бесконечные десятичные дроби, как 0.5000…, представим в виде эквивалентной бесконечной дроби 0.4999….. Для построения нового числа, не входящего в указанный перечень, выполним следующие действия:

1. Берем первое число в исходном перечне. Первую десятичную цифру в новом числе определяем так:

· Если первая цифра десятичного представления рассматриваемого числа из перечня равна 1, то пишем 9 на первом месте после разделительной точки;

· Если первая цифра десятичного представления рассматриваемого числа не равна 1, то пишем 1 на первом месте после разделительной точки.

2. Берем второе число в исходном перечне и определяем вторую цифру в новом числе:

· Если вторая цифра десятичного представления рассматриваемого числа равна 1, то пишем 9 на первом месте после разделительной точки;

· Если вторая цифра десятичного представления рассматриваемого числа не равна 1, то пишем 1 на втором месте после разделительной точки.

3. Построение нового числа продолжается путем изменения n-ой цифры n-го числа в исходном списке аналогичным образом:

· Если n-я цифра десятичного представления рассматриваемого числа равна 1, то пишем 9 на n-м месте после разделительной точки;

· Если n-я цифра десятичного представления рассматриваемого числа не равна 1, то пишем 1 на n-м месте после разделительной точки.

Новое число будет отличаться по крайней мере одним десятичным знаком от каждого действительного числа в исходном перечне и, вместе с тем, оно будет действительным числом, расположенным в промежутке от 0 до 1. Таким образом, предположение, что действительные числа можно взаимно однозначно сопоставить с натуральными числами, приводит к противоречию, а потому должно быть отброшено. Обратите внимание, что при доказательстве мы просматривали цифры чисел в перечне по диагонали. Поэтому метод, которым был получен данный результат, называют диагональным.

Диагональный метод доказательства того, что множество действительных чисел несчетно

Множество всех подмножеств данного множества

Профессор. Ранее мы рассматривали операции (объединение, пересечение, вычитание), с помощью которых можно было из одних множеств получать другие множества (см. разд. 3.2). Новые множества могут быть построены и другими средствами. Так, мы можем рассмотреть множество, составленное из всех подмножеств данного множества. Пусть, например, дано множество из трех элементов. Тогда множество всех его подмножеств (обозначим его как ) состоит из восьми элементов:

— само множество ,

Ø — пустое множество

}

Обратите внимание, что элементами множества являются множества. Если множество состоит из n элементов, то множество всех его подмножеств состоит из элементов. Если обозначить количество элементов множества как ||, то. В частности пустое множество не имеет элементов (|Ø|=0), поэтому . Я надеюсь, что вы понимаете, в чем состоит различие между и .

Очевидно, что множество всех подмножеств конечного множества всегда больше данного множества: . А выполняется ли это неравенство в случае бесконечных множеств?

Зануда. Сразу и не скажешь. Надо проверить, возможно ли взаимно однозначное соответствие между множествами и . Но как его построить?

Простак. Но быть может следует попытаться доказать неравенство методом от противного, чтобы не заниматься взаимно однозначным соответствием в явной форме?

Профессор. Это хорошая идея. Попробуйте реализовать ее.

Простак. Пусть это сделает Зануда со всей присущей ему тщательностью.

Зануда. Хорошо, я попытаюсь. Итак, теорему сформулируем следующим образом: любое множество неравномощно множеству всех его подмножеств.

Доказывать будем методом от противного, т.е. предположим, что равномощно множеству . Но это означает, что существует взаимно однозначное соответствие между элементами множества и элементами множества . Здесь я позволю себе ввести несложные символические обозначения. Пусть — указанное взаимно однозначное соответствие; — подмножество множества , которое соответствие сопоставляет элементу . Надеюсь понятно, что .

Очевидно, что каким бы ни было взаимно однозначное соответствие , для любого элемента возможны два варианта:

q — элемент принадлежит сопоставляемому множеству;

q — элемент не принадлежит сопоставляемому множеству

Вот здесь начинается самое интересное. Рассмотрим подмножество множества всех тех элементов , для которых . Не исключено, что множество пусто, но это не имеет значения. Так как соответствие взаимно однозначно, то существует элемент , для которого . Спрашивается, что имеет место: или ?

Соответствие f cопоставляет элементу x множества А некоторое его подмножество S

Допустим сначала, что . Но тогда , а и, следовательно, . Получаем противоречие. Предположим обратное: . Но тогда и опять получаем противоречие. Другими словами, с одной стороны , а с другой — . Данное противоречие мы получили в предположении, что множества и равномощны. Отсюда следует, что предположение было неверным. Значит, множества и не равномощны. На этом доказательство заканчивается.

Простак. Как только Зануда ввел в рассмотрение подмножество из всех таких элементов, что , я сразу понял, что следует ожидать противоречия. Это подмножество определяется таким же способом, как и множество гетерологических прилагательных, или множество тех, кого должен брить брадобрей. Только в данном случае противоречивость такого множества сыграла нам наруку, а не просто обескуражило.

Профессор. Как мы уже знаем, множества натуральных, целых и рациональных чисел счетны, а множество действительных чисел — нет. Теперь мы узнали, что множество всех подмножеств данного множества больше последнего. Например, множество всех подмножеств натуральных чисел больше множества всех рациональных чисел.

Прямая и плоскость

Профессор. Мы знаем со времен Рене Декарта, привнесшего числа и алгебру в геометрию, что каждой точке прямой можно сопоставить число — координату этой точки. Пусть дан отрезок прямой, левому концу которого приписано число 0, а правому — 1. Внутренним точкам данного отрезка взаимно однозначно сопоставлены числа в промежутке от 0 до 1 в их естественном порядке. Но какие числа? Хватит ли для этой цели только рациональных чисел (т.е. дробей)?

Простак. Любой отрезок прямой состоит и бесконечного количества точек. Точка не имеет протяженности. Если бы мы взяли лишь конечное их количество на отрезке прямой, то между ними образовались бы промежутки. С увеличением количества точек ширина промежутков между ними уменьшалась бы, но оставаясь все же больше нуля. Но тогда возможен случай, когда два отрезка пересекаются не в точке а в промежутке, что противоречит аксиоме евклидовой геометрии, согласно которой две пересекающиеся прямые имеют одну и только одну общую точку.

При недостаточной плотности точек пересекающиеся отрезки могут не иметь общей точки

Зануда. То, что точек в отрезке конечной длины бесконечно много, и так понятно.

Простак. А я и не собирался это доказывать. Просто я хотел наглядно показать, что может быть, если множество точек не достаточно плотно.

Зануда. Физическая линия как след, оставленный карандашом, под лупой с достаточным увеличением предстанет как набор дискретных пятен. Математическая же линия и под микроскопом любой силы будет выглядеть так же, как и без него. Впрочем, математическую линию мы видим не глазами, а умом. Плотность точек на ней столь велика, что между ними нет никаких промежутков. Не пойму, куда ты клонишь?

Простак. Минуточку терпения, Зануда. Допустим теперь, что каждой точке отрезка прямой можно взаимно однозначно сопоставить рациональные числа из подмножества, например, от 0 до 1. Возьмем два таких отрезка и используем их в качестве катетов прямоугольного треугольника. Заметьте, что концевые точки гипотенузы являются одновременно и концевыми точками катетов, на которые гипотенуза опирается. Другими словами, вершины треугольника это общие точки гипотенузы и смежных с ней катетов. Мы не можем удалить концевую точку ни гипотенузы, ни катета, ибо вершина треугольника это по определению точка пересечения сторон треугольника. Длины катетов равны 1, а гипотенуза, согласно теореме Пифагора, имеет длину . Это число, сопоставленное концевой точке гипотенузы не является рациональным, т.е. оно не может быть получено делением одного целого числа на другое целое число. Следовательно, рациональных чисел недостаточно, чтобы их можно было поставить во взаимно однозначное соответствие с точками отрезка прямой.

Рациональных чисел недостаточно, чтобы их можно было поставить во взаимно однозначное соответствие с точками отрезка прямой

Профессор. Будем считать Ваши рассуждения, Простак, не строгим доказательством, а проясняющими существо дела. Итак, точек на прямой больше, чем рациональных чисел. В действительности их столько же, сколько действительных чисел — рациональных и иррациональных вместе взятых. Это означает, что меду этими двумя множествами существует взаимно однозначное соответствие.

Говорят, что множества точек прямой (вообще любой линии) и действительных чисел образуют континуум — бесконечную и непрерывную совокупность. Между любыми двумя сколь угодно близкими точками линии находится бесконечно много точек, а между любыми двумя действительными числами находится бесконечно много действительных чисел.

А что вы скажете о возможности взаимно однозначного соответствия между множествами всех точек прямой и плоскости, например, между точками отрезка единичной длины и квадрата со стороной, равной 1?

Простак. Мне кажется, что в данном случае взаимно однозначного соответствия быть не может, поскольку точек в квадрате явно больше, чем на прямой. Можно представить себе квадрат как бесконечно много отрезков параллельных прямых, расположенных одна подле другой и покрывающих всю его площадь. При этом мощность множества таких отрезков должна быть такой же, как и мощность множества точек любого из них. А эта мощность, как нам уже известно, равна мощности множества всех действительных чисел.

Зануда. Ааналогия с покрытием квадрата очень узкими полосами лишь делает наглядными трудности построения или хотя бы выяснения возможности взаимно однозначного соответствия между точками квадрата и отрезка прямой. Интуиция подсказывает мне, что Простак скорее прав, чем не прав. Однако, имея дело с бесконечными множествами, мы должны быть готовы ко всему.

Профессор. Оказывается точки квадрата можно отобразить на точки отрезка прямой взаимно однозначным образом. Когда Кантор доказал это в 1877г., то сам был чрезвычайно удивлен полученным результатом: “Я вижу это, но никак не могу этому поверить!” Для большинства математиков это было настоящей сенсацией, а немецкий математик Л. Кронекер вообще не принял его. Кронекер известен очень высокими требованиями к строгости определений математических объектов. Считая, что “Бог создал целые числа, а все остальное — дело рук человеческих”, он, в частности, не признавал существования иррациональных чисел. Так, число он представлял бесконечной суммой рациональных чисел 1 – 1/3 + 13 – 1/7 +…

Я лишь кратко поясню идею доказательства Кантора возможности взаимно однозначного соответствия между точками плоскости и прямой. Каждая точка плоскости представляется парой чисел — координатами , которые можно представить бесконечными десятичными дробями. Эти две дроби комбинируются по определенному правилу, чтобы получить одну дробь, которая сопоставляется с точкой на прямой. Данная процедура обратима и, следовательно, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и прямой.

Комбинация двух десятичных дробей, представляющих точку на плоскости, производится следующим образом. Цифры дроби последовательно разбиваются на группы. Каждая цифра, кроме 0, начинает новую группу. Бесконечная дробь, соответствующая точке на прямой, составляется из полученных групп цифр: первая группа из числа , первая группа из числе , вторая группа из числа , вторая группа из числа и так далее.

Установка взаимно однозначного соответствия между точками плоскости и прямой

Парадоксы бесконечности

Рука дающего не оскудеет

Профессор. Представим себе мешок с бесконечным количеством шаров, пронумерованных натуральными числами. В течение одной минуты шары вынимаются из мешка и возвращаются обратно по следующему алгоритму:

1. За одну минуту до окончания данного алгоритма из мешка вынимается шар с номером 1.

2. Через 1/2 минуты после шага 1 из мешка вынимаются шары с номерами 2 и 3, а шар 1 возвращается в мешок.

3. Через 1/4 минуты после шага 2 из мешка вынимаются шары с номерами 4, 5, 6, 7, а шары 2 и 3 возвращаются.

^4.Через 1/8 минуты после шага 3 из мешка вынимаются шары с номерами 8, 9,…, 15, а шары 4, 5,6, 7 возвращаются. Следующие шаги данного алгоритма выполняются аналогичным образом.

Не трудно заметить, что в каждый момент из мешка извлекается в два раза больше шаров, чем возвращается назад. Сколько шаров окажется вне мешка ровно через минуту после начала работы описанного алгоритма?

В каждый момент из мешка извлекается вдвое больше шаров, чем возвращается обратно

Зануда. На первом шагу, в самом начале минуты, вне мешка был один шар. На втором шагу, через 1/2 минуты, — 2 шара, на третьем, еще через 1/4 минуты, — 4 шара. На n-м шагу, через 1/2^n-1минуты после предыдущего шага или за это же время до окончания минутного срока, вне мешка будет 2^n-1 шара.

Очевидно, что необходимо сначала определить, сколько шагов будет сделано в течение всей минуты. Первый шаг был сделан в начале минуты, второй — через 1/2 (т.е. 1/2¹ ) минуты, третий — через 1/2¹ + 1/2²после начала, четвертый — через 1/2¹ + 1/2² + 1/2³, n-й шаг был сделан через 1/2¹ + 1/2² + 1/2³ + … + 1/2^n-1 минуты. Очевидно, что количество шагов n, выполненное за одну минуту, можно найти из уравнения:

1/2¹ + 1/2² + 1/2³ + … + 1/2^n-1 = 1

Правда, я не знаю, как его решить, но это, я думаю, трудность технического характера, которую можно преодолеть с помощью, например, математического справочника.

Простак. Давайте попробуем составить другое уравнение. А именно, попытаемся определить, сколько времени еще осталось до истечения минуты на n-м шаге алгоритма. На первом шаге остается еще целая минута, на втором — 1/2 = 1/2¹ минуты, т.к. этот шаг был сделан через полминуты после начала работы. На третьем шаге оставалось 1/4 = 1/2² минуты, а на n-м шаге — 1/2^n-1минуты. Чтобы определить номер шага, на котором минута будет полностью исчерпана, достаточно решить очень простое уравнение:

1/2^n-1 = 0

Теперь мы хорошо видим, что ни при каком конечном числе n это равенство не выполняется точно, но в то же время замечаем, что с ростом n левая его часть очень быстро приближается к 0. Можно сказать, что при n→∞ величина 1/2^n-1 равна нулю со сколь угодно большой точностью. Например, на 10-м шаге работы алгоритма до окончания минуты останется меньше 0.12 секунды, а на 25-м шаге — меньше 0.000004 секунды. Это я подсчитал с помощью калькулятора.

Зануда. Но, насколько я помню, в задаче спрашивалось, сколько шаров окажется вне мешка ровно через минуту. На n-м шаге работы алгоритма это количество, как мы уже видели, равно 2^n-1. Минута будет исчерпана при n→∞ и, следовательно, вне мешка окажется бесконечно много шаров.

Простак. Но ведь и в мешке будет также бесконечно много шаров.

Зануда. А почему это тебя удивляет? Нас же теперь не шокирует тот факт, что если из множества всех целых чисел удалить все только четные числа, коих бесконечно много, то оставшихся чисел также будет бесконечно много.

Простак. Я не это имел ввиду, просто неудачно выразился. Меня удивляет, что по истечении минуты любой конкретный шар окажется в мешке, не смотря на то, что вне мешка будет бесконечно много шаров. Например, где окажется k-й шар в момент истечения минуты?

В момент, сколь угодно близкий к завершению минуты, шары 1, 2, 3 и так далее до, возможно, какого-то k-го шара уже будут в мешке. Особым является момент извлечения-возвращения шаров. Рассмотрим его подробнее.

Можно заметить, что на n-м шаге работы алгоритма из мешка извлекаются шары с номерами:

2ⁿ, 2ⁿ+ 1, …, 2ⁿ⁺¹-1,

а назад возвращаются (если n >1) шары с номерами:

2^n-1, 2^n-1+ 1, …, 2ⁿ— 1.

Для любого номера k найдется шаг n алгоритма такой, что

2^n-1k 2ⁿ— 1

и, следовательно, на этом шаге k-й шар окажется в мешке. Это произойдет до истечения минуты или в момент, сколь угодно близкий к ее окончанию. Таким образом, получается, что любой конкретный шар (с любым заданным номером) к моменту окончания минуты будет в мешке.

Зануда. Однако к этому же моменту, как мы убедились чуть ранее, вне мешка будут находиться бесконечно много шаров. Парадокс!

Профессор. Вы оба рассуждали довольно разумно, но упустили из виду важное обстоятельство, что и привело к противоречию. Обратите внимание, что алгоритм, состоящий из бесконечного количества извлечений-возвращений шаров, привязанных к моментам времени внутри минуты, не определен для последнего момента этой минуты. Данный алгоритм состоит из бесконечного количества шагов, но продолжительность его работы меньше одной минуты. Действительно, время работы алгоритма определяется суммой бесконечного количества временных интервалов между его шагами — 1/2¹ + 1/2² + 1/2³ + … + 1/2^n-1 + …. Для любого, сколь угодно большого числа шагов эта сумма меньше 1. Эту единицу можно рассматривать лишь как тот предел, к которому сумма постоянно приближается с добавлением каждого нового члена, но ни при каком конечном числе всех членов не достигает его. Последний момент минуты не принадлежит временному интервалу работы алгоритма, на котором он определен, а значит, мы не можем сказать, что он сотворит в этот момент.

Простак. Тем не менее мы можем предсказать, что будет в момент, сколь угодно близкий к концу минуты.

Профессор. Разумеется, поскольку для такого момента всегда найдется интервал, концы которого привязаны к двум смежным шагам алгоритма, содержащий этот момент.

Простак. Но как Вы объясните следующее обстоятельство. С одной стороны, алгоритм выполняет бесконечное количество шагов, т.е. никогда не завершает своей работы. С другой стороны, длительность его работы не может превысить одной минуты. Что же мы будем реально наблюдать в момент окончания минуты и далее? С одной стороны, спустя минуту и сколько угодно времени алгоритм должен продолжать работу, так как в противном случае он не содержал бы бесконечное количество шагов. Но, с другой стороны, он не определен на интервале времени, начинающемся с конца рассматриваемой минуты. Словом, я не могу представить себе эту противоречивую ситуацию.

Профессор. Противоречивую ситуацию всегда трудно себе представить наглядно, на то она и противоречивая. Поэтому математики и считают противоречивые объекты несуществующими.

Представьте себе некий алгоритм, который, согласно своему определению, что-то делает только по пятницам. А вас интересует, что он делает в остальные дни недели. Правомерно ли это? Думаю, что нет. Этот гипотетический алгоритм работает бесконечно долго, если считать, что время никогда не остановится и пятницы будут следовать друг за другом через каждую неделю. Однако для наблюдателя, переживающего сейчас, например, понедельник данный алгоритм просто ничего не делает, ожидая очередной пятницы. Если вы скажете, что такое ожидание входит в определение алгоритма и тем самым является его деятельностью, то тогда я скажу, что алгоритм приостановился на неделю.

Натуральные числа /qualihelpy

Числа, запись которых оканчивается четной цифрой, называют четными числами.

Числа, запись которых оканчивается нечетной цифрой, называют нечетными числами.

Над натуральными числами можно производить арифметические действия:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Если число кратно числу , то записывают: .5. Число делится на , если его запись оканчивается цифрой . Например, число делится на .

Деление с остатком

Если же остаток равен нулю, то говорят, что число делится нацело на число .

Простые и составные числа

Числа, которые имеют только два различных делителя (делятся только сами на себя и на число 1), называют простыми.

Например, простыми являются числа , , , , , , , , , …. .

Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными. Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей.

Например, число составное, так как . Натуральные числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, за исключением числа . Например, числа и взаимно простые;

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Общим делителем нескольких чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).

Общим кратным нескольких чисел называют число, которое является кратным каждого из этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее. Это число называется наименьшим общим кратным (НOК).

Чтобы найти НОД нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители и найти произведение только тех множителей, которые имеются в разложениях всех чисел.

Чтобы найти НOК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, найти произведение всех множителей, входящих в разложение одного из чисел и недостающих множителей из разложений оставшихся чисел.

Python 3. Организация циклов | Информационные технологии

Задача: Напишите программу, которая вводит два целых числа и находит их произведение, не используя операцию умножения. Учтите, что числа могут быть отрицательными.

Решение

a, b = map(int, input().split())
res, s = 0, 1
if b

Задача: Напишите программу, которая вводит натуральное число N и выводит первые N чётных натуральных чисел. Программа должна вывести в одну строчку N первых чётных натуральных чисел, разделив их пробелами.
Решение
n = int(input())
for i in range (1,2*n,2):
    print (i+1)
Задача: Напишите программу, которая вводит натуральные числа a и b и выводит сумму квадратов натуральных чисел в диапазоне от a до b.
Решение
a, b = map(int, input().split())
if a > b:
    t = a
    a = b
    b = t
s = 0
for i in range (a, b+1):
    s = s+i*i
print (s)
Задача: Напишите программу, которая вводит четыре натуральных числа (a, b, c и d) и находит все пятизначные числа, которые при делении на a дают в остатке b , а при делении на c дают в остатке d .
 Входные данные  Первая входная строка содержит два натуральных числа, разделённые пробелами: a и b. Вторая строка содержит натуральные числа c и d, также разделённые пробелом. Гарантируется, что 0 ≤ b ≤ a и 0 ≤ d ≤ c.  Выходные данные  Программа должна вывести в одну строчку через пробел все пятизначные натуральные числа, которые при делении на a дают в остатке b, а при делении на c дают в остатке d . Если таких чисел нет, программа должна вывести число -1.3
Напишите программу, которая находит все числа Армстронга на отрезке [a, b].
Входные данные: Входная строка содержит два натуральных числа – значения a и b, разделённых пробелами. Гарантируется, что a ≤ b.
Выходные данные: Программа должна вывести в одну строчку все числа Армстронга на отрезке [a, b] , разделив их пробелами. Если таких чисел нет, программа должна вывести число -1.
Решение
x = input().split()
 
a = int(x[0])
b = int(x[1])
 
'''
a = 100
b = 400
'''
 
if a > b:
    t = a
    a = b
    b = t
 
if a

Задача: Напишите программу, которая считает количество чётных цифр введённого числа.
Решение
n = int(input())
n = int(n)
k = 0
m = 0
while n>0:
    
    if n%2==0:
        k+=1
    else:
        m+=1
    n=n//10
print(k)
Задача: Напишите программу, которая определяет, верно ли, что введённое число содержит две одинаковых цифры, стоящие рядом (как, например, 221).
Решение
n = int(input())
res = "NO"
d1 = 0
d2 = 0
while n > 0:
    d1 = n%10
    d2 = n//10%10
    if d1 == d2:
        res = "YES"
    n = n//10
print (res)
Задача: Напишите программу, которая определяет, верно ли, что введённое число содержит по крайней мере две одинаковых цифры, возможно, не стоящие рядом (как, например, 212). Программа должна вывести слово 'YES', если в числе есть две одинаковые цифры, и слово 'NO', если такой пары цифр нет.
Решение
n = int(input())
res = "NO"
d1 = 0
d2 = 0
while n>0:
     d1 = n%10
     m = n//10
     while m > 0:
         d2 = m%10
         if d1 == d2:
             res = "YES"
         m = m//10
     n = n//10
print (res)
Задача: Модифицированный алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, формулируется так: нужно заменять большее число на остаток от деления большего на меньшее до тех пор, пока остаток не станет равно нулю; тогда второе число и есть НОД. Напишите программу, которая реализует этот алгоритм.
Входные данные: Входная строка содержит два числа, разделённые пробелом – a и b .
Выходные данные: Программа должна вывести в одной строке два числа: сначала наибольший общий делитель двух введённых чисел, а затем – количество шагов цикла, которые были выполнены.
Решение
x = input().split() #Python 3.x

a = int(x[0])
b = int(x[1])

n = 0

while a!=0 and b!=0:
  if a > b:
    a = a % b
  else:
    b = b % a
  n+=1
	 
print (a+b, n)
Задача: Напишите программу, которая вычисляет сумму и произведение целых чисел, поданных на её вход. Ввод заканчивается числом 0.
Входные данные: Во входных строках записаны целые числа, по одному в каждой строке. В последней строке записано число 0.
Выходные данные: Программа должна вывести в одной строке сумму и произведение введённых чисел (не считая завершающий 0), разделив их пробелом.
Решение
summ, mul = 0, 1
while 1:
    c = int(input())
    if c == 0: break;
    summ += c
    mul *= c
print (summ,mul)
Задача: Напишите программу, которая вводит натуральное число N и определяет его факториал, то есть произведение натуральных чисел от 1 до N: N! = 1·2·{...}· N.
Решение
n = int(input())
f = 1
while n>1:
    f *= n
    n -= 1
print (f)
Задача: Напишите программу, которая выводит на экран все цифры числа, начиная с первой.
Входные данные: Входная строка содержит натуральное число N.
Выходные данные: Программа должна вывести все цифры введённого числа в одной строке, начиная с первой. Цифры отделяются пробелами.
Решение
n = int(input())
res = ""
while n>0:
    res = str(n%10)+ " " + res
    n = n//10
print (res.strip())
Задача: Напишите программу, которая вводит натуральные числа a и b и выводит все простые числа в диапазоне от a до b. Входная строка содержит два натуральных числа: a и b. Гарантируется, что a ≤ b. Программа должна вывести в одной строке через пробел все простые числа на отрезке [a, b]. Если таких чисел нет, программа должна вывести 0.
Решение
x = input().split()
a = int(x[0])
b = int(x[1])
if a == 0: a = 1
res = ""
for i in range(a, b + 1):
    for j in range(2,i):
        if i%j == 0:
            break
    else:
        res = res + " " + str(i)
if res != '':
    print (res)
else:
    print (0)
anonymous, 01.06.2017

Постоянный адрес этой страницы:

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по математике — 2815

а) Доказать, что сумма всех $n$-значных чисел ($n>2$) равна $\underbrace{494 99 \cdots 9}_{{(n-3) \:раз}} 55 \underbrace{00 \cdots 0}_{(n-2 \:раз}$ (так, сумма всех $(n-3)$ раз $(n-2)$ раз трехзначных чисел равна 494 550, а сумма всех шестизначных чисел 494 999 550 000).
б) Найти сумму всех четырехзначных четных чисел, которые можно записать цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5 (одна и та же цифра в числе может повторяться). Подробнее

Задача по математике — 2819

Каждое из целых чисел от единицы до миллиарда включительно заменяется суммой цифр числа; однозначные числа при этом, разумеется, не меняются, а остальные уменьшаются. Затем каждое из вновь полученных чисел снова заменяется суммой его цифр — и так до тех пор, пока не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел будет больше среди полученных чисел — единиц или двоек? Подробнее

Задача по математике — 2820

Может ли являться полным квадратом целое число, запись которого в десятичной системе счисления содержит
а) некоторое количество шестерок и некоторое количество нулей;
б) цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9 (каждую — по одному разу), причем цифра 5 стоит на последнем месте? Подробнее

Задача по математике — 2821

На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99 999 включительно (число таких чисел, очевидно, равно 88 889).m + \cdots$

при всех (натуральных) $m

Подробнее

Задача по математике — 2826

В числовом треугольнике

каждое число равно сумме трех чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и его соседями справа и слева; в случае отсутствия в предыдущей строке одного из двух таких чисел они заменяются нулями.

Доказать, что в каждой строке, начиная с третьей, найдется четное число.

Подробнее

Задача по математике — 2827

Дана треугольная таблица чисел:

в которой каждое число (кроме чисел верхней строки) равна сумме двух стоящих над ним чисел предшествующей строки. Доказать, что последнее число, стоящее в самой нижней строке этой таблицы, делится на 1958.

Подробнее

Операторы While, Repeat

95. Составить программу, которая определяет среднее арифметическое всех четных чисел в интервале от 20 до 40.

96. Составить программу, которая выводит четные, а потом нечетные числа в интервале от 30 до 90.

97. Даны два целых числа А и В (А<В). Найти сумму всех чисел от А до В включительно.

98. Составить программу, которая определяет значение Y для всех Х в интервале от 25 до 75 с шагом 2.5

X 2
Y = ————-
X + 2.5

99. Составить программу, которая находит сумму квадратов первых 7 натуральных чисел.

100. Составить программу, которая запрашивает стоимость 1 мороженого, а потом выводит стоимости от 1 до 10 порций.

101. Вывести натуральные целые числа от 1 до N в обратном порядке.

102. Вычислить

103. Дано вещественное число А и целое число N(>0). Вывести все целые степени числа А от 1 до N.

104.Напечатать последовательность из N – натуральных чисел, образованную по следующему правилу: каждое число в последовательности, начиная с третьего, получается сложением двух предыдущих чисел.

105. Составить программу, которая запрашивает число, а выводит таблицу умножения от 1 до 10 для этого числа.

106. Составить программу, которая вычисляет значение переменной Y для всех X в интервале от 5 до 10 с шагом 0,5 по следующей формуле: Y=(X2+X)/(X3-10).

107. Написать программу, которая выводит таблицу квадратов первых десяти положительных чисел. Ниже приведен рекомендуемый вид экрана во время выполнения программы.

`Таблица квадратов` `===================`
`Число`	`квадрат`
`——————-`
`1` `2` `3` `4` `5` `6` `7` `8` `9` `10`	`1` `4` `9` `16` `25` `36` `49` `64` `81` `100`

108. Написать программу, которая выводит таблицу квадратов первых пяти целых положительных нечетных чисел. Ниже приведен рекомендуемый вид экрана во время выполнения программы.

`Таблица квадратов` `===================`
`Число`	`квадрат`
`——————-`
`1` `3` `5` `7` `9`	`1` `9` `25` `49` `81`

109. Написать программу, которая вычисляет сумму первых n целых положительных чисел. Количество суммируемых чисел должно вводиться во время работы программы. Ниже приведен рекомендуемый вид экрана во время выполнения программы.

`Введите n:8 Таблица сумм` `===================`
`Число`	`Сумма чисел`
`——————-`
`1` `2` `3` `4` `5` `6` `7` `8`	`1` `3` `6` `10` `15` `21 28 36`

110. Написать программу, которая вычисляет сумму первых n целых четных положительных чисел. Количество суммируемых чисел должно вводиться во время работы программы. Ниже приведен рекомендуемый вид экрана во время выполнения программы.

`Введите n:8 Таблица сумм` `===================`
`Число`	`Сумма чисел`
`——————-`
`2 4 6 8 10 12 14 16`	`2 6 12 20 30 42 56 72`

111. Написать программу, которая вычисляет сумму и среднее арифметическое положительных чисел, введенных с клавиатуры. Количество чисел должно вводиться во время работы программы. Ниже приведен рекомендуемый вид экрана во время выполнения программы.

Введите количество чисел: 10
Введите числа: 1 45 37 75 34 34 2 5 6 21
Сумма чисел: 260
Среднее арифметическое: 26

112. Написать программу, которая вводит 5 дробных чисел и вычисляет их среднее арифметическое. Ниже приведен рекомендуемый вид экрана во время выполнения программы.

Введите числа: 1.2 5.6 7.5 45.1 78.5
Среднее арифметическое: 27.58

113. Написать программу, которая вводит 5 дробных чисел и после каждого ввода числа выводит среднее арифметическое введенной части последовательности. Ниже приведен рекомендуемый вид экрана во время выполнения программы.

`число 1:`	`1.2`
		`сред.арифмет.=`	`1.2`
`число 2:`	`45.1`
		`сред.арифмет.=`	`23.2`
`число 3:`	`21.5`
		`сред.арифмет.=`	`22.6`
`число 4:`	`77.1`
		`сред.арифмет.=`	`36.2`
`число 5:`	`17.1`
		`сред.арифмет.=`	`32.4`

114. Написать программу, которая вычисляет среднее арифметическое последовательности дробных чисел, вводимых с клавиатуры. После ввода последнего числа программа должна вывести минимальное и максимальное число последовательности. Количество вводимых чисел последовательности должно задаваться во время работы программы. Ниже приведен рекомендуемый вид экрана во время выполнения программы.

Введите количество чисел: 10
Введите числа:
1=2.4
2=4.8
3=1.8
4=2.8
5=3.2
6=5.6
7=7.8
8=9.1
9=1.5
10=5.4
Минимальное число:1.5
Максимальное число:9.1
Среднее арифметическое:4.44

Суммирование последовательных чисел

Сваати, из Garden International School, начал с перечисления чисел до 15 и попытки представить их в виде суммы последовательных чисел:

2
3 = 1 + 2
4
5 = 2 + 3
6 = 1 + 2 + 3
7 = 3 + 4
8
9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4
10 = 1 + 2 + 3 + 4
11 = 5 + 6
12 = 3 + 4 + 5
13 = 6 + 7
14 = 2 + 3 + 4 + 5
15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Мы не можем записать каждое число как сумму последовательные числа — например, 2, 4 и 8 не могут быть записаны как суммы последовательных чисел.В приведенном выше примере 9 и 15 были единственными числами, которые можно было записать более чем одним способом.

Многие люди заметили закономерность, согласно которой все нечетные числа (кроме 1) могут быть записаны как сумма двух последовательных чисел. Например, Матильда и Тамарис написали:

Если сложить два последовательных числа вместе, сумма будет нечетным числом, например
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 4 = 7
4 + 5 = 9
5 + 6 = 11
6 + 7 = 13
и так далее …

Молодцы ученики из Кенмонтской начальной школы, которые заметили это и объяснили, что четное плюс нечетное всегда нечетное.

Некоторые заметили аналогичную закономерность для чисел, кратных 3. Джулия и Лиззи сказали:

Если вы сложите любые 3 последовательных числа вместе, оно всегда будет равно кратному 3, например
1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 4 = 9
3 + 4 + 5 = 12
4 + 5 + 6 = 15
5 + 6 + 7 = 18

Продолжая модели, Lumen Christi Команда программы расширения математики 5/6 классов прислала нам:

Мы обнаружили, что сумма четырех последовательных чисел дает нам числовую последовательность 10, 14, 18, 22, 26, 30 и так далее.Все они были четными числами, у которых нечетное число составляло половину его общего числа.
1 + 2 + 3 + 4 = 10
2 + 3 + 4 + 5 = 14
3 + 4 + 5 + 6 = 18 …

Хизер из средней школы Уоллингтона для девочек объяснила эту закономерность:
10-1 + 2 + 3 + 4
14-2 + 3 + 4 + 5
18-3 + 4 + 5 + 6
22-4 + 5 + 6 + 7
Во всех столбцах каждое место добавляет 1 каждый раз, поэтому итого вы добавляете 4 каждый раз.

Руби сказал:

Числа, кратные 5, начиная с 15, представляют собой суммы 5 последовательных чисел:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20
3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25…

Фергус и Сами заметили похожую закономерность:

Если вы допускаете отрицательные числа, вы легко можете найти сумму для любого кратного 7. Каждый раз, когда вы добавляете одно число с каждой стороны суммы, ваша сумма увеличивается на 7, например
3 + 4 = 7
2 + 3 + 4 + 5 = 14
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
— 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 …

Отлично! (Есть способ заставить этот паттерн работать даже без использования отрицательных чисел — вы можете его заметить?) Почему возникают все эти паттерны?

Бекки обнаружила паттерн другого типа:

Мы выяснили, что степени двойки (2, 4, 8, 16…) никогда не может быть получен путем сложения последовательных чисел вместе.

Интересно! Интересно, почему?

Команда Lumen Christi предлагает способ построения множества кратных нечетных чисел:

Мы выяснили, что если вы разделите кратное 3 на 3 и назовете ответ n, то ваше исходное число будет суммой (n -1), n и (n + 1).

Затем мы обнаружили, что числа, кратные 5, можно записать как 5 последовательных чисел. Это то же самое, что и правило для трех последовательных номеров.Возьмите число и разделите его на 5, назовите его n, и тогда ваше число будет суммой (n-2), (n-1), n, (n + 1) и (n + 2).

Затем мы предположили, что, поскольку это верно для 3 и 5, оно также будет работать для 7, 9 и любого другого нечетного числа. n $ из нечетного числа последовательных чисел?

Нечетное число последовательных чисел в среднем равно целому числу.n $ из четного числа последовательных чисел?

Четное число последовательных чисел не будет иметь среднего целого числа. Среднее значение будет средним из двух средних чисел. Итак:

Sum = (сумма двух средних чисел) $ \ times \ frac {1} {2} \ times $ количество последовательных чисел
= (сумма двух последовательных чисел) $ \ times $ ($ \ frac {1 } {2} \ times $ четное число)
= (сумма двух последовательных чисел) $ \ times $ целое число

Но если вы сложите два последовательных числа, ответ всегда будет нечетным числом.п $.

Отлично сделано!

Программа на Python для вычисления суммы нечетных и четных чисел

В этом руководстве мы обсудим программу Python p для вычисления суммы нечетных и четных чисел

В этой статье мы познакомимся с концепцией вычисления суммы нечетных и четных чисел на языке Python

Что такое четные или нечетные числа?

Когда любое целое число, которое заканчивается на 0,2,4,6,8, делится на два, оно называется четным числом

Пример для четных чисел: 34, -62,58,890

Когда любое целое значение, которое заканчивается на 0,1,3,5,7,9, не делится на два, оно называется нечетным числом

Пример для нечетных чисел: 21,567, -57,67

Мы можем использовать модульный оператор, чтобы найти нечетное или четное число в заданном диапазоне.

, если n% 2 == 0, n — четное число

, если n% 2 == 1, n — нечетное число

Вычислить сумму нечетных и четных чисел с помощью цикла for

Программа 1

Эта программа позволяет пользователю ввести максимальное количество цифр, а затем программа суммирует до нечетных и четных чисел от 1 до введенных цифр, используя цикл for.

 # Программа Python для вычисления суммы нечетных и четных чисел с использованием цикла for
max = int (input ("введите максимальное значение:"))
even_Sum = 0
odd_Sum = 0

для числа в диапазоне (1, max + 1):
    если (число% 2 == 0):
        четная_сумма = четная_Сумма + число
    еще:
        odd_Sum = odd_Sum + число

print ("Сумма четных чисел от 1 до {0} = {1}".формат (число, даже_Сумма))
print ("Сумма нечетных чисел от 1 до {0} = {1}". format (num, odd_Sum))

чемодан 1

 введите максимальное значение: 10
Сумма четных чисел от 1 до 10 = 30.
Сумма нечетных чисел от 1 до 10 = 25

футляр 2

 введите максимальное значение: 100
Сумма четных чисел от 1 до 100 = 2550.
Сумма нечетных чисел от 1 до 100 = 2500

Вычислить сумму нечетных и четных чисел с помощью цикла while

Программа 2

Эта программа позволяет пользователю ввести максимальное количество цифр, а затем программа суммирует до нечетных и четных чисел от 1 до введенных цифр, используя цикл while.

 # Программа Python для вычисления суммы нечетных и четных чисел с использованием цикла while
max = int (input ("введите максимальное значение:"))
even_Sum = 0
odd_Sum = 0

число = 1
в то время как (число <= макс):
    если (число% 2 == 0):
        четная_сумма = четная_Сумма + число
    еще:
        odd_Sum = odd_Sum + число

    число + = 1

print ("Сумма четных чисел 1 к введенному числу", even_Sum))
print ("Сумма четных чисел 1 к введенному числу", odd_Sum))

чемодан 1

 введите максимальное значение: 20
Сумма четных чисел от 1 до введенного числа = 110
Сумма нечетных чисел от 1 до Введенного числа = 100

Предлагаем вам

для цикла в Python

цикл while в Python

Операторы if в Python

Аналогичный пост

Программа Python для проверки четности или нечетности числа

Программа Python для проверки четного или нечетного числа с помощью функции

Программа Python для отображения четных и нечетных чисел в заданном диапазоне

Код Python для отображения всех четных и нечетных чисел от 1 до n

Код Python для отображения всех четных и нечетных чисел без if

Программа на C для вычисления суммы нечетных и четных чисел Разделите нечетное и четное число в списке на два разных списка

M3000 Домашнее задание № 5

Домашнее задание по математике 3000 Answers # 6

От Смита, Эггена и Св.Андре, Переход к высшей математике , 5 ^th Ed.

Ответы на * проблемы приведены в конце книги и здесь не воспроизводятся.

( стр. 50: 3, 5, 7, 8 )

3. Докажите, что если каждое четное натуральное число больше 2 является суммой двух простых чисел, то каждое нечетное натуральное число больше 5 является суммой трех простых чисел.

Доказательство. Пусть x нечетное натуральное число больше 5.(Так как x здесь не указан, и если ему не будут заданы какие-либо особые свойства в оставшейся части доказательства, то то, что было доказано относительно x, будет верно для всех нечетных натуральных чисел больше 5.)
Тогда x - 3 - четное натуральное число, большее 2. По условию x - 3 = a + b, где a и b - простые числа. Тогда x = a + b + 3, и поскольку 3 - простое число, x можно записать как сумму трех простых чисел.

5. (a) Контрпример : Пусть x = 41. Тогда (41) ² + 41 + 41 не является простым числом.

(b) Доказательство : Пусть x - действительное число (произвольное). Тогда пусть y = -x. Для этого y мы имеем x + y = x + (-x) = 0.

(d) Контрпример : Пусть a = 10, b = 15 и c = 4. Тогда a делит bc (= 60), но не делит 15 или 4.

(e) Доказательство : Поскольку a делит b-c, существует целое число k, так что b-c = ak. Поскольку a делит c-d, существует целое число m, так что c-d = am.Теперь b-d = (b-c) + (c-d) = ak + am = a (k + m). Поскольку k + m - целое число, a делит b-d.

(f) Контрпример : Пусть x = ½. Тогда x ² - x = ¼ - ½ =-<0.

(g) Доказательство : Пусть x - положительное действительное число (произвольное). Тогда x ² - положительное действительное число, и 100x ² также положительное (произведение двух положительных чисел).

(h) Контрпример : Пусть x = 1. Рассмотрим z = 1. Для любого y с 0

(i) Доказательство : для любого x пусть y = x. Теперь гипотеза y

7. (a) Поскольку n натуральное число, n1. Поскольку n положительно, мы можем разделить обе части этого неравенства на n, чтобы получить 11 / n.

(b) Сценарий: если n> M и оба они положительны, то 1 / n <1 / M. Итак, все, что нам нужно сделать, это сделать 1 / M 0,13. То есть иметь М 100/13. Итак, мы можем выбрать натуральное число для M, если оно больше 100/13.
Доказательство : Пусть M = 10. Если n> M, то 1 / n <1 / M = 0,1 <0,13, поскольку и n, и M положительны.

(d) Из (a) мы знаем, что 1 / n1 для всех натуральных чисел. Поскольку 1 <2, мы можем взять M = 2 и иметь, что 1 / n <2 для всех натуральных чисел n.

(e) Предположим, что L - наибольшее натуральное число. Мы знаем, что если n - натуральное число, то n + 1 - натуральное число. Итак, L + 1 - натуральное число. Мы также знаем, что n

(f) Предположим, что r - наименьшее положительное действительное число. Мы знаем, что для любого положительного действительного числа s s / 2 также является положительным действительным числом. Итак, r / 2 - положительное действительное число. Мы также знаем, что для любого положительного действительного числа s / 2

(h) Сценарий: мы хотим, чтобы 1 / n - 1 / m <, или, другими словами, 1 / n <+ 1 / m. Поскольку 1 / m положительно, если мы сделаем 1 / n <, то у нас будет 1 / n <+ 1 / m.
Доказательство : Пусть дано> 0. По части (g) мы можем найти M так, что если n> M, то 1 / n <. Тогда, поскольку 1 / m положительно, 1 / n <+ 1 / m. Если m> n> M, то 1 / n - 1 / m <.

8. (c) С . Неправильно дано определение a делит b.Для некоторого целого k должно быть b = ak.
(e) F . Заявление ложное. Второй смысл доказательства не соответствует действительности.
(е) А .
(ж) А .
(з) Ф . Доказательство противоположно утверждению.
(i) С . В аргументе отсутствует случай, т. Е. Когда a и b имеют разные знаки.

Список четных чисел - ChiliMath

Чтобы ознакомиться с концепцией четных чисел, ознакомьтесь с моим уроком о четных числах.Вы можете щелкнуть мышью по изображению ниже 🐭, чтобы перейти к уроку.

Теперь, если вы ищете исчерпывающий список четных чисел от 0 до 1000 , вы попали в нужное место!

Чтобы вам было легче найти то, что вам нужно, я разбил четные числа от 0 до 1000 на десять (10) групп.

Четные числа от 0 до 100

0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
44
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
98
100

Четные числа от 101 до 200

102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
140
142
144
146 150
152
154
156
158
160
162
164
166
168
170
172
174
176
178
180
182
184
186
188
1906
200

Четные числа от 201 до 300

202
204
206
208
210
212
214
216
218
220
222
224
226
228
230
232
234
236

240003
240003
234
236

240003
240003
240003 250
252
254
256
258
260
262
264
266
268
270
272
274
276
278
280
282
284
286
288
0003 300

Четные числа от 301 до 400

302
304
306
308
310
312
314
316
318
320
322
324
326
328
330
332
334
336
338
3408 340003
340003
340003 350
352
354
356
358
360
362
364
366
368
370
372
374
376
378
380
382
384
386

382
384
386

388 39000 3

3
400

Четные числа от 401 до 500

402
404
406
408
410
412
414
416
418
420
422
424
426
428
430
432
434
436 440003 440003 4408
434
436 440003 448 450
452
454
456
458
460
462
464
466
468
470
472
474
476
478
480
482
484
486
488

486
488
500

Четные числа от 501 до 600

502
504
506
508
510
512
514
516
518
520
522
524
526
528
530
532
534
536
000 532
534
536
000 532
534
536
000 9408 538 550
552
554
556
558
560
562
564
566
568
570
572
574
576
578
580
582
584
586
000
000
584
586
000
0005 600

Четные числа от 601 до 700

602
604
606
608
610
612
614
616
618
620
622
624
626
628
630
632
634
636
0003 630003 650
652
654
656
658
660
662
664
666
668
670
672
674
676
678
680
682
684
686
0003 6
700

Четные числа от 701 до 800

702
704
706
708
710
712
714
716
718
720
722
724
726
728
730
732
734
736 7000300030003 738 948 944 948 948 750
752
754
756
758
760
762
764
766
768
770
772
774
776
778
780
782
784
786
0003 788
784
786
0003 788
784 800

Четные числа от 801 до 900

802
804
806
808
810
812
814
816
818
820
822
824
826
828
830
832
834
836
000 838 940 938 850
852
854
856
858
860
862
864
866
868
870
872
874
876
878
880
882
884
886
000 8889
886
000 8889
884
886
000 8889 900

Четные числа от 901 до 1000

902
904
906
908
910
912
914
916
918
920
922
924
926
928
930
932
934
936
000 940 940 940 940 940 940 940 940 940 940
0003000 950
952
954
956
958
960
962
964
966
968
970
972
974
976
978
980
982
984
986
00030003 1 000

Возможно, вас заинтересует:

Список нечетных чисел

Что такое четное число?

Что такое нечетное число?

Что такое натуральные числа? Определение, примеры и факты

Натуральные числа являются частью системы счисления, включая все положительные целые числа от 1 до бесконечности.Натуральные числа также называются счетными числами, потому что они не включают ноль или отрицательные числа. Они являются частью действительных чисел, включая только положительные целые числа, но не ноль, дроби, десятичные дроби и отрицательные числа.

Введение в натуральные числа

Мы видим числа повсюду вокруг нас, для подсчета предметов, для обозначения или обмена денег, для измерения температуры, определения времени и т. Д. Эти числа, которые используются для подсчета предметов, называются «натуральные числа ».Например, при подсчете предметов мы говорим 5 чашек, 6 книг, 1 бутылку и т. Д.

Что такое натуральные числа?

Натуральные числа относятся к набору всех целых чисел за исключением 0. Эти числа широко используются в нашей повседневной деятельности и речи.

Определение натуральных чисел

Натуральные числа - это числа, которые используются для счета и являются частью действительных чисел. Набор натуральных чисел включает только положительные целые числа, т.е.е., 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……… .∞.

Примеры натуральных чисел

Натуральные числа, также известные как неотрицательные целые числа, включают положительные целые числа (также известные как неотрицательные целые числа), и несколько примеров включают 23, 56, 78, 999, 100202 и т. Д.

Набор натуральных чисел

Набор - это набор элементов (в данном контексте чисел). Набор натуральных чисел в математике записывается как {1,2,3, ...}. Набор натуральных чисел обозначается символом N.N = {1,2,3,4,5, ...}

Форма ведомости	N = Набор всех номеров, начиная с 1.
Roaster Form	N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ………………………………}
Set Builder Form	N = {x: x - целое число, начиная с 1}

Наименьшее натуральное число

Наименьшее натуральное число - 1. Мы знаем, что наименьший элемент в N равен 1 и что для каждого элемента в N мы можем говорить о следующем элементе в терминах 1 и N (что на 1 больше, чем этот элемент).Например, два - на один больше, чем на один, три - на один больше, чем на два, и так далее.

Натуральные числа от 1 до 100

Натуральные числа от 1 до 100 - это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. , 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45 , 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95 , 96, 97, 98, 99 и 100.

0 - натуральное число?

Нет, 0 НЕ является натуральным числом, потому что натуральные числа считаются числами. Для подсчета любого количества предметов мы начинаем отсчет с 1, а не с 0.

Натуральные числа нечетные

Нечетные натуральные числа - это нечетные числа, принадлежащие множеству N. Таким образом, набор нечетных натуральных чисел равен {1,3,5,7, ...}.

Четные натуральные числа

Четные натуральные числа - это четные числа, принадлежащие множеству N.Таким образом, набор четных натуральных чисел равен {2,4,6,8, ...}.

Натуральные числа и целые числа

Набор целых чисел такой же, как набор натуральных чисел, за исключением того, что он включает дополнительное число, равное 0. Набор целых чисел в математике записывается как {0,1,2,3, ...} . Обозначается буквой W. W = {0,1,2,3,4…}

Из приведенных выше определений мы можем понять, что каждое натуральное число - это целое число. Кроме того, каждое целое число, кроме 0, является натуральным числом.Можно сказать, что множество натуральных чисел - это подмножество множества целых чисел.

Разница между натуральными и целыми числами

Натуральные числа - это положительные числа, например 1, 2, 3, 4 и т. Д. Это числа, которые вы обычно считаете, и они продолжаются до бесконечности. Целые числа - это натуральные числа, включая 0, например 0, 1, 2, 3, 4 и т. Д. Целые числа включают в себя все целые числа и их отрицательные аналоги. например, -4, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4 и так далее.В следующей таблице показана разница между натуральным числом и целым числом.

Натуральное число	Целое число
Набор натуральных чисел: N = {1,2,3, ...}	Набор целых чисел W = {0,1,2,3, ...}
Наименьшее натуральное число 1.	Наименьшее целое число - 0.
Все натуральные числа являются целыми числами, но все целые числа не являются натуральными числами.	Каждое целое число является натуральным числом, кроме нуля.

Натуральные числа в числовой строке

Набор натуральных и целых чисел может отображаться в числовой строке, как показано ниже. Все положительные целые числа или целые числа в правой части 0 представляют натуральные числа, тогда как все положительные целые числа вместе с нулем представляют собой целые числа.

Закрытие собственности
Ассоциативное свойство
Коммутативная собственность
Распределительная собственность

1.Закрытие собственности:

Сумма и произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.

Замыкающее свойство сложения: a + b = c ⇒ 1 + 2 = 3, 7 + 8 = 15. Это показывает, что сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом.

Замыкание. Свойство умножения: a × b = c ⇒ 2 × 3 = 6, 7 × 8 = 56 и т. Д. Это показывает, что произведение натуральных чисел всегда является натуральным числом.

Итак, набор натуральных чисел N замкнут при сложении и умножении, но не при вычитании и делении.

2. Ассоциативное свойство:

Сумма или произведение любых трех натуральных чисел остается неизменной, даже если группировка чисел изменилась.

Ассоциативное свойство сложения: a + (b + c) = (a + b) + c ⇒ 2+ (3 + 1) = 2 + 4 = 6, и тот же результат получается в (2 + 3) + 1 = 5 + 1 = 6.

Ассоциативное свойство умножения: a × (b × c) = (a × b) × c ⇒ 2 × (3 × 1) = 2 × 3 = 6 = и тот же результат получается в (a × b) × c = (2 × 3) × 1 = 6 × 1 = 6.

Итак, набор натуральных чисел N ассоциативен при сложении и умножении, но этого не происходит в случае вычитания и деления.

3. Коммутативная собственность:

Сумма или произведение двух натуральных чисел остается неизменной даже после изменения порядка чисел. Коммутативное свойство N утверждает, что: Для всех a, b∈N: a + b = b + a и a × b = b × a.

Коммутативное свойство сложения: a + b = b + a ⇒ 8 + 9 = 17 и b + a = 9 + 8 = 17.
Коммутативное свойство умножения: a × b = b × a ⇒ 8 × 9 = 72 и 9 × 8 = 72.

Итак, набор натуральных чисел N коммутативен при сложении и умножении, но не при вычитании и делении.
Сведем эти три свойства натуральных чисел в таблицу. Итак, набор натуральных чисел N коммутативен относительно сложения и умножения.

Эксплуатация	Закрытие собственности	Ассоциативное свойство	Коммутативная собственность
Дополнение	да	да	да
Вычитание	№	№	№
Умножение	да	да	да
Отдел	№	№	№

4.Распределительная собственность:

Дистрибутивное свойство умножения над сложением: a × (b + c) = a × b + a × c
Дистрибутивное свойство умножения над вычитанием: a × (b − c) = a × b − a × c

Чтобы узнать больше о свойствах натуральных чисел, щелкните здесь.

Важные моменты

0 не натуральное число, это целое число.
Отрицательные числа, дроби и десятичные дроби не являются ни натуральными, ни целыми числами.
N является замкнутым, ассоциативным и коммутативным как при сложении, так и при умножении (но не при вычитании и делении).

Часто задаваемые вопросы о натуральных числах

Число 0 - натуральное число?

Нет, 0 не натуральное число.Натуральные числа начинаются с 1 и могут быть указаны как 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д.

Что такое натуральное число?

Натуральные числа могут быть указаны как 1, 2, 3, 4, 5 и т. Д. Итак, одним примером может быть 5.

23 натуральное число?

Да, 23 - натуральное число, потому что это положительное число, которое используется при подсчете.

Почему натуральные числа называются натуральными?

Натуральные числа называются натуральными, потому что они используются для естественного счета.Набор натуральных чисел - это самая основная система чисел, потому что она интуитивно понятна или естественна, отсюда и название. Мы используем натуральные числа в повседневной жизни, считая дискретные объекты, то есть объекты, которые можно подсчитать.

Какие первые пять натуральных чисел?

Натуральные числа - это числа, которые используются для счета и являются частью действительных чисел. Первые пять натуральных чисел - это 1, 2, 3, 4 и 5.

Как найти сумму n натуральных чисел?

Чтобы найти сумму n натуральных чисел, мы используем формулу: Sum = n (n + 1) / 2, где n представляет количество членов.Например, если мы хотим найти сумму первых шести натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, мы заменим n на 6 (общее количество членов) и решим формулу. Сумма = n (n + 1) / 2. 6 (6 + 1) / 2 = 42/2 = 21. Получаем 21 в качестве ответа.

Почему все натуральные числа целые?

Целое число - это число из набора отрицательных и положительных чисел, включая ноль, а положительные числа относятся к категории натуральных чисел. Таким образом, все натуральные числа целые.

сумма всех четных чисел от 1 до 1000

Мы знаем, что четные числа - это числа, которые полностью делятся на 2.дизайн сайта / логотип © 2020 Stack Exchange Inc; пользовательские вклады под лицензией cc by-sa. Таким образом, точка с запятой отменяет или завершает условие. @ Dinamo788 - точка с запятой после закрытия не нужна. Сумма последовательных положительных целых чисел из n 1… Ваш электронный адрес не будет опубликован. Логика, чтобы найти сумму четных чисел. Сумма N четных чисел. Понятно! Вместо этого я решил, что проще и эффективнее запустить цикл For, начиная с 0 и добавляя по 2 в каждый цикл. Ресурс, состояние которого зависит от входных параметров.x ++ эквивалентно x = x + 1. Почему люди ниже не знают, как выглядят люди вверху? Никогда не бывает трех четных чисел, которые в сумме дают нечетное число, потому что все числа четные, поэтому результат / сумма должны быть четным числом. Проблема Эйлера 25 также имеет дело с числами Фибоначчи и требует найти первое такое число из 1000 цифр. Сумма всех квадратов от 1 до 100 (включительно). Нажимая «Опубликовать ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie.По формуле суммы четных чисел мы знаем; S n = n (n + 1) S n = 50 (50 + 1) = 50 x 51 = 2550. Следовательно, пусть сумма первых n четных чисел равна Sn. Четные числа всегда заканчиваются цифрой 0, 2, 4, 6 или 8. например. Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику использования файлов cookie, Политику конфиденциальности и наши Условия использования. Я застрял в пути в Малайзии из Австралии. Ооооо, спасибо !. Затем эта программа на C вычисляет сумму четных и нечетных чисел от 1 до максимального предельного значения. Задача состоит в том, чтобы написать функцию, которая будет получать сумму всех четных чисел от 1 до 1000.Чтобы вам было легче найти то, что вам нужно, я разбил четные числа от 0 до 1000 на десять (10) групп. О верно. Также найдите здесь сумму нечетных чисел. Объясните, почему каждое из этих утверждений неверно. В настоящее время ваш цикл никогда не обновляет x, поэтому он всегда имеет одно и то же значение. Они упомянули, что я мог бы использовать оператор модуля, но я думаю, что этот оператор немного надуманный. Как цифровая идентификация защищает ваше программное обеспечение, Подкаст 297: All Time Highs: разговор о криптовалюте с Ли Оуян. Теперь нам нужно найти сумму этих чисел.Установка точки с запятой после условия if означает, что вы не хотите ничего делать, если это условие выполнено. Проект Эйлера 2 Определение Каждый новый член в последовательности Фибоначчи генерируется путем добавления двух предыдущих членов. Могу сказать мне, верен ли мой способ решения проблемы или нет, и если да, то что не так с кодом. Серьезный вопрос: в чем разница между «ожиданием» и «дисперсией» для статистики и учебников по вероятности? C Программа для поиска суммы четных и нечетных чисел от 1 до n.Эта программа позволяет пользователю ввести максимальное предельное значение. Нечетные числа НЕ МОГУТ делиться поровну на группы по два человека. Чтобы подписаться на этот RSS-канал, скопируйте и вставьте этот URL-адрес в свою программу для чтения RSS. Другими словами, если число полностью делится на 2, то это четное число. Оператор 3 в цикле for выполняется так, как есть, поэтому ваш код просто выполняет x + 2, что является просто некоторым числом. Я приложил свою попытку решения: к сожалению, это только замораживает мой браузер до тех пор, пока я не остановлю скрипт (я предполагаю, что это бесконечный цикл).Кроме того, x! = 1000 дает мне немного неправильный ответ. Так что мне нужно подождать, пока я не включу условие оператора if и не завершу весь набор точкой с запятой? Он сказал: сумма всех четных чисел от 1 до 100 в два раза больше суммы всех нечетных чисел от 1 до 100. Вопрос 3: Найдите сумму четных чисел от 1 до 200? Я включил предлагаемое решение ниже. Учитывая начальную и конечную точки, напишите программу Python для печати всех четных чисел в этом заданном диапазоне. Чтобы найти сумму четных чисел, нам нужно перебрать четные числа от 1 до n.Stack Overflow for Teams - это личное, безопасное место для вас и Число пять можно разделить на две группы по двое и одну группу по одному. function get_the_sum () {// Сумма четных чисел

Чимичурри Ранч Чопт, Изучение английского языка на основе запросов, Паладин Асмодеус Следопыт, Уровень должности 3a в Infosys, Как выращивать зеленый лук в Южной Африке,

Сумма n последовательных чисел, таких как натуральные, четные, нечетные, квадраты, кубики

Сумма кубов первых или последовательных n четных натуральных чисел = 2n ² (n + 1) ²

Сумма куба первых или последовательных "n" нечетных натуральных чисел = n ² (2n ² - 1)

Примеры суммы чисел

Пр.1. Найдите сумму первых 50 натуральных чисел.

Sol: 1 + 2 + 3+ 4+ 5+ ———- + 50 Итак, здесь n = 50

= 50 (50 + 1) / 2 = 25 х 51 = 1275

Пр. 2: Найдите сумму последовательных чисел 25 + 26 + 27 + 28 + —– + 100.

Сол: 25 + 26 + 27 + 28 + —– + 50 = (1 + 2 + 3 + 4 + ——— + 100) - (1 + 2 + 3 + 4 + ——- 24)

= [100 (100 + 1) / 2] - [24 (24 + 1) / 2]

= 5050 - 300 = 4750.

Пр. 3: Найдите сумму квадратов первых 60 натуральных чисел.

Sol: 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² + ———- + 60 2 Здесь n = 60

= {60 x (60 + 1) x [(2 x 60) +1]} / 6

= 60 х 61 х 121/6

= 73810

Пр. 4: какова сумма первых 100 нечетных чисел?

Sol: первые 100 нечетных чисел означают 1 + 3 + 5 +7 + ———- + 199, поэтому здесь n = 100

= 100 ² = 10000

Пр.5. Найдите сумму последовательных нечетных чисел 51 +53 +55 + ——— + 199.

Солнце: 51 +53 +55 + ——— + 199 = {1 + 2+ 3 ——— + 199} - {1 +2 + 3 + ——— + 49}

= 100 ² -25 ²

= 10000-625 = 9375.

Пр. 6. Найдите сумму кубиков первых 25 натуральных чисел.

Sol: 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ + ———- + 25 3 Здесь n = 25

= 25 ² x (25 +1) ² /4

= 625 х 676/4 = 105625

Пр.6: Найдите сумму кубиков первых 25 нечетных чисел.

Sol: Первые 25 нечетных чисел куба означают 1 ³ + 3 ³ + 5 ³ + ———- + 49 ³ Итак, n = 25

= 25 ² [(2 x 25 ² ) - 1]

= 625 x [1250 - 1]

= 625 х 1249 = 780625

Пр. 7: Найдите сумму последовательных чисел куба 26 ³ +28 ³ + 30 ³ + 32 ³ —– + 100 ³ .

Sol: 26 ³ +28 ³ + 30 ³ + 32 ³ —– + 100 ³ = {2 ³ 912 ³ + 6 ³ + 8 ³ —– + 100 ³} - {2 ³ +4 ³ + 6 ³ + 8 ³ —– +24 ³}

= (2 x 50 ² ) (50 + 1) ² - (2 x 12 ² ) (12 + 1) ²

= [5000 x 2601] - [288 x 169]

= 13005000 - 48672 = 12956328.

Сумма всех натуральных четных чисел до 100: Найти сумму всех чётных чисел до 100. Найти сумму всех нечетных чисел до 100.

Арифметическая прогрессия. Сумма арифметической погрессии

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Примеры

Всякое нечетное число равно сумме четного числа и единицы

О бесконечных множествах

Вадим Дунаев

Раздел из книги «Занимательная математика. Множества и отношения»

Сравнение бесконечных множеств

Множество всех подмножеств данного множества

Прямая и плоскость

Парадоксы бесконечности

Рука дающего не оскудеет

Натуральные числа /qualihelpy

Python 3. Организация циклов | Информационные технологии

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по математике — 2815

Задача по математике — 2819

Задача по математике — 2820

Задача по математике — 2821

Задача по математике — 2826

Задача по математике — 2827

Операторы While, Repeat

Суммирование последовательных чисел

Программа на Python для вычисления суммы нечетных и четных чисел

Программа на Python для вычисления суммы нечетных и четных чисел

Вычислить сумму нечетных и четных чисел с помощью цикла for

Вычислить сумму нечетных и четных чисел с помощью цикла while

M3000 Домашнее задание № 5

Домашнее задание по математике 3000 Answers # 6

Список четных чисел - ChiliMath

Четные числа от 0 до 100

Четные числа от 101 до 200

Четные числа от 201 до 300

Четные числа от 301 до 400

Четные числа от 401 до 500

Четные числа от 501 до 600

Четные числа от 601 до 700

Четные числа от 701 до 800

Четные числа от 801 до 900

Четные числа от 901 до 1000

Что такое натуральные числа? Определение, примеры и факты

Введение в натуральные числа

Что такое натуральные числа?

Определение натуральных чисел

Примеры натуральных чисел

Набор натуральных чисел

Наименьшее натуральное число

Натуральные числа от 1 до 100

0 - натуральное число?

Натуральные числа нечетные

Четные натуральные числа

Натуральные числа и целые числа

Разница между натуральными и целыми числами

Натуральные числа в числовой строке

1.Закрытие собственности:

2. Ассоциативное свойство:

3. Коммутативная собственность:

4.Распределительная собственность:

Важные моменты

Часто задаваемые вопросы о натуральных числах

Число 0 - натуральное число?

Что такое натуральное число?

23 натуральное число?

Почему натуральные числа называются натуральными?

Какие первые пять натуральных чисел?

Как найти сумму n натуральных чисел?

Почему все натуральные числа целые?

сумма всех четных чисел от 1 до 1000

Сумма n последовательных чисел, таких как натуральные, четные, нечетные, квадраты, кубики

Примеры суммы чисел

You May Also Like

Муха цокотуха аудио слушать: Аудио сказка Муха-Цокотуха. Слушать онлайн или скачать

Заяц срисовать: Как нарисовать зайца поэтапно 10 уроков

Leave a Reply Cancel