Проблемы с математикой: Как решить проблемы с математикой – Урок 7. Устранение проблем с математикой

Как решить проблемы с математикой

Основные идеи

• Трудности в изучении математики знакомы многим детям.
• Их способности ни при чем: освоить эту науку мешают психологические причины.
• Красота и логика — только они помогут понять и полюбить этот предмет.

«Только и учим, что эту математику! — жалуется Ирина, мама 11-летней Алисы. — Дочь вроде бы формулы знает, а все равно спотыкается на каждом шагу. Иногда сложную задачу решит, а простую нет. Контрольные — это ужас для всей семьи. Ребенок весь на нервах, у нас с мужем головная боль. Никогда не знаешь, напишет она на четыре или двойку принесет. Занимаемся все выходные, и никакого прогресса!»

Я очень хорошо понимаю Алису. Помню, какую тоску навевали на меня в школе все эти уравнения, функции и тангенсы. Даже нелюбимые химия и физика были мне ближе: я могла хоть как-то соотнести их с собственным опытом. Но «а плюс b разделить на с» были бесконечно далеки от моей жизни.

Нас с Алисой нельзя назвать исключением. В каждом классе встречаются дети, для которых математика — сплошное мучение. А их родители мучаются вопросами, как к этому относиться и чем они могут помочь.

Нужна ли детям математика?

Проблемы эти есть повсюду. В прошлом году газета The New York Times начала дискуссию на тему, нужна ли детям алгебра, если каждый четвертый ученик в США не заканчивает школу из-за проблем с этим предметом.

А во Франции министр образования и науки Клод Аллегрэ, сам ученый-геофизик, всерьез обсуждал вопрос об отмене преподавания математики в школе, поскольку многие дети не справляются даже с элементарными задачами.

Так нужна ли математика всем детям? «Моей дочке — нет, она гуманитарий, как и я, пойдет на филфак, — уверена 36-летняя Марина. — Нам главное, чтобы по литературе, русскому, истории были пятерки, а по математике — лишь бы не двойка».

«Это мучительный вопрос: насколько глубоко нужно знать математику тем, кому она вроде бы не нужна? — размышляет писатель и математик Леонид Костюков. — Но кто такие гуманитарии? На одну десятую — люди искусства, и на девять десятых — люди культуры.

Людям искусства (художнику, поэту, актеру) математика, наверное, для творчества не обязательна. Но людям культуры — историку, филологу, редактору, издателю, журналисту — никак не обойтись без системного мышления. А именно математика воспитывает, дисциплинирует ум».

Курс математики устроен невероятно изящно, красиво, логично. Учить надо очень мало, гораздо больше нужно понимать

Я впервые задумалась, не напрасно ли пренебрегала математикой, когда стала писать диссертацию. Тема была сугубо филологической — но каких же мучений мне стоило упорядочить весь огромный фактический материал и убедительно обосновать свою концепцию! Логическое мышление — вот с чем была проблема. Но раз я все же справилась с диссертацией, то, может, я не так безнадежна по части логики, как когда-то казалось мне и моим родителям?

Самый сложный предмет?

Если у ребенка возникают трудности с математикой, у нас всегда есть наготове ответ: значит, нет математических способностей. И на этом мы как бы закрываем тему: на нет и суда нет. Другими словами, мы легко соглашаемся: математика так трудна, что справиться с ней могут не все. И мы утешаемся тем, что по другим дисциплинам наш ребенок вполне (или прекрасно) успевает.

Леонид Костюков, опытный репетитор, уверен, что преподает один из самых легких предметов: «Курс математики устроен невероятно изящно, красиво, логично. Учить надо очень мало, гораздо больше нужно понимать. Если я не помню формулу, но помню, откуда она следует, — я могу ее быстро вывести. Ни в каких других школьных науках такой возможности нет».

По его мнению, если ребенок успевает по другим предметам, нет никаких причин, чтобы он не справился с математикой. «Если у него, например, хорошо идет английский, значит, с логикой у него все в порядке, потому что английский язык устроен очень логично. Более того, объективно он сложней, чем язык школьной математики. Значит, этот ребенок должен успевать и в математике». Так почему же на практике это не так?

Когда проблемы нарастают как снежный ком

«Математика дает наиболее чистое и непосредственное переживание истины», — полагал немецкий физик, лауреат Нобелевской премии Макс Лауэ в книге «Страницы жизни Ландау». И в каждом классе найдутся дети, которым знакомо это переживание, которые испытывают наслаждение, например, от красивого решения задачи. Что отличает школьников, хорошо успевающих по математике?

«Как правило, это дети активные, любопытные, готовые рисковать, их не пугают проблемные ситуации, они любят делать открытия, — рассказывает детский психолог Елена Морозова. — А дети, которые боятся математики, зачастую не рассчитывают на себя, они слишком зависят от мнения родителей (учителей, одноклассников), не уверены в себе, легко верят в то, что они несообразительны.

Любая задача приводит такого ребенка в ступор: ему страшно само ожидание, что вот сейчас будет трудно и он окажется несостоятелен. Страх может стать причиной неудач и с другими предметами».

Он нарастает постепенно, как снежный ком. Например, напоминает детский психолог, в первых классах не все дети еще хорошо читают «и условие задачи могут просто не понять. Кроме того, у них еще не развито абстрактное мышление, им трудно представить себе картинку: вот поезд выходит из пункта А, а вот другой — из пункта Б, вот здесь они встречаются. И ребенок заведомо отказывается вникать в задачу: не буду даже и пытаться что-то с этим сделать».

То, что упущено в начальных классах, скажется потом, как ни в одном другом предмете. Именно потому, что в математике все логически связано.

Проблемы с математикой связаны не с интеллектуальными способностями, а с чем-то внутри ребенка, что мешает ему понимать учителя

«Если по литературе я пропустил Грибоедова, это не помешает мне изучать Тургенева, — замечает Леонид Костюков. — Но если что-то упустил по алгебре, то у меня начнутся системные проблемы. Другие предметы представляют собой определенный набор тем. Математика же, по большому счету, — это развитие одной темы. А ведь иной раз оказывается, что не все старшие школьники твердо знают даже таблицу умножения».

Причина не в математике

«У нее плохие отношения с учителем», «над ним смеются одноклассники», «она переживает, что отец ушел из семьи» — причин для неуспеваемости по любому предмету может быть много. Но существуют ли причины, которые вызывают трудности именно с математикой?

Педагог-психолог Анн Сьети уверена: математические понятия способны пробудить самые глубокие переживания. «Условие», «требуется», «доказать», «необходимо, но недостаточно» — все эти слова могут бессознательно ассоциироваться с внутренними проблемами.

«Чего стоит только пресловутый «икс» — неизвестный, за которым таится неведомо что, — говорит она. — Или другой пример: одна из моих учениц не ставила скобки в уравнениях, забывая отделить одни числа от других. А потом выяснилось, что дома ей трудно оставаться одной в своей комнате — то есть воспринимать себя отдельно от других членов семьи. Проблемы ребенка с математикой связаны не с его интеллектуальными способностями, а с чем-то внутри него, что мешает ему ясно мыслить и понимать учителя».

Вот откуда столько тревожных эмоций, которые блокируют разум.

Не выучить, а понять

Признаем: очень часто школьные неудачи выводят родителей из себя. Мы злимся, возмущаемся и критикуем ребенка, который «не старается», «не хочет понять» и вообще «плохо соображает». А эксперты единодушны: главная задача родителей прямо противоположная — уменьшить его напряжение и переживания. «Ребенка вообще не надо фиксировать на неудачах, — подчеркивает Елена Морозова. — Лучше сказать: да, это пока не получается, давай подумаем, как тебе помочь».

Нужно не вдалбливать, а последовательно подводить ребенка к самостоятельному решению

Однако это не значит «помочь выучить», как думают иногда родители. «Математику нужно понимать, почувствовать ее цельность, единство. Если просто зубрить, это будет лишь крайне утомительной и, главное, бессмысленной тренировкой для памяти», — предупреждает Леонид Костюков.

«Нужно не вдалбливать, а последовательно подводить ребенка к самостоятельному решению, — продолжает Елена Морозова. — И когда происходит этот инсайт, ребенок изумляется: «Надо же, я смог!» Получилось раз, другой, третий — и постепенно он начинает увлекаться, чувствовать свою состоятельность. Конечно, лучше всего здесь поможет специалист — учитель, которого можно попросить о дополнительных занятиях, или опытный репетитор. Но и сами родители могут попробовать совершить эти открытия вместе с ребенком».

Не обязательно после этого ученик станет блистать на уроках и приносить пятерки. Хотя оценки и становятся лучше, если на них не зацикливаться, отмечает Анн Сьети: «В конце концов, у каждого свои цели. Для одного важно не оказаться худшим в классе. А другой мечтает стать ветеринаром. Главное, чтобы дети начали чувствовать себя лучше, избавившись от тревоги и страха, и стали получать удовольствие от занятий математикой».

«Нужно преподавать математику как особую теорию красоты» 

Александр Лобок, психолог, автор книги «Другая математика»

Psychologies: Почему у многих детей математика вызывает скуку, страх, отвращение?

Александр Лобок: Это означает только одно: она принципиально неправильно для этого ребенка преподается в школе. Множество детей переживают унижение математикой. Долгие школьные годы они испытывают чувство своей непроходимой математической тупости, а учитель поддерживает это чувство либо в щадящей форме («Что поделаешь, у него гуманитарные мозги!»), либо в циничной и злобной («Ну ты тупой!»).

Многие учителя убеждены, что математические способности — «от Бога» и что причина «невменяемости» миллионов детей, не понимающих математику, в их природной ограниченности. Тогда как задача школы — помочь каждому ребенку почувствовать математический азарт и желание заниматься. Если этот интерес и любовь возникнут, ребенок будет гораздо более успешен — в том числе и в традиционном математическом обучении.

Чаще всего проблемы возникают у детей гуманитарного склада. Как в них пробудить этот азарт?

Для детей-гуманитариев важно почувствовать смысл. А традиционная школьная программа довольно часто предлагает математику как набор абстрактной «цифири», даже не пытаясь объяснить ученикам, что математика — это прежде всего философия, позволяющая совершенно по-новому взглянуть на окружающий мир. Если же детям открыть дверцу в смыслы того, чем занимается математика, — у них появляется азарт и интерес.

Например, когда объясняешь и показываешь, что математика — это такое особое волшебство, которое позволяет обсчитать весь мир. И значит, найти что-то фундаментально общее во всем мире. Например, все можно взвесить, измерить — на этом основании сравнить мальчика Петю, его любимую кошку и папин автомобиль. И вообще, оказывается, сравнить можно все во Вселенной!

А еще дети не подозревают, что математика наполнена внутренней красотой, — им тоже об этом никто не рассказывает. А ведь любая последовательность орнаментов или игра архитектурных форм — это математика. И если детям преподавать математику как особую теорию красоты, это очень может их зацепить.

Значит ли это, что освоить школьный курс математики по силам каждому ребенку?

В том виде, в каком он сегодня существует, — разумеется, нет. Да это и не нужно. А вот постигнуть эстетические и философские основания математики — это по силам и нужно всем. Благодаря этому интерес к математике — причем к самой традиционной — возникает у каждого ребенка. В том числе у тех, кто всю жизнь этот предмет ненавидел и считал себя неспособным.

Но что же делать родителям, чьи дети учатся в традиционной школе и не справляются с математикой?

Это всегда глубоко индивидуальная проблема. Но общая рекомендация может быть такой: надо найти такого педагога, который по-настоящему увлечен и математикой, и детьми.

Читайте также

Урок 7. Устранение проблем с математикой

В этом уроке мы постараемся рассмотреть не столько проблемы с технической стороной усвоения математических знаний, сколько проблемы более глобального, можно сказать, психологического характера. И причин тому несколько:

• Во-первых, представленный раздел нашего курса посвящен обучению счету детей преимущественно дошкольного и младшего школьного возраста.
• Во-вторых, о многих технических проблемах уже шла речь в первых уроках данного раздела, и мы дали предостаточно информации на тему того, как избежать самых распространенных ошибок, из-за которых и возникают технические проблемы.
• В-третьих, психологический аспект важен потому, что уже в младшем возрасте можно проследить, возникают ли у ребенка трудности с усвоением материала, испытывает ли он тягу к математическим знаниям, к чему больше тяготеет – к гуманитарным или точным наукам.

Беря это во внимание, мы решили, что поговорить о трудностях с математикой с точки зрения педагогики и психологии будет вполне уместно. Несмотря на то, что практической информации, как таковой, в уроке минимум, в общем и целом эти знания непременно пригодятся вам на практике. Причем полезны они будут не только во время ваших занятий с ребенком, но и в перспективе – когда он пойдет в школу, начнет делать уроки, быть может, выбирать программу с углубленным изучением каких-то предметов.

Итак, давайте приступим.

Содержание:

1

Трудности с математикой

Изучая математику, с проблемами сталкивается огромное количество детей. Если числа, таблица умножения и простейшие вычисления даются всем, то формулы, доказательства теорем и тригонометрические функции может осилить не каждый. Однако от уроков и школьной программы деваться некуда, а это значит, что познавать азы необходимо. Чего же может не хватать детям, чтобы подружиться с царицей наук?

Множеству родителей знакомы проблемы их детей с алгеброй и геометрией. Уроки делаются всем семейством, а сам процесс нередко сопровождается истериками, нервами, стрессами и усталостью, отчего математика становится настоящим бичом, а уроки – серьезным испытанием на прочность. В итоге мамы и папы ломают голову над тем, какую помощь оказать ребенку: и чтобы предмет давался легче, и чтобы каждая неудовлетворительная оценка в тетрадке не становилась причиной для плохого настроения или – что часто случается – слез.

Математику можно смело назвать одним из самых спорных предметов в школьной программе, и среди выпускников всегда можно найти тех, у кого одни пятерки по всем дисциплинами, но только не по математике. Родители же в свою очередь относятся к такого рода проблемам по-разному. Одни уверены в том, что математика очень важна, а потому чуть ли не силой заставляют свое чадо грызть гранит науки, даже если он действительно не по зубам. Другие, видя в ребенке проявления гуманитарного склада ума, считают, что главное – это успехи в литературе, русском и иностранных языках, истории и т.д., а с математикой – да бог с ней, с этой математикой.

Но следует ли сводить на нет важность этого предмета, даже если в малыше уже с ранних лет наружу пытается выбраться творческая натура? К категории творческих людей можно отнести писателей, поэтов, художников, а также историков, журналистов и редакторов. Но если, например, художнику или писателю математика на самом деле нужна постольку-поскольку, то в таких профессиях, как журналист, историк или редактор она все-таки пригождается. Математика – это основа системного мышления, и во многих областях жизнедеятельности человека без нее не обойтись.

Когда у детей возникают трудности с математикой, родители часто говорят: «Ну не понимает он (или она) этого предмета, нет у него предрасположенности к нему». В итоге не остается ничего, кроме того чтобы без ропота принять сложность математики. «Зато остальные предметы даются ребенку прекрасно!». Однако, по мнению опытных педагогов и профессиональных репетиторов по математике (например, Леонида Костюкова) этот предмет может быть значительно проще остальных. Фишка в том, что математика – наука последовательная, и нет никакой необходимости заучивать бесчисленное количество дат, терминов и понятий. Все, что требуется от ученика – это понять математику.

Кроме того, если ребенок хорошо осваивает языки, каких бы то ни было проблем с освоением математики у него просто быть не должно. Большая часть иностранных языков построена на вполне логичной и понятной структуре, а школьная программа по изучению английского языка гораздо сложнее программы по изучению математики. Картинка, согласитесь, рисуется довольно приятная, но почему на деле все не так?

2

Психология «отношений» ребенка и математики

Профессиональные психологи (к примеру, детский психолог Елена Морозова) указывают на то, что между детьми, хорошо соображающими в технических дисциплинах, и остальными детьми есть некоторые психологические отличия. По большому счету, дети, любящие математику, характеризуются любопытством, готовностью пойти на риск, настойчивостью, отсутствием страха перед трудностями. А те, у кого с математикой «ни то, ни се», часто отличаются неуверенностью в себе, зависимостью от мнения родителей и других окружающих людей, боязнью трудностей, а также убежденностью в том, что они не так сообразительны, как остальные. Потому-то и решение трудных математических задач вызывает серьезные затруднения.

Вышеназванные различия формируются еще в детском садике и начальных классах школы. Одни дети умеют хорошо читать, а другие что-то невнятно мямлят. Одни знают таблицу умножения, а другие с трудом складывают «17» и «15». Одни при счете перебирают пальчики, а другие с успехом демонстрируют абстрактно-образное мышление. Одним не стоит никакого труда представить, как первый поезд выходит из пункта A, а второй – из пункта B, и встречаются они в точке C, а для других это – фантастика.

Все это во множестве случаев является следствием отсутствия фундамента математической дисциплины, по причине чего ребенку гораздо легче вообще запустить математику, нежели постараться в ней разобраться.

Любая запущенная математическая трудность лишь усугубляет проблемы в будущем. А в литературе, например, подобные проблемы отсутствуют, т.к. если ученик не читал «Отцы и дети» И. С. Тургенева, это совсем не мешает ему прочитать «Войну и мир» Л. Н. Толстого. С математикой же такое не прокатит, ведь из-за какой-то теоремы, непонятой в пятом классе, начнутся проблемы в последующих классах.

Но, по мнению все тех же психологов, отсутствие успеха в изучении математики может быть связано не только со способностями, но и с эмоциональными особенностями детей. Во-первых, и сами родители не всегда проявляют чудеса педагогики и воспитания, занимаясь ранним развитием своих подопечных, а во-вторых, не каждый учитель – Учитель с большой буквы. Особенности воспитания и стиль преподавания играют огромную роль и накладывают свой отпечаток. В частности, если ребенку часто дают понять, что он чего-то не соображает, отстает, не способен понять «прописных истин», на положительные результаты обучения рассчитывать не стоит.

3

Есть ли у родителей выход?

Нет совершенно никаких сомнений в том, что детские трудности с математикой, особенно когда они наблюдаются в старшем дошкольном и младшем школьном возрасте, воспринимаются родителями отнюдь не радостно. Но критика и злость по отношению к ребенку нисколько не облегчают ситуацию. И, опять же, психологи в этом вопросе сходятся – родители ни в коем случае не должны нагнетать обстановку, а, наоборот, должны стараться снимать напряжение, вызванное математикой. Нельзя фокусировать внимание ребенка на неудачах и отсутствии успеха. Если что-то не получается, это вполне можно исправить.

Не заставляйте ребенка зазубривать через силу основы предмета. С математикой ваша маленькая драгоценность сможет справиться только в том случае, если вы сможете донести целостность этой дисциплины. Старайтесь подводить свое чадо к самостоятельным решениям, как можно доступнее объясняя моменты, мешающие ему понять и увидеть – как решается пример, задача или уравнение. Если же желание научить ребенка основам математики есть, а возможности заниматься с ним самим по каким-то причинам нет, есть смысл прибегнуть к услугам репетитора. Но он должен не только разбираться в своем предмете, но и иметь опыт работы с детьми.

Но давайте резюмируем все вышесказанное, чтобы разложить все по полочкам.

4

Почему возникают проблемы с математикой

Не забывайте, что в этом уроке мы обсуждаем проблемы с математикой с психологической точки зрения. Исходя из этого, основными причинами таких проблем являются:

• Сложность восприятия, когда, например, у ребенка есть предрасположенность к гуманитарным дисциплинам, а математика преподносится родителем или учителем абстрактно. Большое упущение – если познавательная активность не стимулируется, а о значении и значимости математики в контексте жизненной полезности ничего не говорится.
• Неуверенность ребенка в своих силах, зависимость от мнения окружающих. Освоение математики и решение задач в этом случае служит дополнительным источником стресса. Вопрос ребенка самому себе о том, сможет ли он решить задачу, становится навязчивой боязнью неудачи.
• Психологические барьеры, вызываемые такими терминами, как «доказать», «неизвестное», «требуется» и т.п. С учетом особенностей воспитания каждое из этих понятий способно активизировать негативные внутренние переживания, в том числе и неосознаваемые.

Имейте в виду, что эти причины относятся к основным. Разбирая математические трудности ребенка, нужно брать в расчет наличие индивидуальных психологических проблем, зачастую совершенно не связанных с интеллектуальным потенциалом.

5

Что делать родителям

Подходя к вопросу решения проблем с математикой профессионально, следует прибегать к следующим методам:

• Экспериментируйте – пытайтесь доносить до ребенка информацию, освещая философскую, эстетическую и практическую стороны дисциплины.
• Снижайте напряжение ребенка и старайтесь делать так, чтобы он как можно меньше переживал по поводу трудностей с освоением математики (и чтобы меньше переживал вообще).
• Не концентрируйтесь на проблемах ребенка и его ошибках, и не фокусируйте на них его внимание. Указывайте на то, что если что-то не получается, то это всего-навсего временно, и скоро все будет замечательно.
• Оказывайте ребенку всяческую помощь в понимании математики, а не просто давайте ему задание заучивать или запоминать. Если что-то вам не под силу, используйте помощь репетитора.
• Давайте ребенку только такие подсказки, которые будут наталкивать его на поиск самостоятельного решения, и никогда не решайте за своего ребенка.
• Используйте в качестве мотиваторов поощрение и похвалу. Это будет способствовать развитию в ребенке уверенности в себе и снижению тревожности.
• Оценки не являются самоцелью. Намного важнее, чтобы ребенок получал от изучения математики удовольствие.

Проблемы у детей с математикой – это не нечто из ряда вон выходящее; они есть всегда и везде. Например, несколько лет назад, американское издание New York Times (выпуск от 28 июля 2014 года) поднимало вопрос о том, нужна ли вообще ученикам алгебра, если каждый четвертый американский школьник не может получить аттестат из-за «неприятностей» с математикой. А министр образования и науки Франции Клод Аллегрэ, будучи сам ученым-физиком, дискутировал на тему исключения математики из школьной программы, ссылаясь на то, что множество детей не способны решить даже элементарные задачи. Однако дисциплина все так же остается одной из главных в школе, а для многих – и в жизни.

Но помните, что умение считать, знание таблицы умножения, хорошие оценки и т.д. – все это прекрасно, но у ребенка могут быть свои потребности и цели. Если один хочет стать новым Пифагором, то для другого важно, чтобы его любили, ценили и принимали таким, какой он есть, а также чтобы математика не вызывала у него страхов и тревог, даже если он чего-то недопонимает. Так что успех вашего чада – в ваших руках. Используйте это ему во благо.

Предпоследний урок блока по обучению детей счету посвящен теме привития ребенку любви к математике. Из него вы узнаете, что делают многие родители, чтобы отбить у малыша всякую охоту осваивать математические основы, и что следует предпринимать, чтобы этого избежать, и чтобы интерес к этой науке возрастал с каждым днем.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

Кирилл Ногалес

Что делать, если у ребенка проблемы с математикой

Сталкивались ли вы с тем, что ребенок не может решить задачу или правильно сосчитать пример?

Если да и такая проблема возникала однократно или вы с ней сталкиваетесь редко, то возможно ребенок просто отвлекся или переутомился.

В таком случае обычно не нужно предпринимать никаких дополнительных мер, а просто простить ребенку его вычислительную ошибку.

Однако если ребенку трудно дается математика и он постоянно допускает ошибки в счете, то бездействие может быть чревато усилением проблемы.

В этой статье мы поговорим о том, какие проблемы с изучением математики могут возникать у детей и как их решать.

Трудности в дошкольном возрасте (6-7 лет), на которые нужно обратить внимание

• Если ребенку трудно считать до 100
• Имеет трудности в определении числа, которое следует за названным и перед названным числом
• Имеет проблемы с пониманием того, что число может быть использовано для описания количества входящих в него объектов, например, не знает, что 5 может быть использовано для группы из 5 пальцев, 5 бананов и 5 кошек
• Имеет трудности с распознаванием и записи чисел до 20
• Пропускает числа при подсчете, не может считать десятками
• Не может распознавать образы и не может сортировать предметы по размеру, форме или цвету

Проблемы в начальной школе

• Трудности в подсчете с заданным шагом (+2,+3,+10) Например: 2, 4, 6, 8…
• Невозможность мысленно рассчитать сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через 10 (13-8, 9+6)
• Сложность распознавания основных математических знаков, таких как плюс или минус
• Сложность распознавания дестяков и единиц числа
• Не понимает понятие «больше чем» или «меньше»
• С трудом запоминает основные математические факты, такие как 5 + 5 = 10, 14 это 7 и 7 (состав числа)
• Не делает связь между связанными фактами математики (5 + 5 = 10, значит 10 — 5 = 5)
• Имеет проблемы с распознаванием графического образа цифры
• Использует пальцы, чтобы подсчитать, вместо того, чтобы посчитать в уме
• Испытывает затруднения записывать цифры аккуратно в колонках при решении математических задач
• Не может назвать, что в правой части примера
• Избегает игры, которые включают стратегию, как шашки или судоку
• Имеет трудности с использованием математики в реальной жизни, в том числе в таких вещах, как определение сдачи в магазине или подсчет, что можно купить на определенную сумму денег
• Имеет проблемы с пониманием диаграмм

Если вы увидели некоторые из этих признаков у вашего ребенка в течение шести месяцев, это обозначает, что нужно не закрывать глаза на трудности ребенка, а предпринять шаги для того, чтобы помочь ребенку сформировать вычислительные навыки.

Вы можете точно не знать, что вызывает проблемы с математикой у ребенка, но есть шаги, которые вы можете предпринять уже сейчас, чтобы сделать процесс обучения легче.

Что может вызвать проблемы с математикой?

Для того, чтобы производить вычисления человек должен обладать рядом навыков: абстрактное мышление, хорошая память, уметь оценивать количество объектов, а также иметь способность к критическому мышлению.

Существует специальный термин, который используют при диагностировании расстройства счета.

Дискалькулия (от греч. dys + лат. calculo – считать, вычислять) – любое расстройство счета. Иногда имеется в виду только нарушение развития способности считать. Часто является самостоятельным недугом, а не побочным следствием других нейрологических и психологических проблем. В основе дискалькулии лежит неспособность оценивать количество объектов с первого взгляда (то есть без пересчёта). За эту функцию в мозге отвечает внутритеменная борозда теменной доли.

Исследования показывают, дискалькулией страдают от 7 до 14 процентов людей.

Это проявляется следующим образом:

• Неспособность к быстрому распознаванию количества предметов в поле зрения.
• Присутствие высоких сложностей при вычислении с помощью цифр. Например, человек, страдающий дискалькулией, не сможет понять, почему 59 + 13 = 72.
• Наличие сложностей с абстрактным счётом времени.

Дискалькулия не является признаком низкого интеллекта.

Люди, имеющие дискалькулию, часто становятся поэтами, художниками, скульпторами, и, следовательно, не имеют проблем в изучении языков или других сферах.

Однако, дети с дискалькулией имеют психологические трудности с математикой и в целом с обучением в школе. Они настолько обеспокоены тем, что им снова предстоит считать и делать по истине трудное для них дело, что это снижает их производительность на уроках и математических тестах, снижает самооценку.

Как вы можете помочь ребенку с математикой?

Если ваш ребенок испытывает проблемы с математикой, то вы многое можете сделать. Зная, что проблема существует, вы и учитель можете найти наиболее эффективные способы формирования математических навыков без снижения самооценки ребенка.

Вот некоторые шаги , которые вы можете предпринять:

Поговорите с учителем вашего ребенка.

Это отличный первый шаг к выяснить , почему ваш ребенок испытывает проблемы с математикой. Вы можете обратиться к учителю , чтобы получить список навыков , которым ребенок должен научиться к концу учебного года.

Это может дать вам ощущение того , что нужно не так многому научиться, как вы можете думать изначально.

Учитель может попробовать различные стратегии , чтобы помочь ребенку сформировать математические навыки и понять концепции математических действий.

Используйте визуализацию для математических действий.

Превратите абстрактную математику на бумаге в увлекательное манипулирование объектами. Например, для того, чтобы научить ребенка знакам «больше-меньше» используйте сказку о вороне.

Играйте в математику.

Ребенок не должен бояться вычислений. Попросите ребенка помочь вам сортировать белье и пары вверх носки. Или же отмерить ингридиенты для приготовления пищи или оценить стоимость покупок в магазине .

Объясняйте ребенку ПОЧЕМУ используется тот или иной математический знак и термин.

Пусть даже ваше объяснение не всегда будет научным.

Например, для того, чтобы объяснить ребенку уравнения, возьмите обычную кружку, напишите на дне кружки «х» и переверните ее вверх дном. Закройте одно из чисел и спросите ребенка, что под кружкой?

Скажите, что кружка спрятала (или съела) одно число. Какое?

Повышайте самооценку ребенка.

Трудности с математикой могут повлиять на вашего ребенка, на общую самооценку и общение со сверстниками.

Помогите своему ребенку признать его сильные стороны и опираться на них. Напомните, что вы им очень гордитесь и любите.

Рисуйте математику.

Используйте карандаш и ручку для того, чтобы оживить задачи и нарисовать небольшой мультик по сюжету задачи.

Покажите ребенку, как умножают в Азии, для того, чтобы он мог с легкостью справиться с умножением.

 

Общайтесь с другими родителями.

Это поможет вам понять , что вы не единственная семья, которая столкнулась с данными трудностями.

Наша группа и этот блог может помочь вам найти родителей, чьи дети так же испытывают трудности с математикой.

Это отличный способ пообщаться, найти единомышленников, обменяться идеями и стратегиями.

Попробуйте разные стратегии.

Есть упражнения и игры, которыми в домашних условиях вы можете помочь ребенку полюбить математику и помочь ребенку сформировать математические навыки.

Поиск и опробирование разных стратегий является лучшим способом, чтобы получить поддержать ребенка в обучении.

Чем больше вы знаете, тем лучше вы будете помогать ребенку формировать свои математические навыки и укрепите доверие ребенка к вам.

Учитесь техникам эффективного обучения

Для этого мы создали новый утренний тренинг «Научите ребенка быстро считать в уме»

Который состоится во вторник, 14 марта, в 6.00 по мск

На нем мы разберем

• Разберете что нужно делать, чтобы ребенок умел считать в уме
• Изучите технику «Яйца» для обучения счету с переходом через десяток
• Изучите технику «Рожки» для быстрого счета в пределах 100
• Узнаете как объяснить и быстро выучить состав числа (9 это 8 и 1, 7 и 2, 6 и 3 и т.д.)
• Узнаете что делать, если ребенок постоянно ошибается в счете?
• Узнаете как научить не путать «увеличь на/увеличь в, уменьши на/уменьши в»
• Получите игры и упражнения, которые помогут ребенку сформировать навыки счета
• Узнаете игру «Кузнечик» для развития мозга
• Получите графические помогаторы для помощи ребенку по математике
• Узнаете приемы письменных вычислений
• Разберете сложение и вычитание больших чисел

Регистрируйтесь на бесплатный тренинг и за 1 утро решите вопрос с счетом раз и навсегда

Зарегистрироваться на тренинг бесплатно>>

Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять

Похожее

Почему школьники не понимают математику? Топ-5 причин

К репетиторам TutorOnline очень часто обращаются родители с просьбой помочь ребёнку с математикой, т.к. «он совсем её не понимает». Тысячи школьники по всей России, и не только, сталкиваются с одной и той же проблемой. Но почему? Основываясь на 6-летнем опыте работы, мы выделили ТОП-5 причин. 

5) «Гуманитарий». Наименее популярной, но всё же часто встречающейся, причиной проблем с математикой является ярлык, который был безосновательно повешен на ребёнка учителем или родителями. Обычно это происходит после первых же ситуаций, когда ребёнок получает 5 по русскому и 2-3 по математике. «Наверное, ты гуманитарий, тебе видишь как сложно даётся математика, а язык — легко». И даже если это просто совпадение, у ребёнка начинает работать психологическая установка, что математика для него сложно, а гуманитарные предметы — легко. Поэтому совет всем учителям и родителям: не убивайте в ребёнке математика словом. Поддерживайте, придайте уверенности в силах, но не вешайте ярлык. 
4) «А зачем мне математика?» Есть тип учеников, которые сознательно «отключаются» на уроках по математике, не слушают учителя, потому что искренне не видят в этом никакой пользы для себя. Правда, к экзаменам приходится наверствывать такие объёмы информации, что школьники буквально ненавидят потом математику всю жизнь.  Чтобы этого не происходило, постарайтесь привести ребёнку действительно актуальные примеры, где  математика нужна. Это может быть что угодно: от расчета угла, под которым следуют бить по мячу в футболе, до возможности рассчитать свой бюджет так, чтобы скопить на ноутбук мечты. В конце концов, незнание математики может сказаться на результатах ЕГЭ так, что не удастся поступить на профессию мечты.
3) «Не хватило времени на математику». В таких случаях проблемы с математикой начинаются у перегруженных учеников: кружок по рисованию, шахматы, футбольный клуб, олимпиада по английскому, поездка на соревнования. Успеть бы поспать, тут не до математики. Но, как мы понимаем, эту проблему легко решить, нормализовав график ребёнка и взяв пару занятий с репетитором по проблемным темам.  

2) «Пропустил». Это самый классический пример, когда появляются пробелы. Пропуская занятия по болезни, ученик рискует заработать несколько серьёзных пробелов. И здесь важно вовремя их устранить. Как показывает практика, если скопить 5-6 таких пропущенных блоков, потом тратится очень много времени и сил, чтобы по кирпичикам восстановить знания. Лучше решать проблему сразу. Если дела идут на поправку, но ребёнок всё еще числится на больничном, возьмите пару занятий с онлайн-репетитором. Ученику не придётся никуда ехать, достаточно в удобное время связаться с репетитором и разобрать тему, которые одноклассники проходили в школе. Так и на контрольных всё будет в порядке! 

1) «Учитель в школе плохо объясняет». К сожалению, такие случаи действительно нередки и не все хорошие математики способны понятно объяснить предмет детям. Но так же случается, что учитель объясняет неплохо и половина класса сразу же схватывает тему. А некоторым ученикам требуется более подробное объяснение, но в силу нехватки времени и требований школьной программы, учитель «бежит» дальше, пытаясь успеть объяснить остальное. 

Если ученики долгое время просто смиряются с таким положением дел и ничего не делают, то со временем перед математикой формируется какой-то страх и нежелание слушать («Зачем, если опять ничего не пойму?»).  Поэтому здесь важно найти своего репетитора, который объясняет на понятном ученику языке каждую тему и способен заинтересовать. 

Как видим, не ни одного случая, когда нет решения проблемы, все причины можно обойти и освоить предмет на отлично! Важно лишь сделать шаг на пути к этому. А таким шагом может стать запись на бесплатное вводное занятие к онлайн-репетитору по математике, на котором учитель выявит все пробелы и сможет предложить план занятий!:) 

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Задачи современной математики, которые до сих пор не решены

На протяжении веков лучшие умы человечества решали одну математическую задачу за другой, однако есть несколько, не поддавшихся до сих пор никому. За нахождение алгоритма их решения некоторые фонды и компании готовы заплатить большие деньги.

1 октября 2019 14:00

Гипотеза Коллатца

Другие названия: гипотеза 3n+1, сиракузская проблема, числа-градины. Если взять любое натуральное число n и совершить с ним следующие преобразования, рано или поздно всегда получится единица. Четное n нужно разделить надвое, а нечетное — умножить на 3 и прибавить единицу. Для числа 3 последовательность будет такой: 3×3+1=10, 10:2=5, 5×3+1=16, 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1. Очевидно, что если продолжить преобразование с единицы, то начнется цикл 1,4,2. Достаточно быстро количество шагов в вычислениях начинает превышать сто и на решение каждой новой последовательности требуется все больше ресурсов.

Небольшой прогресс в решении этой задачи почти вековой давности наметился буквально в прошлом месяце. Однако знаменитый американской математик Терренс Тао лишь ближе всех подошел к нему, но ответа все равно пока не нашел. Гипотеза Коллатца является фундаментом такой математической дисциплины, как «Динамические системы», которая, в свою очередь, важна для множества других прикладных наук, например, химии и биологии. Сиракузская проблема выглядит, как простой безобидный вопрос, но именно это делает ее особенной. Почему ее так сложно решить?

Проблема Гольдбаха (бинарная)

Еще одна задачка, формулировка которой выглядит проще пареной репы — любое четное число (больше 2) можно представить в виде суммы двух простых. И это краеугольный камень современной математики. Данное утверждение легко проверяется в уме для небольших значений: 18=13+5, 42=23+19. Причем рассматривая последнее, можно достаточно быстро понять всю глубину проблемы, ведь 42 представляется и как 37+5 и 11+31, а еще как 13+29 и 19+23. Для чисел больше тысячи количество пар слагаемых становится просто огромным. Это очень важно в криптографии, но даже самые мощные суперкомпьютеры не могут перебирать все значения до бесконечности, поэтому нужно какое-то четкое доказательство для всех натуральных чисел.

Проблема была сформулирована Кристианом Гольдбахом в его переписке с другим величайшим светилом математики Леонардом Эйлером в 1742 году. Сам Кристиан ставил вопрос несколько проще: «каждое нечетное число, больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел». В 2013 году перуанский математик Харальд Хельфготт нашел окончательное решение этого варианта. Однако предложенное Эйлером следствие этого утверждения, которое и назвали «бинарной проблемой Гольдбаха», до сих пор не поддается никому.

Гипотеза о числах-близнецах

Близнецами называются такие простые числа, которые отличаются всего на 2. Например, 11 и 13, а также 5 и 3 или 599 и 601. Если бесконечность ряда простых чисел была доказана множество раз начиная с античности, то бесконечность чисел-близнецов находится под вопросом. Начиная с 2, среди простых чисел нет четных, а начиная с 3 — делящихся на три. Соответственно, если вычесть из ряда все, подходящие под «правила деления», то количество возможных близнецов становится все меньше. Единственный модуль для формулы нахождения таких чисел — 6, а формула выглядит следующим образом: 6n±1.

Как и всегда в математике, если проблема не решается «в лоб», к ней подходят с другого конца. Например, в 2013 году было доказано, что количество простых чисел, отличающихся на 70 миллионов, бесконечно. Тогда же, с разницей менее чем в месяц, значение разницы было улучшено до 59 470 640, а затем и вовсе на порядок — до 4 982 086. На данный момент существуют теоретические обоснования бесконечности пар простых чисел с разницей в 12 и 6, однако доказанной является лишь разность в 246. Как и прочие проблемы такого рода, гипотеза о числах-близнецах особенно важна для криптографии.

Гипотеза Римана

Если кратко, то Бернхард Риман предположил, что распределение простых чисел по множеству всех натуральных чисел не подчиняется каким-либо законам. Но их количество на заданном участке числового ряда коррелирует с распределением определенных значений на графике дзета-функции. Она расположена выше и для каждого s дает бесконечное количество слагаемых. Например, когда в качестве s подставляется 2, то в результате получается уже решенная «базельская задача» — ряд обратных квадратов (1 + ¼ + 1/9 + 1/16 + …).

Одна из «проблем тысячелетия», за решение которой назначен приз в миллион долларов, а также вхождение в пантеон «богов» современной математики. На деле, доказательство этой гипотезы настолько сильно толкнет вперед теорию чисел, что это событие по праву будет называться историческим. Многие вычисления и утверждения в математике строятся на предположении о том, что «гипотеза Римана» верна, и до сих пор никого не подводили. Немецкий математик сформулировал знаменитую задачу 160 лет назад, и с тех пор к ее решению подступались неисчислимое количество раз, однако прогресс очень скромен.

Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера

Еще одна «задача тысячелетия», за решение которой Институт Клэя одарит миллионом долларов. Не-математику достаточно трудно хотя бы в общих чертах сформулировать и понять, в чем же суть гипотезы. Берч и Свиннертон-Дайер предположили определенные свойства эллиптических кривых. Идея заключалась в том, что ранг кривой можно определить зная порядок нуля дзета-функции. Как говорится, ничего не понятно, но очень интересно.

Эллиптическими кривыми называются такие линии на графике, которые описываются, на первый взгляд, безобидными уравнениями вида y²=x³+ax+b. Некоторые их свойства чрезвычайно важны для алгебры и теории чисел, а решение данной задачи может серьезно продвинуть науку вперед. Наибольший прогресс был достигнут в 1977 году коллективом математиков из Англии и США, которые смогли найти доказательство гипотезы Берча и Суиннертон-Дайера для одного из частных случаев.

Проблема плотной упаковки равных сфер

Это даже не одна, а целая категория схожих проблем. Причем мы сталкиваемся с ними ежедневно, например, когда хотим разложить фрукты на полке в холодильнике или как можно плотнее расставить бутылки на полке. С математической точки зрения необходимо найти среднее количество контактов («поцелуев», также называется контактным числом) каждой сферы с остальными. На данный момент есть точные решения для размерностей 1−4 и 8.

Под размерностью или измерением понимается количество линий, вдоль которых размещаются шары. В реальной жизни больше третьей размерности не встречается, однако математика оперирует и гипотетическими значениями. Решение этой задачи может серьезно продвинуть не только теорию чисел и геометрию вперед, но также поможет в химии, информатике и физике.

Проблема развязывания

И снова каждый день встречающаяся проблема. Казалось бы, что сложного — узел развязать? Тем не менее, вычисление минимального времени, необходимого для этой задачи является еще одним краеугольным камнем математики. Трудность в том, что мы знаем, вычислить алгоритм развязывания можно, но его сложность может быть такой, что даже самый мощный суперкомпьютер будет считать слишком долго.

Первые шаги на пути решения этой задачи были сделаны в 2011 году американским математиком Грегом Купербергом. В его работе развязывание узла из 139 вершин было сокращено со 108 часов до 10 минут. Результат впечатляющий, но это лишь частный случай. На данный момент существует несколько десятков алгоритмов разной степени эффективности, однако ни один из них не является универсальным. Среди применений этой области математики — биология, в частности, процессы сворачивания белков.

Самый большой кардинал

Какая бесконечность самая большая? На первый взгляд бредовый вопрос, но так и есть — все бесконечности разные по размеру. А точнее, по мощности, ведь именно так различают множества чисел в математике. Под мощностью понимается общее количество элементов множества. Например, самая маленькая бесконечность — натуральные числа (1, 2, 3, …), потому что она включает в себя только целые положительные числа. Ответа на этот вопрос пока нет и математики постоянно находят все более мощные множества.

Мощность множества характеризуется его кардинальным числом или просто кардиналом. Существует целая онлайн-энциклопедия бесконечностей и примечательных «конечностей», названная в честь Георга Кантора. Этот немецкий математик первым обнаружил, что неисчислимые множества могут быть больше или меньше друг друга. Более того, он смог доказать разницу в мощностях различных бесконечностей.

Что не так с суммой числа π и e?

Является ли сумма этих двух иррациональных чисел алгебраическим числом? Мы оперируем этими константами сотни лет, но так и не узнали о них все. Алгебраическое число — корень многочлена с целыми коэффициентами. На первый взгляд кажется, что все вещественные числа алгебраичны, но нет, наоборот. Большинство чисел трансцендентны, то есть не являются алгебраическими. Более того, все вещественные трансцедентные числа иррациональны (например, π и e), но вот их сумма может быть любой.

Если от предыдущего абзаца у читателя не заболела голова, то вот продолжение загадки — а что с πe, π/e и π-e? Также неизвестно, а знать это наверняка довольно важно для теории чисел. Трансцедентность числа доказал в конце XIX века Фердинанд фон Линдеман вместе с невозможностью решения задачи квадратуры круга. С тех пор значимых подвижек в решении вопроса не было.

Является ли γ рациональной?

Вот еще одна проблема, которую очень легко написать, но трудно решить. Является ли постоянная Эйлера-Маскерони иррациональной или нет? Рациональные числа можно записать в виде p/q, где p и q — целые числа. Таким образом, 42 и -11/3 являются рациональными, а и √2 — нет. Формула выше позволяет вычислить постоянную, которая является пределом разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа. За определение ее рациональности миллион долларов, конечно, не светит, зато вполне можно рассчитывать на кресло профессора в Оксфорде.

Значение γ было вычислено до нескольких тысяч знаков после запятой, первые четыре из которых — 0,5772. Она достаточно широко используется в математике, в том числе вместе с другим числом Эйлера — e. Согласно теории цепных дробей, если постоянная Эйлера-Маскерони является рациональной дробью, то ее знаменатель должен быть больше 10 в 242 080 степени.

Открытые математические проблемы — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

• Проблема Гольдбаха. Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?^[1]
• Проблема Варинга. Функция Харди G(n){\displaystyle G(n)} — наименьшее k{\displaystyle k} такое, что уравнение x1n+x2n+⋯+xkn=N{\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=N} разрешимо при N⩾N0(n){\displaystyle N\geqslant N_{0}(n)}. Значения этой функции известны только для n{\displaystyle n} равных 2 и 4.
• Бесконечно ли множество простых чисел-близнецов?
• Гипотеза Била. Верно ли, что если Ax+By=Cz,{\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z},} где A,B,C,x,y,z{\displaystyle A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z} — натуральные и x,y,z>2{\displaystyle x,\;y,\;z>2}, то A,B,C{\displaystyle A,\;B,\;C} имеют общий простой делитель?
• Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1{\displaystyle 3n+1}).
• Гипотеза Эрдёша. Верно ли, что если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии?
• Числа ван дер Вардена. При каком наименьшем N{\displaystyle N} при любом разбиении множества {1,2,…,N}{\displaystyle \{1,\;2,\;\ldots ,\;N\}} на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7?^[2]
• Существует ли параллелепипед Эйлера (параллелепипед со всеми целочисленными рёбрами и лицевыми диагоналями), главная диагональ которого также имеет целую длину?^[3]

• В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
• На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?^[4][5]
• Существует ли такая константа A{\displaystyle A}, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь A{\displaystyle A}, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?^[6]
• Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?^[7]
• Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?^[8][9]
• Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?^[9][10]
• Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
• У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?^[11]
• Даны положительные действительные числа S0,…,Sn{\displaystyle S_{0},\;\ldots ,\;S_{n}}. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?^{[источник не указан 765 дней]}
• Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?^[12]
• При каком минимальном V{\displaystyle V} любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма V?{\displaystyle V?}^[13]
• Чему равно хроматическое число n{\displaystyle n}-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера).
• Задача Томсона. Как разместить n{\displaystyle n} одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для n=2,3,4,6,12{\displaystyle n=2,\;3,\;4,\;6,\;12})^[14]. Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из n{\displaystyle n} точек?
• Как разместить n{\displaystyle n} точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?^[15]
• Для каждой пары натуральных чисел (n,k){\displaystyle (n,\;k)} найти такое наименьшее действительное число d(n,k){\displaystyle d(n,\;k)}, что любое множество единичного диаметра в n{\displaystyle n}-мерном евклидовом пространстве можно разбить на k{\displaystyle k} подмножеств диаметром не больше d(n,k){\displaystyle d(n,\;k)}. Задача решена только в нескольких частных случаях^[16][17].
• Чему равна площадь множества Мандельброта, и где на оси абсцисс расположен его центр масс? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08^[18].
• Задача со счастливым концом. При каком минимальном m{\displaystyle m} среди любых m{\displaystyle m} точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого n{\displaystyle n}-угольника, и верно ли, что m=1+2n−2{\displaystyle m=1+2^{n-2}}? Решение известно только для n<7{\displaystyle n<7}. Результат для n=6{\displaystyle n=6} (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
• Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Вана, которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 11^[19].
• В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?^[20]
• Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году^[21][22][23].
• Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?^{[источник не указан 765 дней]}
• Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?^[24][25][26]
• Cуществует ли для каждого многоугольника и ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} такой многоугольник, все вершины которого расположены на расстоянии, меньшем чем ϵ{\displaystyle \epsilon } от соответствующих вершин начального многоугольника и все стороны и диагонали которого имеют рациональную длину?^[27]

Задачи упаковки[править | править код]

• Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса R{\displaystyle R}?^[28]
• Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?^[29]
• Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?^[29]

Многомерные пространства[править | править код]

• Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?^[7]
• Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
• Двенадцать нерешённых геометрических вопросов, связанных с задачами механики помещены в книге ^[34].

• Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы H{\displaystyle H} существует поле алгебраических чисел F{\displaystyle \mathbf {F} }, такое что F{\displaystyle \mathbf {F} } является расширением поля рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } и Gal(F/Q){\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} /\mathbb {Q} )} изоморфна H{\displaystyle H}.^{[источник не указан 2627 дней]}
• Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно^[35].
• Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?^[36]
• Является ли кольцо периодов полем?
• Проблема О. Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?^[37]
• Проблема Л. С. Понтрягина Пусть G{\displaystyle G} — эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства Γ{\displaystyle \Gamma }, гомеоморфного n{\displaystyle n} — мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства Γ{\displaystyle \Gamma } на единичную сферу Sn{\displaystyle S^{n}} евклидова (n+1){\displaystyle (n+1)} — мерного пространства, при котором группа G{\displaystyle G} переходит в некоторую группу движений сферы Sn{\displaystyle S^{n}}?^[38].
• Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов, колец и решёток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток?^[39].
• Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решёток, достижимых на классе всех таких полугрупп^[39].
• Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствами?^[40]
• Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности M{\displaystyle M} иметь мощность 2M{\displaystyle {2}^{M}}?^[41]
• Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счётная группа, что всякая счётная группа изоморфна одной из её подгрупп?^[42]
• Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца^[43].
• Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге^[44].
• Отсутствует полное описание множества общезначимых формул на алгебраических системах. Неизвестно, замкнуто ли множество S{\displaystyle S} относительно дополнения в множестве ω{\displaystyle \omega }^[45]
• Формулировки 50{\displaystyle 50} нерешенных проблем теории бесконечных абелевых групп приведены в книге^[46]

Коуровская тетрадь[править | править код]

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2—4 года. Выпускается на русском и английском языках^[47][48][49].

Днестровская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей^[50].

Свердловская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп^[51][52].

Эрлагольская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нерешённых задач алгебры и теории моделей^[53].

• Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой Re(z)=1/2{\displaystyle \mathrm {Re} (z)=1/2}?^[54]
• Чему равна постоянная Миллса? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
• До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как π{\displaystyle \pi } и e{\displaystyle e}; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π{\displaystyle \pi } бесконечное количество раз.
• Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?^[55]
• Является ли ln⁡2{\displaystyle \ln 2} нормальным числом?^[56]
• Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина, хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа π{\displaystyle \pi }, Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
• Сходятся ли ряды ∑n=1∞1n3sin2⁡n{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}} и ∑n=1∞1n3cos2⁡n?{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\cos ^{2}n}}?}^[57] Оба ряда имеют спорадически большие значения в числителях, но первый ряд гипотетически сходится около 30,31, а второй — около 43.

Вопросы иррациональности[править | править код]

• Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: постоянная Эйлера — Маскерони, постоянная Каталана, постоянная Бруна, постоянная Миллса, постоянная Хинчина, числа π+e,π−e,π⋅e,πe,πe,π2,ln⁡π,ππ,eπ2,2e,ee,eee.{\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}},2^{e},e^{e},e^{e^{e}}.} Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом^{[58][59][60][61][62][63]}.
• Неизвестно, являются ли π{\displaystyle \pi } и e{\displaystyle e} алгебраически независимыми.
• Неизвестно, являются ли nπ{\displaystyle {^{n}\pi }} или ne{\displaystyle {^{n}e}} целыми числами при каком-либо положительном целом n{\displaystyle n} (см. тетрация). Неизвестно даже, является ли 4π=ππππ{\displaystyle {^{4}\pi }=\pi ^{\pi ^{\pi ^{\pi }}}} целым (это число имеет свыше 10¹⁷ цифр целой части, и прямое вычисление невозможно).
• Неизвестно, может ли nq{\displaystyle {^{n}q}} быть целым, если n{\displaystyle n} — положительное целое число, а q{\displaystyle q} — положительное рациональное, но не целое число (в частных случаях n=1,2,3{\displaystyle n=1,\,2,\,3} ответ отрицателен)^[64].
• Неизвестно, является ли положительный корень уравнения 3x=2,x=1,47668433…{\displaystyle {^{3}x}=2,\,x=1{,}476\;684\;33\dots } алгебраическим или трансцендентным числом (хотя известно, что он иррационален).
• Неизвестно, является ли положительный корень уравнения 4x=2,x=1,44660143…{\displaystyle {^{4}x}=2,\,x=1{,}446\;601\;43\dots } рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Аналогичная проблема для тетрации любой большей высоты из любого числа, большего 1, также открыта.
• Неизвестна точная мера иррациональности для каждого из следующих иррациональных чисел: π,π2,ln⁡2,ln⁡3,ζ(3){\displaystyle \pi ,\pi ^{2},\ln 2,\ln 3,\zeta (3)}

Почему современным детям не дается математика

В этом году Череповец впервые стал участником Всероссийского математического флешмоба MathCat, который проводился в России уже в пятый раз. Чтобы написать необычную контрольную по математике, в субботний день, 24 ноября, в главное здание ЧГУ пришло более 200 человек. Школьный предмет, способствующий умению логически мыслить и анализировать, одни считают «царицей наук», другие — «сухарем». Причем последних в разы больше. Математический образовательно-развлекательный проект придуман организаторами как раз для того, чтобы показать, что математика — это интересно. «Голос Череповца» попытался выяснить, почему же обучение математике вызывает такие трудности у школьников и правда ли, что способных освоить этот предмет стало меньше.

Правила учить!

«Трудности в изучении и освоении математики были во все времена, — говорит заместитель директора, учитель математики МБОУ «Центр образования № 12» Ирина Буйлова. — Я не могу сказать, что это проблема только сегодняшнего дня. Во-первых, не все дети учат материал, обязательный для запоминания. В начальной школе не выучили таблицу сложения, а затем таблицу умножения — и в пятом классе мы сталкиваемся с тем, что, услышав: «9 + 4», ученик начитает мучительно подсчитывать, чуть не на пальцах, хотя эта элементарная вычислительная операция должна производиться уже автоматически. Сложности с вычислением «7×8» или «9×6» — очень распространенная проблема. И все из-за того, что еще в начальной школе не выучены таблицы сложения и умножения».

Говоря о средней школе, Ирина Юрьевна отмечает, что главное — учить правила, которых множество. Поэтому и осваивать их нужно постепенно: разом все не охватить. Но только лишь зазубрить правило мало — для успешного освоения материала это правило нужно многократно применить, попросту говоря, решать примеры. Столько решать, чтобы довести навык применения выученного правила до автоматизма.

«Во-вторых, не будем забывать, что кроме математики школьники изучают много других предметов, — улыбается опытный учитель. — И при этом математика далеко не у всех в приоритете. Больший интерес дети проявляют к тем предметам, которые им понятны и которые, что там скрывать, легче. Или тем, которые пригодятся для поступления в учебное заведение».

Третью причину, осложняющую процесс обучения точной науке, математик видит в неиссякаемом потоке неучебной информации, которую наши дети с жадностью впитывают:

«Им же надо столько еще освоить, узнать и понять кроме уроков! А при этом объем памяти небольшой. У детей пятых — девятых классов произвольное внимание развито недостаточно. Цели и установки четко не сформированы. У большинства тех, кто пришел в 10-й и 11-й класс, есть, как правило, цель. И тут они начинают брать себя в руки, концентрируясь на подготовке к экзаменам».

Умных меньше не стало

Ирина Буйлова не согласна с тем, что раньше дети были умнее, чем сейчас. Рассказывая о своем выпускном экзамене в 80-м году, она вспоминает, что не больше половины могли справиться со всеми заданиями экзаменационной работы. Но тогда был спасительный вариант — те, кто выполнил свое задание, помогали товарищу, разрешая его математическую беду.

«А сейчас на выпускном экзамене ученик остается один на один с КИМ (контрольно-измерительные материалы — прим. авт.), — говорит Ирина Юрьевна. — Дети подвергаются стрессу. Мы чему сейчас их учим? Работать с информацией. Эту работу учащиеся делают прекрасно: ГДЗ (готовые домашние задания), Интернет — источники для нахождения информации. А на экзамене они поставлены в рамки, когда у них нет возможности сделать то, что они умеют делать хорошо, — искать информацию. Им просто негде ее искать — только в своей голове. Ведь ученик остается без ГДЗ, Интернета, помощи друга, подсказки учителя».

Чем страшно ГДЗ?

Пообщавшись с учениками школ разных классов и возрастов, я поняла, что для них ГДЗ — это эльдорадо ученической халявы. Ничего не надо делать — просто списать!

«У нас в свое время не было готовых решений, и нам приходилось самим думать, искать ответ, — говорит Ирина Юрьевна. — Сейчас учащиеся тоже ищут, но готовую информацию, банальное списывание которой никак не помогает освоению математики, а напротив, мешает. Как мешает и калькулятор. Несформированные вычислительные навыки — это большая проблема».

С нею согласна и педагог с 50-летним стажем, заслуженный учитель РФ, учитель математики школы № 25 Татьяна Шульгина:

«ГДЗ и калькулятор вредят учебе. Мой бывший ученик сказал: «Своим детям я не буду покупать готовые домашние задания».

Татьяна Геннадьевна соглашается с тем, что важно учить правила, применять их, постоянно решать примеры. Но кроме того, большую роль в успешном освоении не только математики, но и других предметов она отводит семье:

«Все идет из семьи. Хотелось бы, чтобы родители знали, что заботит ребенка, где ему трудно, и помогали справиться с трудностями. Например, в начальной школе нужно помочь научиться читать, выучить таблицу умножения, но все это в игровой форме. В младших классах важно участвовать в выполнении домашнего задания. На родительских собраниях меня часто спрашивали: «Можно ли объяснить ребенку решение задачи своим способом?» Я только приветствовала это. Содружество, взаимопомощь, дружелюбная обстановка — и ученик не боится двигаться дальше. Он знает, что ему помогут. Многое зависит от настроя родителей. Мне импонируют родители, которые понимают важность предмета и идут на помощь своему ребенку в его освоении.

Инна Анохина, газета «Голос Череповца»