Если сложить все числа от 1 до 100: Сложите все натуральные числа от 1 до 100

{100}=\frac{100(100+1)}{2}=50\cdot 101=5050$$

Как это у него получилось? Давайте попробуем разобраться на примере суммы от 1 до 10.

Первый способ: разбить числа на пары

Запишем числа от 1 до 10 в виде матрицы c двумя строками и пятью столбцами:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5\\ 10&9&8&7&6 \end{array}\right)$$

Интересно, сумма каждого столбца равна 11 или $n+1$. И всего таких пар чисел 5 или $\frac{n}{2}$. Получаем нашу формулу:

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=\frac{n}{2}\cdot(n+1)$$

Если нечетное число слагаемых?

Что, если сложить числа от 1 до 9? У нас не хватает одного числа для составления пяти пар, но мы можем взять ноль:

$$\left(\begin{array}{c}0&1&2&3&4\\ 9&8&7&6&5 \end{array}\right)$$

Сумма столбцов теперь равна 9 или ровно $n$. А количество столбцов? По-прежнему пять столбцов (спасибо нулю!), но теперь количество столбцов определяется как  $\frac{n+1}{2}$ ( y нас $n+1$ чиcел и вдвое меньше столбцов).

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=\frac{n+1}{2}\cdot n$$

Второй способ: увеличить вдвое и записать в две строки

Мы немного по-разному считаем сумму чисел в этих двух случаях.
Может быть, есть способ одинаково посчитать сумму для четного и нечетного количества слагаемых?

Вместо того, чтобы делать из чисел своеобразную «петлю»,  давайте запишем их в две строки, при этом количество чисел умножим на два:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\10&9&8&7&6&5&4&3&2&1 \end{array}\right)$$

Для нечетного случая:

$$\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{array}\right)$$

Видно, что в обоих случаях сумма столбцов равна $n+1$, а количество столбцов $n$.

$$Число\ столбцов\cdotСумма\ чисел\ в\ стобцах=n\cdot(n+1)$$

Но нам нужна сумма только одной строки, поэтому:

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2}$$

Третий способ: сделать прямоугольник

Есть еще одно объяснение, давайте попробуем сложить крестики, допутим у нас есть крестики:

x

xx

xxx

xxxx

xxxxx

Как нам посчитать количество крестиков? Давайте добавим такое же количество ноликов:

x ooooo

xx oooo

xxx ooo

xxxx oo

xxxxx o

Похоже просто на другое представление второго способа — каждая последующая строка пирамидки имеет больше крестиков и меньше ноликов. Количество всех крестиков и ноликов — площадь прямоугольника.

$$Площадь=Высота\cdotШирина=n\cdot(n+1)$$

Но нам нужна сумма крестиков, поэтому:

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2}$$

Четветрый способ: среднее арифметическое

Известно: $Среднее\ арифметическое=\frac{Сумма}{Количество\ членов}$
Тогда: $Сумма = среднее\ арифметическое\cdotКоличество\ членов$

Количество членов нам известно — $n$. А как выразить Cреднее арифметическое?

Заметьте, числа распределены равномерно. На каждое большое число приходится маленькое, расположенное на другом конце.

1 2 3, среднее 2

1 2 3 4, среднее 2.5

В этом случае среднее арифметическое —  это среднее арфиметическое чисел 1 и $n$, тоесть $Среднее\ арифметическое=\frac{n+1}{2}$

$$Сумма = \frac{n+1}{2}\cdot n$$

Пятый способ: интеграл

Все мы знаем, что определенный интеграл вычисляет сумму. Посчитаем сумму от 1 до 100 интегралом? Да, но для начала давайте хотя бы найдем сумму от 1 до 3. {2}}{2}+\frac{1000}{2} = 500000+500=500500$$

Данная статья — перевод с небольшим моим дополнением, оригинал.

Сложить от 1 до 100

?

Сложить от 1 до 100

masterok

May 14th, 2017

В XVIII веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс — будущий великий математик.

Как он это сделал?

Читайте правильный ответ

[ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ]Он выделил 49 пар чисел: 99 и 1, 98 и 2, 97 и 3 … 51 и 49. В сумме каждая пара чисел равнялась ста, и оставалось два непарных числа 50 и 100.

Следовательно, 49х100+50+100=5050.

Для того, чтобы быть в курсе выходящих постов в этом блоге есть канал Telegram. Подписывайтесь, там будет интересная информация, которая не публикуется в блоге!

Вот еще несколько интересных задачек: вот например Старая задачка и морской обычай, а вот Головоломка, с которой справляются только 2 из 10 человек и Два человека из трёх дают неправильный ответ на эту задачу!

Tags: Задача

• Школьная задачка про усохшие ягоды

  В 100 кг свежих ягод содержится 99% воды. После хранения ягоды усохли, содержание воды в них стало 98%. Сколько теперь весят ягоды? Проверьте…

• Задача для шестилеток, которую я не решил

  Блин, вот почему я такой бестолковый и подобные задачки вообще не могу решать. Это старая «баянистая» задачка, но в дополнении ко вчерашней…

• Задачка для англоязычных дошкольников, которую не каждый взрослый решит

  Интернет очередной раз взбудоражила задачка, которая вроде бы предназначалась для дошкольников, но даже взрослые люди попали в затруднительную…

Натуральные числа от 1 до 100 |Сумма натуральных чисел от 1 до 100

Натуральные числа от 1 до 100 — это набор первых 100 натуральных чисел, где 1 — натуральное число, а 100 — самое большое. Натуральные числа, являющиеся частью системы счисления, включают в себя все положительные целые числа от 1 до бесконечности. Их также называют счетными числами, так как они не включают ноль или отрицательные числа. Набор натуральных чисел — это классификация под большим набором действительных чисел, включающим только положительные целые числа, но не ноль, дроби, десятичные дроби и отрицательные числа.

В этой статье давайте изучим натуральные числа от 1 до 100 и найдем их сумму с помощью формулы и решенных примеров.

1.	Натуральные числа от 1 до 100 Таблица
2.	Сумма натуральных чисел от 1 до 100
3.	Примеры натуральных чисел от 1 до 100
4.	Практические вопросы по натуральным числам от 1 до 100
5.	Часто задаваемые вопросы о натуральных числах от 1 до 100

Натуральные числа от 1 до 100 Таблица

Таблица натуральных чисел от 1 до 100 поможет вам перечислить все натуральные числа от 1 до 100. Итак, 100 — последнее натуральное число в списке натуральных чисел от 1 до 100. Это делается с помощью простая формула, в которой мы добавляем 1 к предыдущему числу, чтобы получить следующее число. Другими словами, это все последовательные числа от 1 до 100. 1 — наименьшее натуральное число в списке.

Сумма натуральных чисел от 1 до 100

Натуральные числа от 1 до 100 можно записать как 1, 2, 3, 4,5…….100 — это арифметическая прогрессия (А.П). Сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 может быть рассчитана по формуле S = n/2[2a + (n − 1) × d], где n — общее количество натуральных чисел от 1 до 100, d — разница между двумя последовательными терминами, а первый термин. Всего существует 100 натуральных чисел, поэтому n = 100,9.0003

Таким образом, a = 1, d = 1 и n = 100

Вычислим сумму натуральных чисел от 1 до 100

Сумма A.P,

S = n/2[2a + (n − 1 ) × d]

S = 100/2[2 + (100 – 1) × 1]

S = 50 [2 + 99]

S = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равно 5050.

Важные примечания:

• 1 — наименьшее натуральное число.
• Всего существует 100 натуральных чисел от 1 до 100.
• Натуральные числа считают числа только начиная с 1.
• Сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Темы, связанные с натуральными числами от 1 до 100

Ознакомьтесь с этими статьями, посвященными концепции натуральных чисел от 1 до 100.

• Нечетные числа
• Четные числа
• Четные и нечетные числа
• Целые числа

Часто задаваемые вопросы о натуральных числах от 1 до 100

Какие натуральные числа от 1 до 100?

Натуральные числа от 1 до 100 — это все числа в пределах этого диапазона, т. е. все последовательные числа, начинающиеся от 1 до 100. Натуральные числа от 1 до 100 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. , 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 , 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 , 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94 , 95, 96, 97, 98, 99 и 100.

Как найти сумму натуральных чисел от 1 до 100?

Сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050. Общее количество натуральных чисел в этом диапазоне равно 100. Таким образом, применяя это значение в формуле: S = n/2[2a + (n − 1) × d], получаем S=5050.

Какое среднее значение натуральных чисел от 1 до 100?

Среднее значение натуральных чисел от 1 до 100 равно 100. Оно рассчитывается по формуле среднего, которая гласит, что Среднее = Сумма всех значений/Общее количество значений. Здесь сумма значений равна 5050, а общее количество натуральных чисел от 1 до 100 равно 100. Значит, среднее = 5050/100 = 50,5. Следовательно, 50,5 — это среднее натуральных чисел от 1 до 100.

Какое самое большое натуральное число в списке натуральных чисел от 1 до 100?

100 — самое большое натуральное число в списке натуральных чисел от 1 до 100. Следующим натуральным числом будет 101, которое больше 100. Итак, 100 — это наибольшее натуральное число в списке четных чисел от 1 до 100.

Какая формула находит сумму натуральных чисел от 1 до 100?

Список натуральных чисел от 1 до 100 хорошо организован в виде арифметической последовательности. Таким образом, мы можем просто использовать формулу суммы n членов арифметической прогрессии, то есть S = n/2[2a + (n − 1) × d], чтобы вычислить формулу суммы натуральных чисел.

Методы сложения чисел от 1 до 100 – BetterExplained

Существует популярная история о том, что у Гаусса, выдающегося математика, был ленивый учитель. Так называемый воспитатель хотел занять детей, чтобы он мог вздремнуть; он попросил класс сложить числа от 1 до 100.

Гаусс подошел со своим ответом: 5050. Так скоро? Учитель заподозрил обман, но нет. Сложение вручную было для лохов, и Гаусс нашел формулу, позволяющую обойти проблему:

Давайте поделимся несколькими объяснениями этого результата и действительно поймем его интуитивно. Для этих примеров мы добавим 1 к 10, а затем посмотрим, как это применимо к 1 к 100 (или 1 к любому числу).

Техника 1: Парные номера

Парные номера — распространенный подход к этой проблеме. Вместо того, чтобы записывать все числа в один столбец, давайте обернем числа так:

 1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
 

Возникает интересный паттерн: сумма каждого столбца равна 11 . По мере увеличения верхней строки нижняя строка уменьшается, поэтому сумма остается прежней.

Поскольку 1 находится в паре с 10 (наше n), мы можем сказать, что в каждом столбце есть (n+1). А сколько у нас пар? Итак, у нас есть 2 равных строки, у нас должно быть n/2 пар.

, что является формулой выше.

Подождите, а как насчет нечетного количества предметов?

Ах, я рад, что вы подняли эту тему. Что, если мы сложим числа от 1 до 9? У нас нет четного количества предметов, которые можно соединить. Многие объяснения просто дадут объяснение выше и остановятся на этом. я не буду.

Складываем цифры от 1 до 9, но вместо того, чтобы начинать с 1, давайте считать с 0:

 0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
 

Считая от 0, мы получаем «дополнительный элемент» (всего 10), поэтому у нас может быть четное количество строк. Однако наша формула будет выглядеть немного иначе.

Обратите внимание, что сумма каждого столбца равна n (а не n+1, как раньше), поскольку 0 и 9 сгруппированы. И вместо того, чтобы иметь ровно n элементов в 2 строках (всего n/2 пар), у нас есть n + 1 элемент в 2 строках (всего (n + 1)/2 пар). Если вы подставите эти числа, вы получите:

, что является той же формулой, что и раньше. Меня всегда раздражало, что одна и та же формула работает и для нечетных, и для четных чисел — дробь не получится? Да, вы получаете ту же формулу, но по другим причинам.

Способ 2: Использование двух рядов

Описанный выше метод работает, но вы по-разному обрабатываете нечетные и четные числа. Разве нет лучшего способа? Да.

Вместо того, чтобы зацикливать числа, давайте запишем их в два ряда:

 1 2 3 4 5 6 7 8 910
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
 

Обратите внимание, что у нас есть 10 пар, и каждая пара в сумме дает 10+1.

Сумма всех приведенных выше чисел равна

Но нам нужна сумма только одной строки, а не обеих. Итак, мы делим приведенную выше формулу на 2 и получаем:

Вот это круто (настолько круто, насколько могут быть ряды чисел). Это работает для нечетного или четного количества предметов одинаково!

Техника 3: Создание прямоугольника

Недавно я наткнулся на другое объяснение, свежий подход к старому объяснению спаривания. Разные объяснения работают лучше для разных людей, и мне это нравится больше.

Вместо того, чтобы писать числа, представьте, что у нас есть бобы. Мы хотим добавить 1 боб к 2 бобам, к 3 бобам… вплоть до 5 бобов.

 х
х х
х х х
х х х х
х х х х х
 

Конечно, мы могли бы использовать 10 или 100 бобов, но с 5 вы поняли идею. Как нам посчитать количество бобов в нашей пирамиде?

Ну, сумма явно 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Но давайте посмотрим на это по-другому. Допустим, мы зеркально отразим нашу пирамиду (я буду использовать «о» для отраженных бобов), а затем опрокинем ее:

 х о х о о о о о
х х о о х х о о о о
х х х о о о => х х х о о о
х х х х о о о о х х х х о о
х х х х х о о о о о х х х х х х о
 

Круто, да? Если вам интересно, действительно ли это совпадает, то это так. Взгляните на нижний ряд правильной пирамиды с 5′x (и 1°). В следующем ряду пирамиды на 1 x меньше (всего 4) и на 1 больше (всего 2), чтобы заполнить пробел. Так же, как и в паре, одна сторона увеличивается, а другая уменьшается.

Теперь пояснение: сколько у нас всего бобов? Ну, это просто площадь прямоугольника.

У нас есть n рядов (количество рядов в пирамиде мы не меняли), а наша коллекция имеет ширину (n + 1) единиц, так как 1 «о» стоит в паре со всеми «иксами».

Обратите внимание, что на этот раз нам все равно, будет ли n нечетным или четным — формула общей площади работает просто отлично. Если n нечетно, у нас будет четное количество элементов (n+1) в каждой строке.

Но, конечно, нам не нужна общая площадь (количество иксов и ноликов), нам нужно только количество иксов. Поскольку мы удвоили x, чтобы получить o, x сами по себе составляют лишь половину общей площади:

И мы вернулись к нашей первоначальной формуле. Опять же, количество x в пирамиде = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 или сумма от 1 до n.

Метод 4: Усреднение

Мы все знаем, что

среднее = сумма / количество элементов

, что мы можем переписать в виде

сумма = среднее * количество элементов

9000. сумма. Если у нас есть 100 чисел (1…100), то у нас явно есть 100 элементов. Это было просто.

Чтобы получить среднее значение, обратите внимание, что все числа распределены поровну. Для каждого большого числа на другом конце есть маленькое число. Давайте посмотрим на небольшой набор:

 1 2 3
 

Среднее значение равно 2. 2 уже находится посередине, а 1 и 3 «сокращаются», поэтому их среднее значение равно 2.

Для четного числа предметов

 1 2 3 4
 

среднее между 2 и 3 – это 2,5. Несмотря на то, что у нас есть дробное среднее, это нормально — поскольку у нас есть даже элементов, когда мы умножаем среднее значение на количество, эта уродливая дробь исчезнет.

Обратите внимание, что в обоих случаях 1 находится по одну сторону от среднего, а N одинаково далеко по другую. Таким образом, мы можем сказать, что среднее значение всего набора на самом деле является средним значением 1 и n: (1 + n)/2.

Подставляем это в нашу формулу

И вуаля! У нас есть четвертый способ думать о нашей формуле.

Так почему же это полезно?

Три причины:

1) Быстрое сложение чисел может быть полезным для оценки. Обратите внимание, что формула расширяется до этого:

Допустим, вы хотите сложить числа от 1 до 1000: предположим, вы получаете 1 дополнительного посетителя на свой сайт каждый день — сколько всего посетителей будет через 1000 дней? Так как тысяча в квадрате = 1 миллион, мы получаем миллионов / 2 + 1000/2 = 500 500 .

2) Эта концепция сложения чисел от 1 до N проявляется и в других местах, например, при вычислении вероятности парадокса дня рождения. Твердое понимание этой формулы поможет вашему пониманию во многих областях.

3) Самое главное, этот пример показывает, что есть много способов понять формулу. Может быть, вам нравится метод сопряжения, может быть, вы предпочитаете технику прямоугольника, или, может быть, есть другое объяснение, которое вам подходит. Не отказывайтесь от , если вы не понимаете — попробуйте найти другое объяснение, которое работает. Счастливая математика.

Кстати, есть более подробная информация об истории этой истории и возможной технике, которую использовал Гаусс.

Вариации

Вместо 1 до n, как насчет 5 до n?

Начните с обычной формулы (1 + 2 + 3 + … + n = n * (n + 1) / 2) и вычтите ненужную часть (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10).

 Сумма для 5 + 6 + 7 + 8 + … n = [n * (n + 1) / 2] – 10
 

И для любого начального числа a:

 Сумма от a до n = [n * (n + 1) / 2] – [(a - 1) * a / 2]
 

Мы хотим избавиться от всех чисел от 1 до — 1.

Как насчет четных чисел, таких как 2 + 4 + 6 + 8 + … + n?

Просто удвойте обычную формулу. Чтобы сложить четные числа от 2 до 50, найдите 1 + 2 + 3 + 4 … + 25 и удвойте его:

 Сумма 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/ 2) = 2 * п/2 * (п/2 + 1) / 2 = п/2 * (п/2 + 1)
 

Итак, чтобы получить четные числа от 2 до 50, нужно сделать 25 * (25 + 1) = 650

Как насчет нечетных чисел, например 1 + 3 + 5 + 7 + … + n?

Это то же самое, что и четная формула, за исключением того, что каждое число на 1 меньше, чем его аналог (у нас есть 1 вместо 2, 3 вместо 4 и так далее). Получаем следующее по величине четное число (n + 1) и убираем лишнее (n + 1)/2 «-1″ предметов:

 Сумма 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = [(n + 1)/2 * ((n + 1)/2 + 1)] – [(n + 1) / 2]
 

Чтобы добавить 1 + 3 + 5 + … 13, возьмите следующее наибольшее четное (n + 1 = 14) и выполните

 [14/2 * (14/2 + 1)] – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49
 

Комбинации: четы и смещения

Допустим, вам нужны четы из 50 + 52 + 54 + 56 + … 100.