Что делать если не понимаешь алгебру в 7 классе: Сын не понимает алгебру,что делать?

Как помочь ребенку с математикой (алгебра)?

Помогите, пожалуйста, советами.
Занимаюсь с племянником-семиклассником алгеброй.
До 7 класса у него были 4 и 5 в четвертях. С этого года новая учительница и пошли сплошные двойки.
Раньше никто из родственников не интересовался его реальными знаниями в математике, поскольку оценки были хорошими. Сейчас выяснилось, что много пробелов, даже по темам начальной школы.
Например, путает названия результатов арифметических действий — сумма, разность,частное, произведение… Таблицу умножения наизусть не знает.
Если пример знакомый — может решить, молча, пояснить ход решения — никак. Если пример чуть отличается — все, ступор.
При этом, голова нормально работает, прогресс за месяц занятий есть. Но такая тоска в глазах… и испуг. Видно, стресс очень сильный от того, что так снизилась успеваемость неожиданно.
И ребенок сложный, ни с кем, кроме меня заниматься не согласился, ему хотели взять репетитора-педагога, он отказался категорически.
А я математику знаю, но не педагог. Раньше преподавала у старшеклассников, но это были совсем другие задачи передо мной.
Прошу советов от опытных:

1. Реально ли заинтересовать человека математикой? Чтобы мотивация появилась к изучению предмета? Или сразу смириться с тем, что не все любят математику?

Сейчас мотивация — исправить двойки на тройки и страх перед родителями. Другой мотивации нет.

2. Следует ли объяснять, откуда что берется и как получается? Чтобы при взгляде на задачу сразу была понятна природа и было много вариантов, как можно покрутить туда-сюда и решить? Или ограничиться чисто тем, что в учебнике и что требует учитель? Тогда будет формальный подход «задача типа 1 решается таким количеством шагов, задача типа 2 — другим».

3. Я всегда придерживалась мнения, что математика хорошо осваивается нарешиванием большого количества задач — при этом и формулы, и таблица умножения и прочее заодно запоминаются. Всегда ли это полезно? У ребенка сильный протест по поводу 10 задач, заданных на неделю.

4. Стоит ли при всем этом еще требовать, чтобы ребенок нормально озвучивал алгебраические термины? Или пока отложить этот вопрос? На данный момент математической речи нет вообще, на просьбы просто прочитать вслух уравнение — ступор. Вместо «икс квадрат» говорит «икс два», вместо «две трети» говорит «два три». Слов «квадрат» и «куб» как степени вообще нет в лексиконе. При этом, если молча решает номера из учебника, то уже справляется с большинством, то есть понимание какое-то появилось.

Слабый ученик, что делать? Советы репетитору по математике

Каков он — слабый ученик и что творится в его голове? Можно ли его хоть чему-нибудь научить? Эти вопросы мучают многих. Ох, сколько хлопот доставляет преподавателю ленивый и немотивированный двоечник. И не только по математике. Достаточно поработать репетитором хотя бы пару лет и вам обязательно попадется какой-нибудь неподъемный школьник, от которого хочется сразу же убежать. Однако репетитор по математике по долгу службы обязан уметь работать с такими трудными случаями.

Но как? Насколько безнадежным может быть типичный двоечник? Можно ли изменить стиль его мышления и дать хоть какие-то знания?

Недавно одному знакомому репетитору по математике потребовался совет в выборе стратегии действий в работе с очень сложным учеником 8 класса. Картина типичная. Ничего не понимает, ничего не знает и ничего не может. Что делать? Привожу детальное описание проблемы и свои соображения относительно данного случая и подобных ему.

Репетитор по математике Ермакова Диана: Помогите советом. Мальчик 8 класс. Обычный, не профильный. Занимается у меня с сентября. Случай очень тяжелый. Во-первых, плохая память и повышенная утомляемость (через 15 минут уже зевает). Проблемы с позвоночником, возможно, причины оттуда. Усиленно лечатся, даже месяц лежал в санатории (оставляла за ним место). Перешли с 1,5 часов занятия на час, поскольку 1,5 он не высиживает. Сказать, что математика дается ему сложно-ничего не сказать. Это для него некий набор магических символов и правил, не подчиняющийся логике.

При этом со счетом проблем особых нет, уровень 6 класса он вполне тянет. Но далее, когда начинаются алгебраические выражения, уравнения и т.д. — это кошмар. Мы топчемся практически на одном и том же месте уже полгода. Ленив. ДЗ выполняет из-под родительской палки. При этом каждый мой звонок им — это катастрофа. Его наказывают, всего лишают, и он приходит в слезах. Но изменить сам эту ситуацию и просто работать, чтобы я не звонила родителям — не хочет.

Вот перечень систематических ошибок, которые он делает: или . При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую меняет знаки у всех слагаемых уравнения, 2х=5, значит, х=5-2 или х=2:5. Молчу уже про знаки вообще — путает нещадно. Шаг вправо-влево — уже не знает, что надо делать. Не могу сказать, что логика полностью отсутствует, но он предпочитает ею не пользоваться. Я старательный репетитор по математике, и пытаюсь донести до ученика причину, по которой выполняется то или иное действие и то, как как можно его проверить. Никогда не объясняю решение готовых задач: чтобы понять решение, его надо провести полностью самостоятельно, «прочувствовать».

Но слушать объяснения репетитора он просто не хочет -«выключается». Говорит, вы мне говорите, что надо делать, и я буду делать. Очень хочет улучшить знания по предмету, но чисто теоретически. Практически это сделать не получается. Говорила: давай подберу тебе другого репетитора по математике. Нет, хочу заниматься с Вами, вдруг другой репетитор окажется злым. Да, еще он очень медлителен. По алгебре на контрольных успевает решить из 5 задач решить 3, а это только на тройку, если решено правильно. По алгебре стабильно три-два. По геометрии стоят даже колы. С геометрией история отдельная: вроде, она ему нравиться, чертежи выполнять любит. Но практически-теоремы и доказательства зрительно вызубриваются наизусть. Забываются на следующий день. Естественно, применить их к конкретной задаче он просто не может. Кстати, можете взять его «перл» в Вашу коллекцию. Развернутый угол равен 180 градусам, а свернутый угол-не более 10 градусов:))

Под моим присмотром может довести решение до конца без ошибок. Самостоятельно-никак. Нет у меня опыта работы с такими детьми. К тому же жесткие родительские рамки-улучшайте наши оценки в школе и побыстрее. Чего я уже только не придумывала, только что с бубном не танцевала. В какой-то момент стало казаться, что начал понимать, быстрее решать. А на следующее занятие приходит-опять с начала надо начинать. Сил уже нет. Планируем заниматься все лето. Будет высыпаться, будет свободен от других уроков-возможно, станет получше. Подскажите, пожалуйста, из Вашего опыта работы с такими детьми-что делать. Заранее спасибо.

Репетитор по математике Колпаков А.Н.
Ох….как много всего. А частота занятий какая Вас? Сколько раз в неделю? Я в таком случае прошу увеличить ее хотя бы до 3 раз в неделю (если родители конечно серьезно настроены переломить ситуацию).

1) У каждого ученика – свой уровень мышления и свои показатели работы памяти, свой потолок, выше которого поднять ребенка не сможет ни один репетитор по математике. У вас по всей видимости планка очень низкая.

2) Проблема с алгебраическими выражениями чаще всего случается из-за того, что ребенок или не усвоил банального – порядка, в котором выполняются алгебраические действия, или не может его быстро определить, запомнить и связать с правилами. Репетитору по математике здесь нужно провести соответствующую вычислительную работу. До изучения темы «преобразование буквенных выражений» надо поработать над пониманием формы записи числа. Когда в правиле (в формуле) вместо множителя стоит буква, а в примере она заменена числом, дети еще как то соотносят их друг с другом, но как только происходит отождествление буквы и целого выражения – начинаются проблемы.

Я рекомендуб репетиторам по математике чаще использовать прием подстановки: когда ученик понял, что некоторое равенство верно, репетитор переписывает его с заменой числа на сумму или разность других чисел (или на любое другое его представление0.  Например, можно перезаписать так .  Это упростит понимание метода группировки при разложении на множители.  Только применять прием нужно не тогда, когда изучается новая тема, а в процессе работы с другими свойствами и правилами. И делать это надо систематически, чтобы сформировать навык использования и распознания известных законов, формул и схем.

Важно вовремя и точно комментировать каждый переход. При преобразовании выражений я повторяю слабому ученику одно и то же, пока это прочно не застрянет в голове: «В чем смысл знака равно? Он означает, что если мы заменим буквы любыми числами, то результат, который получится в одном выражении окажется точно таким же, как и в другом. Сохранение гарантируют законы и формулы. Поэтому любые преобразования возможны только через них». Раз 50-70 повторишь, глядишь начнет оценивать переходы и что-то понимать 🙂

3) При раскрытии скобок заставляйте его ставить стрелки «фонтанчиком», чтобы он не пропускал пары. По ходу их раскрытия держите два карандаша (словно указкой) около текущих одночленов, которые перемножаются. До раскрытия скобок создавайте пустые окошки для вставки слагаемых.

2+3x-4)= … три поля и т.д. Чтобы ученик видел конечный формат записи.

4) В возрасте до 7-8 класса у детей почти поголовно отсутствует потребность в чем-либо глубоко разбираться, то есть обосновывать методы. Поэтому он Вам и говорит: «Скажите, что делать и я буду делать». У него просто не хватает объема памяти, чтобы целостно посмотреть на всю пройденную математику и отследить влияние тех или иных условий /фактов. Поэтому не воспринимает логику. И, естественно, не понимает, что в геометрии все нужно доказывать. Я не могу в двух словах описать, что именно должен делать в таком случае репетитор по математике, ибо нужен целый комплекс мер. Могу советовать методику «геометрия в движении», когда репетитор, двигая некоторые части рисунка, показывает несостоятельность неверных суждений. Например, при ошибке формулирования признака параллелограмма (через равенство противоположных сторон) можно показать, что равенство только внутри одной пары не приводит к появлению параллелограмма. Репетитор берет в руки два равных по длине карандаша и попорачивает один из них по отношению к другому.

Ошибка сразу становится очевидной. Параллелограмма нет.

Изменить у умственно слабого ученика его мировосприятие, в частности научить понимать логику линий и растояний, репетитору по математике редко когда удается в сжатые сроки. Это очень долгий процесс. Репетитор создает условия для «погружения» ребенка в предмет, обучая его обращать внимание на мельчайшие детали окружающей действительности (чертежа). Без практической геометрии, в которой размеренно и неспеша, начиная с 4 — 5 класса и заканчивая 6 — 7 классом, школьник учится просто рисовать линии и отклдывать углы, находить пересечения, обозначать, сравнивать, определять «на глазок» параллельность или равенство, — каши не сваришь. При погружении в геометрию в 8 классе репетитору по математике приходится использовать исключительно задачи на вычисление, не требующие никакого обоснования. Иначе не создать фундамента. Стиль работы «от теории к практике» в случае с очень слабым школьником не сработает точно. Репетитор по математике просто запутает подростка строгими рассуждениями.

5) Нельзя наказывать восьмиклассника. Это надо сказать родителям. С ребенком, тем более с подростком, нужно говорить, разъяснять ему многие вещи. Показывайте учебники старших классов. Я заметил, как только репетитор по математике начинает знакомить с содержанием программы в будущем, ребенок заостряет на этой информации свое внимание. Почему? Каждому интересно знать то, что его ожидает. Проблема мотивации изучения математики заключается в том, что дети не могут понять, как эта ненавистная математика поможет в жизни. Открывайте ему глаза какие-то вещи. Например, опишите ему реальную ситуацию: в интернете заказали шкаф, размер коробки которого по длине оказывается больше длины кабины лифта. Поэтому если ее и можно внести в кабину, то только по диагонали. Поэтому нам надо рассчитать удастся ли ее затащить в лифт? Скажите, что это можно выяснить средствами математики 10 классе, для понимания которых сейчас нужно учиться правильно выполнять преобразования. Рисуйте перспективу будущего: говорите о умственном развитии, которое дает изучение математики и которое очень ценится работодателями. Люди, связавшие свою жизнь с математикой, как правило, добиваются много в жизни. Каждый третий обитатель рублевки – выпускник МФТИ, МГТУ или МГУ. Если ребенок хочет зарабатывать, то может быть что то внутри и проснется. При комплексном подходе дети обычно перестраиваются и начинают хотя бы немного работать.

6) Летняя практика с репетитором по математике – самая лучшая стратегия на перспективу. Школа очень сильно мешает дополнительным занятиям. Задавать много не получается, текущая программа, которую ученик не понимает только съедает время впустую. Однако толку от раза в неделю будет мало (именно такой график чаще всего выбирают родители). Нужно не менее 2-3 раз.

7) Не допускайте пропусков занятий. Безусловно, 1.5 месяца санатория добавили «масла в огонь». Зависимость между уровнем развития ученика и необходимой частотой занятий — обратная. Чем ученик слабее, тем чаще и регулярнее он должен заниматься.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике, Москва, Строгино.

Что случилось с семиклассником? Причины неуспеваемости по математике. | Статья по алгебре (7 класс) на тему:

Что случилось с семиклассником? Причины неуспеваемости по математике.

Можно много говорить о любви к предмету для учеников, как важно знать математику, что язык математики это язык науки и так далее… Всё это для ребенка становится в этом возрасте не так важным. Он становится подростком, и мы учителя иногда забываем это.

Седьмой класс в школе наверное самый сложный класс для детей они уже не дети , но и не взрослые.

Родители спрашивают , что делать, как быть ? Какие причины могут быть?.

Причины, вызывающие школьную неуспеваемость:

• неблагоприятная наследственность;
• нарушения нервной деятельности;
• общая неспособность к интеллектуальному труду;
• физическая ослабленность;
• школьная незрелость;
• педагогическая запущенность;
• недостаточное развитие речи;
• боязнь школы, учителей;
• инфантилизм (т. е. детскость)
• астеническое состояние;
• снижение зрения;
• гиподинамия;
• социум;
• социально-экономическая ситуация, которая снизила материальный уровень жизни людей (родители вынуждены, кроме основной работы, подрабатывать на другой — ребёнок предоставлен сам себе).

Начнем с изучения мотивации учащихся.  Мотивация — это своего рода двигатель, приводящий в движение деятельность и побуждающий ученика учиться. Любые действия человек начинает и продолжает благодаря мотивации. Когда у подростка она сильная, говорят, что он настойчив и добивается своих целей. У учеников, которым не хватает мотивации, нет целей, которые бы заставляли их хорошо учиться, поэтому они не используют весь свой интеллектуальный потенциал. Поэтому я считаю очень важным и нужным для каждого педагога уделять необходимое внимание мотивационному этапу. Мотивационный этап — это сообщение почему и для чего уч-ся нужно знать данный раздел программы, какова основная учебная задача данной работы. Создание учебно-проблемной ситуации ( задачи, цели).

Следующая причина – низкие способности многих школьников. У школьников с низкими способностями, как правило, плохая память, они легко возбудимы или, наоборот, слишком пассивны, не могут сосредоточить внимание при восприятии нового материала, долго подключаются к работе.

Слабые учащиеся по сравнению с сильными не умеют учиться и задания в малых группах им непонятны и часто непосильны. Впрочем, когда они сидят в общей группе и не смеют пошевелиться под взглядом строгого учителя, результаты в действительности не лучше – учения не происходит. Если класс состоит из учащихся с разными способностями (heterogeneous class, mixed ability class),то там нужно учиться работать и учителю и учащимся. Учителю важно уметь организовывать работу в малых группах и не обязательно для этого бесконечно готовить карточки. Можно работать и по учебнику, только облегчать или усложнять задания. Сильные учащиеся всегда лучше адаптированы, и они могут почти весь урок работать самостоятельно. Слабым учащимся нужно больше внимания и учитель проводит с этой малой группой намного больше времени.

Всем известно, что результаты качественного обучения в средних классах зависят напрямую от их подготовленности в младшем звене, а конкретно, от знания табличного умножения, метрической системы мер, умения считать устно на все действия, решать текстовые задачи. К примеру: как я могу научить ребят десятичным и обыкновенным дробям, выполнять с ними действия, сокращать дроби, если они не знают элементарно таблицу умножения, совершенно не могут подбирать нужные числа при письменном и устном делении, к тому же, отстающие дети ещё и плохо читают.

Если встречаются учащиеся с такими элементарными незнаниями, нужно немедленно приступить к коррекции и строгому отслеживанию отработанных и запущенных тем. Необходимо также спланировать работу с отстающими детьми (план прилагается). Очень эффективно организовать отслеживание западающих тем в специальной тетради коррекции. Одна из действенных мер с отстающими – это индивидуальная, дополнительная работа во внеурочное время. Эффективна мера решения проблемы неуспеваемости – это помощь родителей, а также организация работы консультантов-учащихся на уроках.

Повторение – мать учения. Эта фраза не нова. Понятно, что усвоение любой темы требует неоднократного повторения. В условиях сокращенных часов, отведенных для прохождения программы по математике (до 5 часов в неделю), это очень проблематично.

Если говорить об ухудшении здоровья учащихся как один из факторов снижения успеваемости, то необходимо заботится о его сохранении и планировать урок в соответствии с технологиями здоровьесбережения. Это не только разнообразие форм и методов (главное не переусердствовать с ними), но и дозировка домашних заданий, смена поз учащихся на уроках (работа в статических парах, в четверках), физминутки, движение во время игровых форм, проветривание класса, использование наглядности на уроках. Все эти меры не новы, мы просто должны об этом думать каждый день, каждый урок и беречь здоровье детей.
Результаты обучения во многом зависят от учителя, его профессионализма, творческого дарования.
Одной из очень серьёзных проблем на пути повышения качества математического обучения до сих пор остаётся формирование прочных навыков устного счёта. Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики.

  Низкий уровень вычислительных навыков затрудняет усвоение ряда разделов курса математики. Значительная часть времени урока затрачивается на проведение вычислений при выполнении заданий, направленных на закрепление нового материала и повторение предыдущего. Недостаточное умение школьников производить вычисления создает дополнительные трудности и при выполнении работ практического содержания. 

Рассмотрим, какие акценты надо делать на каждом этапе урока, чтобы все учащиеся усвоили изученный материал:

1) В процессе контроля за подготовленностью учащихся.

Специально контролировать усвоение вопросов, обычно вызывающих у учеников наибольшие затруднения.

Контролировать усвоение материала учениками, пропустившими предыдущие уроки.

По окончании изучении темы или раздела обобщать итоги усвоения основных понятий, правил, умений, навыков школьниками, выявлять причины отставания.

2) При изложении нового материала.

Обязательно проверять в ходе урока степень понимания учащимися основных элементов излагаемого материала

Стимулировать вопросы со стороны учеников при затруднениях в усвоениях в усвоении учебного материала. Применять средства поддержания интереса к усвоению знаний. Обеспечивать разнообразие методов обучения, позволяющих всем учащимся активно усваивать материал.

3) В ходе самостоятельной работы учащихся на уроке.

Включать в содержание работы упражнения по устранению ошибок, допущенных при ответах и в письменных работах.

Стимулировать постановку вопросов к учителю при затруднениях в работе. Умело оказывать помощь ученикам в работе, всемерно развивая их самостоятельность.

Учить умениям планировать работу, выполнять ее в должном темпе и осуществлять контроль.

4) При организации самостоятельной работы вне класса.

Обеспечить в ходе работы повторение пройденного материала. Концентрируя внимание на наиболее существенных элементах программы, вызывающих обычно наибольшие затруднения.

Систематически давать домашние задания по работе над типичными ошибками. Четко инструктировать учеников о порядке выполнения работ, проверять степень понимания этих инструкций слабоуспевающими школьниками. Согласовать объем заданий с другими учителями класса, исключая перегрузку, особенно слабоуспевающих учеников.

При выборе дидактических мер группового подхода к неуспевающим школьникам можно использовать следующие приемы работы.

1) В процессе контроля за подготовленностью учащихсяможно применить такие меры группового подхода и помощи в учении — снижение темпа опроса, разрешение дольше готовиться у доски. Разрешать использовать наглядные пособия, схемы, плакаты. Стимулировать оценкой, подбадривание похвалой, положительной записью в дневнике.

2) При изложении нового материала

-применять меры поддержания интереса к усвоению темы (связь изучаемого с жизнью, актуальность), привлекать неуспевающих в качестве помощников при подготовке наглядных пособий, плакатов, схем.

3) В ходе самостоятельной работы учащихся на уроке

— разбивать задания на дозы, этапы, выделение в сложных заданиях ряда простых. Можно сослаться на аналогичное задание, вьполненное ранее. Напомнить прием или способ выполнения задания. Указать на необходимость актуализировать то или иное правило, формулу или определение. Инструктировать о рациональных путях выполнения заданий, требованиях к их оформлению. Стимулировать самостоятельные действия слабоуспевающих учеников, указывать на сдвиги в деятельности.
Всё выше сказанное можно адресовать учителю, но нужно знать и родителям.

Главная причина ,о которой нужно задуматься , что ребенок становится другим , он переживает подростковый кризис , гормональную бурю. Ему нужна поддержка и понимание. Ему нужна любовь и жизнь не только в школе а в мире.

Возраст 12 – 15 лет

Психофизиологические характеристики данного возраста

— подростковый кризис, гормональная буря; — период неустойчивости и неуравновешенности, нервная система находится в стадии активности; — начало полового созревания; — подъём жизнерадостности, стремление к активным действиям.

— интенсивно развивается логическая память, вырабатывается умение логически обрабатывать материал для предметного запоминания; — к 13 годам формируются физиологические основы направленного внимания; — развивается понятийное мышление.

— формируется представление о собственной личности, не всегда правильное и устойчивое; — подросток ищет покровителя, идеализирует сильного и слабого; — сравнивает себя с другими; — происходит становление стержневых избирательных интересов.

— поведение взрывоопасное, характеризуется высокой тревожностью, источником которой является реальная неуспешность школьника в двух значимых для него областях: — учение и общение со сверстниками; — особенности его сомооценки и неблагоприятный социальный опыт, перенесённые жизненные неудачи.

— уровень психического развития учащихся не в состоянии в полной мере обеспечить возможность успешного усвоения всего материала и овладения всеми необходимыми навыками.

Возможные отклонения от нормы

— сердце не успевает за ростом. Рост – тягчайшая работа организма, часто рост протекает как заболевание. Следствием этого является – полусонная задумчивость, бледность, вялость; — психическое развитие не равномерное. Находится на высоком уровне, а в период полового кризиса оно может затормаживаться и снижаться.

— в период полового созревания затрудняются операции с символами, трудно воспринимаются отвлеченные понятия; — преобладает механическое запоминание, зубрёжка – ведущая к перегрузке; — немногие учащиеся владеют приёмами группировки, классификации, сравнения.

— несоответствие уровня притязаний подростка его возможностям; — устойчивость саморегуляции низкая; — общественные интересы неустойчивы; — интерес к предмету слаб, и определяется только отношением к учителю.

— несформированность приёмов мыслительной деятельности

— неспособность понять изучаемый материал, необходимость действовать на уровне зубрёжки вызывает страх, неуверенность в оценочных ситуациях; — на уроке преобладают пассивные формы деятельности по принуждению учителя. В коллективную форму деятельности включаются неохотно; — велики различия в степени интеллектуального и мотивационного развития школьников.

Рекомендации

— создание условий для хорошего эмоционального самочувствия ребенка.

— использовать возможные вспомогательные средства для запоминания.

помочь подростку в самооценке своих личных качеств: выработка навыков саморегуляции; способности к достижению цели; потребности подростка в самовоспитании; уважение и любовь к учителю – одно из главных условий эффективности обучения.

— развивать и поощрять появление хороших черт.

— не делать попыток публично разбирать поступки ребенка, ставя его перед классом. — следить за предупреждением необдуманности в решениях, не снижать объем индивидуальной работы.

 Время как фактор успешности учения

Какое влияние оказывает время на успешность учебы школьников? Для педагогов такая постановка нова. Мы все больше имели дело со временем социальным, внешним по отношению ко внутреннему, определяющему познавательный процесс ребенка, и потому соотносили его с деятельностью педагогов и учением. В этом плане рассматривался ритм, темп, насыщенность, продолжительность урока. Я же сделала попытку обратиться к биологическому времени, внутреннему для самого человека. Это время измеряется ритмами, циклами, фазами деятельности.

Факторов успешности учения много. Среди них и генетические способности, и способности ребенка, и пол, и воспитание в семье и школе, и состояние здоровья, и мастерство учителя. Особо выделяется время как объективный и очень устойчивый независимый показатель учебной деятельности. Оно проявляется в деятельности и через деятельность, сохраняя свою автономию.

Ученые изучали влияние социального времени, согласно которому структурирована учебная деятельность в школе (четверти, семестры, триместры), на успешность учения. В результате получили семь типов, характеризующих динамику успеваемости детей. Первый тип характеризовался постоянной величиной успеваемости по всем трем временным интервалам учебной четверти. Таких детей не более 10% из обследованных 150 человек – учащихся начальной и 5–6 классов средней школы. Как правило, это были либо отличники, либо заядлые троечники. Второй тип характеризовался подъемом успеваемости к середине четверти и далее – в ее конце. К такому типу учения относятся 15% учащихся, как правило «хорошисты». Третий тип, напротив, характеризовался спадом успешности с начала четверти, через ее середину, к концу. Таких оказалось 12% учащихся. Четвертый тип – это те, кто начинает и кончает четверть лучше, чем учится в ее середине. Таких более всего – 30%. Шестой тип – те, что достигают вершины в середине и сохраняют ее в конце четверти. Их – 15% от состава изученных. Седьмой тип – те, что снизили успеваемость к середине четверти, так и не подняв ее в конце, их 10%.

Данные показали: во-первых, что тип учебной деятельности, определяемый по факту успешности, есть показатель довольно устойчивый. Почти в 70% случаев у детей сохраняется эта динамика успеваемости по определенным предметам в разные четверти года и в разные годы (изучались три учебных года). Во-вторых, успешность учебной деятельности есть величина, напрямую не связанная с социальным временем учения. Как правило, к концу четверти учителя и ученики стараются повысить успеваемость. По логике вещей, конец каждой четверти должен быть наиболее успешным, давать наиболее высокий средний балл. Данные эти не подтвердились. В-третьих, тип учебной деятельности, определяемый по успешности учения, есть характеристика индивидуальная (8).

Таким образом, у процесса обучения обнаруживается скрытая структура временного протекания, влияющая на успешность значительно сильнее, чем структура социальная.

Следующим этапом исследования стало изучение этой динамики в течение годового цикла учения. На этот раз учебные четверти заменили месяцами, средние баллы успешности просчитывали в каждый месяц отдельно. Н этих данных строили графики.

В итоге получились наиболее успешные месяцы для математики – осенние и зимние, для русского языка – осенние и зимние, для чтения – осенние, зимние, весенние. Подтвердился вывод о том, что успешность учения зависит от времени года больше, носит устойчивый характер, не зависимый от социальных условий.

Все что мы рассмотрели существует в науке, в школе, в жизни. Нужно ответить на вопрос родителей, что делать с семиклассником? Нужно переждать бурю и всё будет хорошо.

Или как сказал великий математик « Идите, идите вперед, уверенность придет к вам позже… Даламбер

Литература.

1. Гельмонт, А.М. О причинах неуспеваемости и путях ее преодоления / А.М. Гельмонт. — М.: Просвещение, 2004. — С. 326.  
2. Лешли К, Панасюк Е. Тренинг взаимодействия с неуспевающим учеником.-СПб.: Издательство «Речь», 2005. — 200 с.
3. Бадмаева С.А. «Психологическая коррекция отклоняющего поведения» – М.: Педагогика, 1993

 

«Я вообще не понимаю математику!» Женя Кац — о том, как увлечь детей точными науками

Для многих родителей математика до сих пор остается область ужаса и непонимания. Да зачем столько заниматься счетом, когда у всех есть калькуляторы? Но именно арифметика, алгебра и геометрия учат нас анализировать, проводить аналогии, рассуждать. Как развить в детях способности к точным наукам и помочь им полюбить математику «Правмиру» рассказала Женя Кац, автор методики игрового обучения детей разных возрастов «Мышематика».

— В первом классе — бесконечная арифметика. Просто счет, счет, счет. Правильно ли так заниматься математикой или нужно параллельно со счетом развивать навыки пространственного мышления? Как вообще нужно заниматься математикой с ребенком?

— Не бывает правильных или неправильных занятий математикой. Программа, которая кому-то может показаться скучной, в руках у хорошего учителя будет увлекательной. А в руках у не очень талантливого учителя окажется вредной для детей. Поэтому я бы не делила математику – эта правильная, а эта неправильная. 

Скорее, вопрос в том, удается ли взрослому, который занимается с ребенком математикой, передать свое отношение. Зачастую удается. Если учитель или родители не любят математику, то какую бы прекрасную программу он не взял, он передает, скорее всего, свое отношение: «Ненавижу математику, но мне посоветовали, эта тетрадка самая крутая, поэтому, ребенок, изволь от забора до обеда в ближайшие полтора часа решать задачки из этой увлекательной не скучной математики». Анна, я вас уверяю, таким способом можно испортить любую программу. 

Если учитель или родитель считает, что он математику не любит, то начать надо не с того, чтобы поискать увлекательную тетрадочку, а с того, чтобы изменить свое отношение, потому что очень трудно, занимаясь с ребенком, не передать его. Поэтому мне кажется, что более важно, чем делить математику на правильную и неправильную, посмотреть на нее самому и поискать то, что в ней прикольно. 

Арифметика сама по себе — это не ужас-ужас. Мы на своих занятиях стараемся ее дополнять геометрическими и логическими заданиями. Вообще-то выучить арифметику тоже полезно. Вопрос в том, как это делать?

Как играть в математику

У меня недавно вышла книжка для первоклассников про игральные кубики на уроке и ее продолжение чуть более сложное «Играем, считаем» — это две тетрадки про работу с игральным кубиком. Это то, что мы делаем и с пятилетками, и с шестилетками, и со школьниками тоже. Много разных вариантов арифметических игр. Но не таких, как очень часто в учебнике: сначала целая страница — учимся прибавлять «1». «3+1», «5+1», «4+1». 

Начинаем с того, что у нас счет в пределах шести, скажем, но мы учимся соотносить, сколько точек выпало на кубике, и количество предметов. Выпало шесть, значит, рисуй шесть домиков — столько их в твоем городе. Брось кубик еще раз, и сколько выпало, столько нарисуй елочек. Потом брось кубик еще раз, и сколько выпало, столько нарисуй кустиков. 

Женя Кац

Теперь мы ходим по городам, и я говорю: «Кто может? — раскладываем наши листочки, у всех в классе получились разные города, разное количество домиков, разное количество елочек. Я говорю: «Кто может найти город, в котором четыре кустика?» Оказывается, он не один — у Маши, у Паши, у Сережи оказались по четыре кустика. Отлично. Теперь идем и ищем, у кого шесть домиков. Это и про соотношение количества точек и количества елочек, кустиков, домиков, и про то, что у каждого свое задание.

Потом усложняем игру — сколько выпало на кубике, столько нарисуй или приклей вагончиков одного цвета. Потом сколько выпало второй раз, столько нарисуй вагончиков другого цвета. А потом напиши свой пример: сколько у тебя выпало? У тебя выпало сначала три зеленых вагончика, а потом пять красных вагончиков. Теперь посчитай, сколько у тебя всего в этом поезде вагончиков. Арифметика? Арифметика. 

Но при этом у каждого своя. И нет такого, что весь урок проходят «+1». А каждый занимается в своем темпе, каждый получает свои примеры. Ему нет смысла списывать у соседа по парте, потому что у того выпало на кубике другое. Это арифметика, но не скучная.

«Считают вслух, но не умеют мыслить и дружить». Почему отдать ребенка на ментальную арифметику — спорная идея

Я верю, что бывают учителя, которые даже такие занятия сделают скучными и противными. Но в целом, когда кубик дает возможность каких-то случайных примеров, детям это нравится гораздо больше. 

Точно также можем с двузначными числами, сколько выпало на кубике — столько возьми палочек десятков, столько возьми полосочек на 10 клеток. Потом сколько выпало второй раз на кубике, столько нарисуй единичек. Теперь посчитай, сколько у тебя всего клеток. «63». Он сам увидел — 63 это сколько? Это 6 палочек по 10 и еще 3 единички. Тогда у тебя это ассоциируется с чем-то понятным — ты видишь, сколько места у тебя занимает 63 клетки, и сколько — 36 клеток. Ты их тогда уже меньше путаешь. Ты не только слово такое знаешь, это сочетание значков называется 63, а это — 36. Ты представляешь, насколько одно больше, чем другое, просто сколько места занимает, ты видишь. Мы любим, если говорить про арифметические задания, что-нибудь такое, чтобы ребенок мог это пощупать. 

Естественно, помимо этого, мы дополняем арифметические задания самыми разными занятиями и логическими, и геометрическими, и на внимание, и на память. На самом деле если мы играли с кубиком, мы можем с этим кубиком устроить разминку: сколько выпало на кубике, столько раз хлопни. Или сначала выбери, что ты будешь делать — прыгать, хлопать или топать? Сколько выпало, столько делай, но того, что ты выбрал. Понимаете, арифметика, но при этом перевод в язык тела, чтобы прощупать это все. Это количество — это сколько?

«Пощупать» числа и понять абстракции

— Я правильно понимаю, что для ребенка очень важным этапом является абстракция?

— Да, этот этап надо во что-то превратить. Скажем, покажи, сколько выпало на одной руке, если хватит (не шесть). Покажи, сколько пальцев на одной руке, а теперь — сколько на другой, а потом сложи, сколько всего вместе. 

Знаете, что дети делают чаще всего? Они носом в этот момент начинают пересчитывать все пальцы. Причем взрослые ужасно удивляются и говорят: «Почему ты не начал с пяти? Почему ты начал пересчитывать с первого пальца?» Ребенок тогда недоумевает, что от него хотят. Он точно знает, что если начать пересчитывать с одного, ответ будет правильный, а если начать сразу с пяти, кто его знает, может, и неправильно будет. 

Поэтому мы даем много задач, в том числе, счет на пальцах, потому что если какое-то безобразие нельзя прекратить, его надо возглавить.

Если дети все равно считают на пальцах, давайте мы им поможем делать это по-разному.

То же самое «8» можно показать как «5» и «3», а можно как «4» и «4». 

Показать то же самое число на пальцах по-другому — это очень сложная для многих первоклассников задача. Взрослым кажется, что ребенок у них уже двузначные числа отлично понимает. Как показать 8, но не одному, а вдвоем. 

Во многих учебниках весь сентябрь и октябрь дети учат числа до пяти. Ребенок, этот урок про цифру «1» — одно яблочко, одна елка, один грузовик. Отметь все картинки, где чего-то по одному. Но 1, 2, 3 дети, как правило, в три-четыре года точно знают. Поэтому гораздо более осмысленно все числа до 5 проходить два урока, а потом оставшееся время потратить на 6, 7, 8. Потому что наверняка взрослые до сих пор помнят, какие примеры из таблицы умножения было сложнее всего учить — шесть на что-нибудь, семь на что-нибудь и восемь на что-нибудь. 

Со сложением — та же история. Дети чаще ошибаются не там, где надо добавить один или два, а там, где надо добавить 6, 7, 8. Так и поиграйте с 6, 7, 8 подольше. Если вы хотите помочь ребенку с арифметикой, придумывайте такие задания, где будет много этого 6, 7, 8. Или мы с вами обсуждали про вагончики, и два раза кидали кубик — возьмите и три раза киньте кубик. Выпало 6 красных вагончиков, 3 синих, 4 зеленых. Это еще одна штука, к которой дети очень быстро привыкают в школе, что пример — это обязательно из двух слагаемых. Мы попробовали собрать восемь, но уже не на двух, а на трех руках — уже тяжело. 

Нет кубика, возьмите просто карточки с каким-нибудь количеством точек, только не с цифрами написанными, а с количеством, которое можно пальчиком пересчитать. Любые карты от какой-нибудь детской карточной игры, «Турбосчет», да какой угодно. 

Пример задания: возьми любые карточки и запиши, сколько всего зверей. Сам выбери, какие три карточки ты возьмешь, три разные, но чтобы можно было пальчиком потыкать и все потом вместе пересчитать. Чтобы ребенок понимал, что эти примеры соотносятся с каким-то количеством, которое мы видим, что это не только чистая абстракция. Что мы знаем, как с этим быть потом.

Зачем считать в уме, когда у всех есть калькуляторы

— Когда есть калькуляторы, компьютеры, когда все можно быстро посчитать на телефоне — зачем арифметика? Для чего она нужна?

— На мой взгляд, умение ориентироваться в числовом ряду в любом случае ребенку пригодится. Это некая базовая красивая структура. И увидеть в этом красоту, вообще-то, тоже полезно. 

Вопрос, скорее, не в том, надо ли заниматься арифметикой, а в том, как именно ею заниматься. Можно просто считать примеры. Как некоторые говорят, нужна же отработка навыка. 

Да, она действительно нужна. Но совершенно не обязательно делать это в виде однотипных примеров. Когда говорят: «Мы купим ребенку тетрадку с 3 тысячами примеров в пределах 10», — любой математик хватается за голову, потому что в пределах 10 нет 3 тысяч примеров. Это значит, что одни и те же примеры будут встречаться ребенку много-много раз. Если он выучил, но неправильно, какой-то пример, значит, что он его закрепит. Он его много-много раз напишет и много раз неправильно — это не работает. 

Михаил Цфасман: Математика – это изучение реального нематериального мира

Когда мы играем в математику с игральным кубиком, это работает гораздо лучше, потому что примеры встречаются разные, но каждый раз ребенок считает заново, потому что такого примера у него только что не было — это та же отработка навыка. Или я показываю десять пальцев, а потом говорю: «Я сейчас загну сколько-то пальцев. Сколько пальцев я тебе не показываю?» Взрослому очевидно, что если он четыре пальца видит, он может догадаться, сколько пальцев я загнула. А для детей зачастую это совсем не очевидно, они говорят: «Ты переверни руки другой стороной, я посмотрю, сколько ты загнула. Вот так я понимаю, сколько ты загнула, я вижу, а пока не видно, я не могу сообразить».

Потом он понимает, что это та же задача. Теперь надо добавить свои пальцы, чтобы у нас вместе стало 10. Та же задача или другая? Принципиально почти та же.

Но для многих детей такая постановка вопроса уже очень сложная. Или я беру пять кубиков одного цвета и пять кубиков другого цвета, а теперь прошу ребенка: «Спрячь сколько-то кубиков, а я догадаюсь, сколько кубиков какого цвета ты спрятал». Он мне показывают, я говорю: «Ты спрятал два желтых и один зеленый». Он смотрит так обиженно и говорит: «Ты подглядывала». 

Дальше в какой-то момент ребенок уже может объяснить — нет, ты не подглядывала, ты просто подумала, что всего было 5, и если осталось 3, значит, 2 я спрятал. Когда ребенок про это может объяснить, это гораздо ценнее, чем выученное наизусть. Когда он может порассуждать и прийти к какому-то выводу. 

Арифметика — очень удобный пример, чтобы учиться рассуждать.

Мы собираем кубики всегда пятерками — вот у нас одна пятерка, вторая пятерка, третья пятерка, четвертая пятерка и вот еще один кубик. Гораздо легче посчитать, сколько у нас всего кубиков. Но это нам, взрослым, легче. У нас 5 зеленых, 5 желтых, предположим, тут еще 5 красных, 5 синих и 1 фиолетовый. Взрослый сразу смотрит — 5 кубиков 4-х цветов и еще один — это 21. Как делает первоклассник, который, с точки зрения родителей, отлично считает до 100? Он по одному пальчиком пересчитывает все кубики, первые 5, следующие 5, вот он понял, что целая палка из двух пятерок — это десятка. Что вы думаете, он после этого не пересчитывает следующую палку из двух пятерок? Пересчитывает. Это тоже арифметика. 

Умение пользоваться тем, что у нас есть пятерки, что у нас есть десятки, оно не появляется сразу. Он умеет прочитать число 23 или 140, но не может себе представить, сколько это. Поэтому основная, на мой взгляд, важность и нужность арифметических заданий в том, чтобы ребенок представлял, сколько это, а не только умел с какими-то абстрактными числами производить какие-то непонятные операции. Не знаю, ответила ли на ваш вопрос. 

Ментальная арифметика не сделает ребенка гением

— Как вы относитесь к ментальной арифметике? 

— Как вам сказать, это тоже провокационный вопрос. Зависит, как в любой методике, от преподавателя. Верю, что в ментальной арифметике тоже есть очень приятные преподаватели, с которыми детям интересно и увлекательно заниматься. 

Но не надо думать, что ментальная арифметика сразу делает из ребенка гения. У них очень смачная, хорошо продуманная реклама. Они продают не то, что «ваш ребенок будет хорошо считать». А очень понятную, ценную для родителей идею: «Если вы водите ребенка к нам занятия, это значит, что вы не ленивый родитель, и вам не жалко заплатить много денег за крутые занятия». Стало быть, они продают что? «Я хорошая мама, я сделала для ребенка достаточно много». Согласитесь, на такую рекламу гораздо больше людей клюнет.

По моему опыту, есть дети, которым эта методика очень хорошо заходит. Они отлично после этого представляют себе, что и как. А есть ребята, которые считают существенно лучше, чем до этих занятий. А после того, как перестают заниматься, у них сразу все выветривается.

Дети разные. Для кого-то эта методика хороша. Скорее, не для всех. 

Методика основывается на том, что каждое слово, обозначающее цифру, короткое. Это верно для японского и китайского языка, но неверно для русского. Поэтому некоторые их приемы на русском языке работают существенно хуже, но этого никакой популяризатор данной методики вам не расскажет. 

Не слушайте, когда скажут — «да ты гуманитарий!»

— В каком возрасте можно понять, есть ли у ребенка способности к математике? Мне в первом классе объяснили дома: математика — это точно не твое. В итоге я потом безумно любила алгебру, геометрию, учебник Сканави был моей любимой книжкой. Но несмотря на это, у меня все равно в голове есть установка — «это не моя область». Как понять, что ребенок способный, или что математика — совсем не его? 

— Математика существенно шире, чем то, что проходят в школе, и даже то, что изучают в старших классах и математических. Математика очень большая. 

Даже если мы занимаемся математикой с дошкольниками, то мы какие-то вещи берем арифметические, какие-то — геометрические. Есть дети, которые очень успешны и талантливы в любых арифметических вычислениях, у них хорошо улеглась информация про числа, они уверенно считают, быстро, они сразу видят, что 10 и 3 — это 13, им не надо пересчитывать по одному. Есть дети, которым это надо пересчитать лишний раз, но это не значит, что оно у них не уляжется. 

Точно также — с геометрическими задачами. Я собрала какую-нибудь фигурку из кубиков, даю ребенку такие же кубики и прошу сделать эту фигурку. А он пробует, пробует, так, сяк, но не та фигурка вышла. Есть дети, которые сразу видят, что и куда прицепить, чтобы сразу получилась такая же. 

Есть дети, которые более талантливы в арифметических заданиях, а менее — в геометрических, и наоборот. Но чем больше мы в это играем, тем больше шанс, что эта область разовьется. 

Я часто вижу детей 5–6 лет, которые блестяще решают геометрические задачки и не очень хорошо считают. Или, наоборот, очень хорошо считают, но не очень складывается с геометрией. Или геометрические задачки отлично, а рассуждать тяжело. Дети разные. Но если прямо сейчас ребенок не может продемонстрировать умения, это не значит, что он через полгода или через год не научится. 

Во-первых, в какой-то момент количество переходит в качество. 

Во-вторых, те или иные области мозга дозревают у детей с разной скоростью. Если вы видите ребенка девяти месяцев, который отлично ползает, но еще не пытается ходить — это нормально, он еще не ходит. А кто-то и в год еще вовсю ползает, но не ходит. А кто-то уже в девять месяцев бегает, но при этом говорить начинает ближе к трем. Это совершенно не значит, что к школе эти дети не выровняются — все будут прекрасно бегать и болтать, скорее всего. 

«Закончишь год без троек — куплю самокат!» Почему подарки не мотивируют учиться, а гуманитариев не бывает

Если ребенок-дошкольник долго не может  запомнить цифры — да, так бывает. Но это совершенно не значит, что он гуманитарий и никогда не научится математике. Да, с этими значками он пока не договорился, так бывает. Но, возможно, он сможет решать геометрические или логические задачи. Мы будем время от времени предлагать ему разные задания, в какой-то момент вдруг — раз! — и щелкнет. 

В моей любимой книжке Александра Звонкина «Малыши и математика» есть такой эпизод — он принес геометрическую головоломку на кружок для младшей дочки и для ее ровесниц. Три девочки примерно поняли, что надо делать — там надо было из нескольких деталей собрать картинки. Одна совершенно не поняла, чего от нее хотят, какую детальку куда положить, как повернуть. Совсем не поняла, чего от нее хотят. 

Через неделю они снова встретились тем же кружком и снова решили поиграть в какую-то геометрическую головоломку. И девочка, которая неделю этим не занималась, но, видимо, про это думала, вдруг раз! — и деталь на нужное место сразу кладет и понимает, чего хотят. Можно было бы после первого урока сказать: «Ну все, просто гуманитарий. С геометрией беда и никогда лучше не будет». Я бы сказала, что чем меньше таких поспешных выводов, тем лучше, и тем проще нам заниматься с детьми. 

Вообще-то, взрослые тоже, когда первый раз сталкиваются с какой-нибудь незнакомой задачей, часто с первого раза не разбираются, но это не значит, что они не могут с ней справиться. Думаю, что многие помнят, как учились водить машину. Поначалу одновременно и смотреть в зеркала, и включить поворотник, да еще и дворники включить — это сразу слишком много. Потом потихонечку какой-то из этих навыков стал автоматическим. Очень даже можно и дворники включать, и поворотники, еще болтать по пути. 

У детей то же самое. Сразу много уровней сложности не надо давать одновременно. Начинаем с того, что точно получится, потом потихонечку наращиваем сложность. Как-то так. 

Главная претензия к школьной математике

— В книге у Звонкина есть эпизод, когда он в какой-то момент пошел сам преподавать школьникам. Тогда его претензии к школьным учителям сильно уменьшились, потому что он понял — даже ему самому очень непросто. Когда он вел кружок для 4–5 мальчиков — это одно. Но когда у тебя 30 первоклассников, то гораздо сложнее с каждым поговорить, предложить им какие-то осмысленные задачи и услышать, кто что делает, и кто что на эту тему думает. Бывают дети, которые хорошо соображают, но не быстро, им нужно время на то, чтобы сформулировать мысль. 

Вообще-то математика не про скорость ответа.

Если говорить про претензии к школьному преподаванию, то самое вредное, что делает школа — приучает и детей, и родителей, что математика — это то, где надо быстро знать ответ.

Где тесты, где на скорость, где надо много-много считать, и обязательно, как моя учительница говорила, чтобы от зубов отскакивало, сколько будет семью восемь. 

Математика вообще не про это. Она про то, чтобы ты мог подумать и прийти к правильному выводу. Чтобы у тебя в голове был способ, как ты можешь порассуждать, и этот ответ получить. Тоже самое семью восемь, если ты знаешь, сколько будет семью семь, и можешь из этого семью семь получить семью восемь — это гораздо более крутое рассуждение, чем просто выученное наизусть семью восемь. 

Математика не про скорость. Я понимаю, что это основная, пожалуй, беда школьной математики, что там много вычислений и обязательно на скорость. Математика — это, скорее, про подумать, про сформулировать, про увидеть, что эта задача подобна той задаче, которую мы уже решали. Увидеть аналогию — это гораздо больше про математику, чем эти все на скорость, тесты и так далее.

А что, если родители сами не понимают?

— Если родители сами не понимают математику, что делать? 

— У меня есть книжка «Математика вприпрыжку» для учителей и родителей, и там много заданий, которые можно делать и с группой детей, и с одним ребенком. Это точно не вредно. 

Открываете в произвольном месте, выбираете игру, которая радует вас, и пробуете. Если она понравилась ребенку — играете, не понравилась — отложите, попробуйте какую-нибудь другую игру. Это точно не надо делать обязаловкой. 

Если вдруг вы в Москве и хотите прийти к нам на занятие мышематикой, у нас в 25 местах по всей Москве есть группы для дошкольников, в 10 местах — математика для первого, второго класса. Кроме того, мы во время карантина сделали для родителей, которые живут далеко, онлайн курс, который называется «Мышематика дома». Это пакет видеоуроков, и родители могут просмотреть их вместе с ребенком, распечатать все, что им понадобится для занятий. 

В общем, там ничего хитрого, все распечатываете и играете. Можно играть во все игры, про которые мы там пишем. А можно выбрать одну любую игру, которая вам понравилась, и в нее играть хоть каждый день, это точно будет лучше, чем ничего. 

— Бывают ситуации, когда родитель сам не может решить задачу и найти все ответы. Я знаю, что у вас в одной из тетрадок по мышематике нужно бабочек дорисовать. Меня не хватило. 

— Бабочки ужасно сложные. У бабочки с вертикальной осью симметрии нормально, с горизонтальной нормально. Когда ось симметрии наискосок, то это очень сложная задача, я знаю. 

«Вычисляю квадратный корень, покрываясь холодным потом». Почему мы боимся математики

Опять же есть взрослые, которые готовы в этом признаться, что им это сложно, но не все взрослые такие. Зачастую родители заглядывают ребенку через плечо и говорят: «Тут же симметрия, это легко. Что ты там застрял? Что за глупости? Ну-ка, давай». Хотя если ты видишь, что ребенку объективно сложно, значит, отложите эту задачу и решайте какие-то более простые или играйте в симметрию с ножницами. 

Опять же у нас есть свежая тетрадка «Математика с ножницами», она от простого к сложному — как сделать маску, как сделать хоровод — всякие прикладные штуки, а потом уже научиться вырезать хитрые снежинки. Но начинаем с чего-то простого и посильного. 

Если делать маленькие шаги, то можно научиться делать что-то более сложное. Если сразу дать сложную задачу, то и взрослый, и ребенок, скорее всего, бросят и скажут: «Нет, это слишком трудно. Вообще не люблю математику». 

Вместо олимпиад лучше поиграть в парке

— Как вы относитесь к олимпиадам по математике? С какого возраста имеет смысл в них участвовать?

— Я считаю, что олимпиада, скорее, имеет смысл с 3–4 класса, вряд ли раньше. Мне не нравится ажиотаж, когда родители начинают специально натаскивать ребенка на какие-то темы, которые часто встречаются в олимпиадах, потому что им хочется потом всем хвастаться, что «вот, мой ребенок получил диплом». Я против этой гонки вооружений. 

Мне кажется, когда ребенку самому в кайф решать задачки повышенной трудности и нестандартные — это хорошо. А когда это родительская позиция — «мы его подготовим, он будет круче всех», мне кажется, это не очень честно. Я не очень много видела первоклассников, которым нужно именно это. 

Даже если ребенку легко в школе, и хорошо дается математика, то в первом классе ему и так есть чем заняться. На мой взгляд, чем готовить его к каким-нибудь прекрасным олимпиадам, было бы полезнее лишний раз с ним поиграть в парке или в песочнице. Потому что много всяких задач в школе он и так решает. Напрягать его дополнительно совершенно не обязательно. 

— Что вы думаете по поводу советских учебников арифметики? Я смотрю, в Инстаграмме очень популярны стали сейчас репринты этих учебников 20-х, 30-х, 40-х годов. Мамы рассказывают, какая прекрасная понятная система, не чета нашим программам. Что вы про них думаете?

— Я думаю, что если родителей радует учебник, то им уже приятнее по нему заниматься с ребенком, это важный фактор. Но если ребенку учебник этот не нравится, то выбирайте какие-то другие способы. 

Я бы искала то, что радует и ребенка, и родителя.

Область страха, ужаса и непонимания

— Что делать, чтобы для ребенка математика не была областью страха, ужаса, непонимания? Как часто заниматься? 

— Я бы предложила как можно больше игр с разным наглядным материалом. Берете себе пять кубиков и ребенку пять кубиков. «Собери из этих кубиков какую хочешь башенку, а я за тобой повторю». Потому что прежде, чем понимать, что это равно этому, хорошо бы попробовать на каком-нибудь геометрическом материале, а не арифметическом. 

Если помните, у Звонкина было подробно про феномен Пиаже — разложили те же самые пять кубиков одни кучкой, а другие — широко. И многие дети в 4–5 лет уже уверены, что те, которые широко разложены — их много, а которые кучкой маленькой лежат — тех мало. У них не сформировано представление о том, что количество неизменно. 

Но геометрические задачи в этом же возрасте ребенок отлично может решать. Причем зачастую он вам придумывает какую-нибудь хитрую штуку, а вы за ним повторяете. Если вы иногда вдруг ошибетесь, он будет говорить: «Нет, смотри, ты этот кубик поставь вот так, а не так». Геометрические задания с любым материалом — с кубиками, с арками, с кирпичиками, с мозаикой — это полезно. 

Опять же арифметические игры, но либо с игральным кубиком, либо то, что мы называем перевод с языка на язык. Если я говорю: «Кар», — это значит один раз поднять руки. Если: «Кар-кар», — то два раза. Если, например: «Ква», — то подпрыгнуть. А если: «Ква, ква», — то два раза подпрыгнуть. Потом я даю задание, например: «Кар. Ква-ква-ква». И надо услышать, запомнить и сделать столько движений. Для многих детей дошкольного возраста это, во-первых, длинная сложная инструкция, а во-вторых, им трудно пересчитать на слух, сколько раз я что сказала. Это гораздо важнее, чем умение писать циферки. Это умение пересчитывать. 

Или, скажем, можно на спине писать точки. Не цифры писать на спине, а ребенку нарисовать три точки, четыре точки. Или попросить на пальцах показать, сколько точек на спине вы ему нарисовали — это очень непростое будет для ребенка занятие. 

Потом попросите его нарисовать точки вам, только рисовать медленно и самому точно знать, чтобы он мог проверить, знал, сколько он вам точек нарисовал. Такого типа задачи. 

Или взять счетные палочки и сложить из них картинку на кухне, а потом сходить, запомнить ее, и в комнате сложить точно такую же. Какие-то игры на внимание, на память с разным геометрическим материалом хорошо подходят, причем для любого возраста. Они точно развивают пространственное мышление и разные математические представления.

— Часто ли вам встречались дети, у которых совсем плохо с математикой?

— Когда мы говорим про дошкольников, то очень сложно понять, что именно ребенок не понимает. Зачастую он не готов действовать по чужим правилам. Очень часто дошкольнику говоришь: «Сколько у тебя выпало на кубике, столько наклеек наклей». Он отвечает: «Я хочу не столько. Я хочу наклеить столько, сколько мне нравится». Значит ли это, что у него плохо с математикой, он не может пересчитать, сколько тут точек и не может приклеить столько наклеек? Нет, скорее всего, не значит. Он просто привык делать все по своим правилам и не готов слушать чужие. 

Может быть, в школе такого ребенка запишут в неуспевающего, потому что он не делает то, что попросили. Но это значит, что у него плохо с произвольностью. Причем родители говорят: «Нет, он может часами заниматься чем-то, например, строить из “Лего”». Но строить из «Лего» он выбрал сам, а считать «2+3» он не выбирал. И наклеивать ровно столько наклеек, сколько выпало — тоже. Зачастую проблема, когда ребенок не может выполнить какие-то задания, это связано с отсутствием произвольности — он не готов просто действовать по заданию. Это действительно мешает ему учиться.

Мы на мышематику набираем группы детей 5–6 лет, а самых маленьких, меньше 4-х, не набираем. С группами 4-х лет самая большая проблема. Дело не в том, что они цифры не знают или писать не умеют, некоторые умеют, некоторые нет, это неважно. Самая большая проблема с четырехлетками в том, что они не готовы делать то, что попросил учитель, даже если это просто. Совершенно невозможно учить ребенка чему-нибудь, пока он не готов учиться.

Как решить проблемы с математикой

Основные идеи

• Трудности в изучении математики знакомы многим детям.
• Их способности ни при чем: освоить эту науку мешают психологические причины.
• Красота и логика — только они помогут понять и полюбить этот предмет.

«Только и учим, что эту математику! — жалуется Ирина, мама 11-летней Алисы. — Дочь вроде бы формулы знает, а все равно спотыкается на каждом шагу. Иногда сложную задачу решит, а простую нет. Контрольные — это ужас для всей семьи. Ребенок весь на нервах, у нас с мужем головная боль. Никогда не знаешь, напишет она на четыре или двойку принесет. Занимаемся все выходные, и никакого прогресса!»

Я очень хорошо понимаю Алису. Помню, какую тоску навевали на меня в школе все эти уравнения, функции и тангенсы. Даже нелюбимые химия и физика были мне ближе: я могла хоть как-то соотнести их с собственным опытом. Но «а плюс b разделить на с» были бесконечно далеки от моей жизни.

Нас с Алисой нельзя назвать исключением. В каждом классе встречаются дети, для которых математика — сплошное мучение. А их родители мучаются вопросами, как к этому относиться и чем они могут помочь.

Нужна ли детям математика?

Проблемы эти есть повсюду. В прошлом году газета The New York Times начала дискуссию на тему, нужна ли детям алгебра, если каждый четвертый ученик в США не заканчивает школу из-за проблем с этим предметом.

А во Франции министр образования и науки Клод Аллегрэ, сам ученый-геофизик, всерьез обсуждал вопрос об отмене преподавания математики в школе, поскольку многие дети не справляются даже с элементарными задачами.

Так нужна ли математика всем детям? «Моей дочке — нет, она гуманитарий, как и я, пойдет на филфак, — уверена 36-летняя Марина. — Нам главное, чтобы по литературе, русскому, истории были пятерки, а по математике — лишь бы не двойка».

«Это мучительный вопрос: насколько глубоко нужно знать математику тем, кому она вроде бы не нужна? — размышляет писатель и математик Леонид Костюков. — Но кто такие гуманитарии? На одну десятую — люди искусства, и на девять десятых — люди культуры.

Людям искусства (художнику, поэту, актеру) математика, наверное, для творчества не обязательна. Но людям культуры — историку, филологу, редактору, издателю, журналисту — никак не обойтись без системного мышления. А именно математика воспитывает, дисциплинирует ум».

Курс математики устроен невероятно изящно, красиво, логично. Учить надо очень мало, гораздо больше нужно понимать

Я впервые задумалась, не напрасно ли пренебрегала математикой, когда стала писать диссертацию. Тема была сугубо филологической — но каких же мучений мне стоило упорядочить весь огромный фактический материал и убедительно обосновать свою концепцию! Логическое мышление — вот с чем была проблема. Но раз я все же справилась с диссертацией, то, может, я не так безнадежна по части логики, как когда-то казалось мне и моим родителям?

Самый сложный предмет?

Если у ребенка возникают трудности с математикой, у нас всегда есть наготове ответ: значит, нет математических способностей. И на этом мы как бы закрываем тему: на нет и суда нет. Другими словами, мы легко соглашаемся: математика так трудна, что справиться с ней могут не все. И мы утешаемся тем, что по другим дисциплинам наш ребенок вполне (или прекрасно) успевает.

Леонид Костюков, опытный репетитор, уверен, что преподает один из самых легких предметов: «Курс математики устроен невероятно изящно, красиво, логично. Учить надо очень мало, гораздо больше нужно понимать. Если я не помню формулу, но помню, откуда она следует, — я могу ее быстро вывести. Ни в каких других школьных науках такой возможности нет».

По его мнению, если ребенок успевает по другим предметам, нет никаких причин, чтобы он не справился с математикой. «Если у него, например, хорошо идет английский, значит, с логикой у него все в порядке, потому что английский язык устроен очень логично. Более того, объективно он сложней, чем язык школьной математики. Значит, этот ребенок должен успевать и в математике». Так почему же на практике это не так?

Когда проблемы нарастают как снежный ком

«Математика дает наиболее чистое и непосредственное переживание истины», — полагал немецкий физик, лауреат Нобелевской премии Макс Лауэ в книге «Страницы жизни Ландау». И в каждом классе найдутся дети, которым знакомо это переживание, которые испытывают наслаждение, например, от красивого решения задачи. Что отличает школьников, хорошо успевающих по математике?

«Как правило, это дети активные, любопытные, готовые рисковать, их не пугают проблемные ситуации, они любят делать открытия, — рассказывает детский психолог Елена Морозова. — А дети, которые боятся математики, зачастую не рассчитывают на себя, они слишком зависят от мнения родителей (учителей, одноклассников), не уверены в себе, легко верят в то, что они несообразительны.

Любая задача приводит такого ребенка в ступор: ему страшно само ожидание, что вот сейчас будет трудно и он окажется несостоятелен. Страх может стать причиной неудач и с другими предметами».

Он нарастает постепенно, как снежный ком. Например, напоминает детский психолог, в первых классах не все дети еще хорошо читают «и условие задачи могут просто не понять. Кроме того, у них еще не развито абстрактное мышление, им трудно представить себе картинку: вот поезд выходит из пункта А, а вот другой — из пункта Б, вот здесь они встречаются. И ребенок заведомо отказывается вникать в задачу: не буду даже и пытаться что-то с этим сделать».

То, что упущено в начальных классах, скажется потом, как ни в одном другом предмете. Именно потому, что в математике все логически связано.

Проблемы с математикой связаны не с интеллектуальными способностями, а с чем-то внутри ребенка, что мешает ему понимать учителя

«Если по литературе я пропустил Грибоедова, это не помешает мне изучать Тургенева, — замечает Леонид Костюков. — Но если что-то упустил по алгебре, то у меня начнутся системные проблемы. Другие предметы представляют собой определенный набор тем. Математика же, по большому счету, — это развитие одной темы. А ведь иной раз оказывается, что не все старшие школьники твердо знают даже таблицу умножения».

Причина не в математике

«У нее плохие отношения с учителем», «над ним смеются одноклассники», «она переживает, что отец ушел из семьи» — причин для неуспеваемости по любому предмету может быть много. Но существуют ли причины, которые вызывают трудности именно с математикой?

Педагог-психолог Анн Сьети уверена: математические понятия способны пробудить самые глубокие переживания. «Условие», «требуется», «доказать», «необходимо, но недостаточно» — все эти слова могут бессознательно ассоциироваться с внутренними проблемами.

«Чего стоит только пресловутый «икс» — неизвестный, за которым таится неведомо что, — говорит она. — Или другой пример: одна из моих учениц не ставила скобки в уравнениях, забывая отделить одни числа от других. А потом выяснилось, что дома ей трудно оставаться одной в своей комнате — то есть воспринимать себя отдельно от других членов семьи. Проблемы ребенка с математикой связаны не с его интеллектуальными способностями, а с чем-то внутри него, что мешает ему ясно мыслить и понимать учителя».

Вот откуда столько тревожных эмоций, которые блокируют разум.

Не выучить, а понять

Признаем: очень часто школьные неудачи выводят родителей из себя. Мы злимся, возмущаемся и критикуем ребенка, который «не старается», «не хочет понять» и вообще «плохо соображает». А эксперты единодушны: главная задача родителей прямо противоположная — уменьшить его напряжение и переживания. «Ребенка вообще не надо фиксировать на неудачах, — подчеркивает Елена Морозова. — Лучше сказать: да, это пока не получается, давай подумаем, как тебе помочь».

Нужно не вдалбливать, а последовательно подводить ребенка к самостоятельному решению

Однако это не значит «помочь выучить», как думают иногда родители. «Математику нужно понимать, почувствовать ее цельность, единство. Если просто зубрить, это будет лишь крайне утомительной и, главное, бессмысленной тренировкой для памяти», — предупреждает Леонид Костюков.

«Нужно не вдалбливать, а последовательно подводить ребенка к самостоятельному решению, — продолжает Елена Морозова. — И когда происходит этот инсайт, ребенок изумляется: «Надо же, я смог!» Получилось раз, другой, третий — и постепенно он начинает увлекаться, чувствовать свою состоятельность. Конечно, лучше всего здесь поможет специалист — учитель, которого можно попросить о дополнительных занятиях, или опытный репетитор. Но и сами родители могут попробовать совершить эти открытия вместе с ребенком».

Не обязательно после этого ученик станет блистать на уроках и приносить пятерки. Хотя оценки и становятся лучше, если на них не зацикливаться, отмечает Анн Сьети: «В конце концов, у каждого свои цели. Для одного важно не оказаться худшим в классе. А другой мечтает стать ветеринаром. Главное, чтобы дети начали чувствовать себя лучше, избавившись от тревоги и страха, и стали получать удовольствие от занятий математикой».

«Нужно преподавать математику как особую теорию красоты» 

Александр Лобок, психолог, автор книги «Другая математика»

Psychologies: Почему у многих детей математика вызывает скуку, страх, отвращение?

Александр Лобок: Это означает только одно: она принципиально неправильно для этого ребенка преподается в школе. Множество детей переживают унижение математикой. Долгие школьные годы они испытывают чувство своей непроходимой математической тупости, а учитель поддерживает это чувство либо в щадящей форме («Что поделаешь, у него гуманитарные мозги!»), либо в циничной и злобной («Ну ты тупой!»).

Многие учителя убеждены, что математические способности — «от Бога» и что причина «невменяемости» миллионов детей, не понимающих математику, в их природной ограниченности. Тогда как задача школы — помочь каждому ребенку почувствовать математический азарт и желание заниматься. Если этот интерес и любовь возникнут, ребенок будет гораздо более успешен — в том числе и в традиционном математическом обучении.

Чаще всего проблемы возникают у детей гуманитарного склада. Как в них пробудить этот азарт?

Для детей-гуманитариев важно почувствовать смысл. А традиционная школьная программа довольно часто предлагает математику как набор абстрактной «цифири», даже не пытаясь объяснить ученикам, что математика — это прежде всего философия, позволяющая совершенно по-новому взглянуть на окружающий мир. Если же детям открыть дверцу в смыслы того, чем занимается математика, — у них появляется азарт и интерес.

Например, когда объясняешь и показываешь, что математика — это такое особое волшебство, которое позволяет обсчитать весь мир. И значит, найти что-то фундаментально общее во всем мире. Например, все можно взвесить, измерить — на этом основании сравнить мальчика Петю, его любимую кошку и папин автомобиль. И вообще, оказывается, сравнить можно все во Вселенной!

А еще дети не подозревают, что математика наполнена внутренней красотой, — им тоже об этом никто не рассказывает. А ведь любая последовательность орнаментов или игра архитектурных форм — это математика. И если детям преподавать математику как особую теорию красоты, это очень может их зацепить.

Значит ли это, что освоить школьный курс математики по силам каждому ребенку?

В том виде, в каком он сегодня существует, — разумеется, нет. Да это и не нужно. А вот постигнуть эстетические и философские основания математики — это по силам и нужно всем. Благодаря этому интерес к математике — причем к самой традиционной — возникает у каждого ребенка. В том числе у тех, кто всю жизнь этот предмет ненавидел и считал себя неспособным.

Но что же делать родителям, чьи дети учатся в традиционной школе и не справляются с математикой?

Это всегда глубоко индивидуальная проблема. Но общая рекомендация может быть такой: надо найти такого педагога, который по-настоящему увлечен и математикой, и детьми.

Читайте также

Конспект «Алгебра 7 класс. Все формулы и определения»

Алгебра 7 класс. Все формулы и определения.
Краткий курс алгебры за 7 класс.

«Алгебра 7 класс. Все формулы и определения» — это краткий курс алгебры за 7 класс. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2013.

---

Выражения и их преобразования

☑ 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а:
Степенью числа а с показателем 1 называют само число а:  а¹ = а.
Степень числа а ≠ 0 с показателем 0 равна 1:  а⁰ = 1.

☑ 2. Свойства степеней с натуральными показателями:

 а^m • аⁿ = а^m+n

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

а^m : аⁿ = а^m-n, где а ≠ 0, m ≥ n

(а^m)ⁿ = а^mn

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

(ab)ⁿ = аⁿbⁿ

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

☑ 3. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Например, 5а²х, –3а²b³, 4, х, у⁵ — одночлены.

 Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена –8а²b⁴ равна 6.

☑ 4. Многочленом называют сумму одночленов. Например, 3х⁵ – 4х² + 1, 7a³b – ab² + ab + 6—многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена 5х³у + 3х²у⁵ + ху равна степени одночлена 3х²у⁵, т. е. равна 7.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

☑ 5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,

(3аb + 5с²) + (ab – с²) = 3ab + 5с² + ab – с² = 4аb + 4с²

При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,

(6x² – у) – (2x² – 8у) = 6х² – у – 2х² + 8у = 4х² + 7у

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например,

а² (3аb – b³ + 1) = 3а³b – а²b³ + а²

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например,

(5х – 1)(3х + 2) = 15x² – Зx + 10x – 2 = 15x² + 7x – 2

☑ 6. Формулы сокращённого умножения:

(а + b)² = а² + 2аb + b²

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

(а – b)² = а² – 2аb + b²

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

(а + b)³ = а³ + 3а²b + 3ab² + b³

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(а – b)³ = а³ – 3а²b + Заb² – b³

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(а – b)(а + b) = а² – b²

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

а³ + b³ = (а + b)(a² – аb + b²)

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

а³ – b³ = (а – b)(a² + ab + b²)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

☑ 7. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов.

Для разложения многочленов на множители применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Например, многочлен 5х³ – х²у можно разложить на множители, вынеся за скобки х²:

5х³ – х²у = х² (5х – у).

Многочлен 3х – 3у – ах + ау можно разложить на множители, используя способ группировки:

3х – 3у – ах + ау = (3x – 3у) – (ах – ау) = 3(х – у) – а (х – у) = (х – у)(3 – а).

Многочлен а⁴ – 25x² можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов двух выражений:

а⁴ – 25x² = (а²)² – (5x)² = (а² – 5x)(а² + 5x).

Иногда многочлен удаётся разложить на множители, применив последовательно несколько способов.

Уравнения

☑ 8. Корнем уравнения с одной переменной называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 8 — корень уравнения 3x +1 = 5х – 15, так как верно равенство 3•8 + 1= 5•8 – 15.

Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

☑ 9. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Например, уравнения x² = 25 и (х + 5)(х – 5) = 0 равносильны. Каждое из них имеет два корня: –5 и 5. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства:

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

☑ 10. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа.

Если а ≠ 0, то уравнение ах = b имеет единственный корень b/a.

Например, уравнение 7х = 2 имеет корень 2/7.

Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней. Например, уравнение 0 • х = 7 не имеет корней.

Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах = b является любое число.

☑ 11. Решением уравнения с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую это уравнение в верное равенство. Например, пара чисел х = -1, у = 4 — решение уравнения 5х + 3у = 7.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

В уравнении с двумя переменными можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя их знаки, и обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом получаются уравнения, равносильные исходному.

☑ 12. Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — числа.

☑ 13. Графиком уравнения с двумя переменными называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

☑ 14. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел х = 7, у = –1 — решение системы
так как является верным каждое из равенств   7 + (–1) = 6   и   2 • 7 – (–1) = 15.

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

☑ 15. Для решения систем линейных уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения.

При графическом способе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение:

• если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений, причём координаты любой точки прямой являются решением системы;
• если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, причём координаты точки пересечения прямых являются решением системы.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом:

• выражают из какого–либо уравнения системы одну переменную через другую;
• подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
• решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:

• умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали в уравнениях противоположными числами;
• складывают почленно левые и правые части уравнений системы; решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.

Функции

☑ 16. Функциональная зависимость, или функция, — это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

☑ 17. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида у = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — числа.

Графиком линейной функции у = kx + b является прямая. Число k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = kx + b.

Если k ≠ 0, то график функции у = kx + b пересекает ось х; если k = 0 и b ≠ 0, то прямая — график функции у = kx + b, параллельна оси х; если k = 0 и b = 0, то график функции совпадает с осью х.

Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.

Линейную функцию, задаваемую формулой у = kx при k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью.

 График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 — во второй и четвёртой координатных четвертях.

☑ 18. График функции у = х² — парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.

График функции у = х³ проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.

Статистические характеристики

 ☑ Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

 Модой ряда чисел называют число, которое встречается в данном ряду чаще других. Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

 Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называют число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называют среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Например, медиана ряда чисел  17, 21, 27, 29, 32, 37, 41 равна 29, а медиана ряда чисел  28, 43, 54, 56, 58, 62 равна 55.

Что делать, если в вашей средней школе нет классов AP

Очные занятия в колледже

Личное обучение в колледже — еще одна отличная идея, имеющая многие из тех же преимуществ, что и онлайн-курсы. Вы определите свою академическую готовность к работе на уровне колледжа и можете заработать кредиты, которые в конечном итоге сократят расходы на обучение в колледже. Кроме того, личное посещение занятий будет означать, что вы построите важные отношения с профессорами колледжей. Эти наставники могут помочь вам принять решение о вашем академическом будущем и даже в конечном итоге дать вам рекомендацию, если она вам понадобится.

Конечно, лично пройти курс обучения в колледже логистически сложнее, чем пройти курс онлайн. Убедитесь, что у вас есть надежный транспорт для посещения занятий, поскольку многочисленные пропуски занятий, скорее всего, негативно скажутся на вашей успеваемости. Чтобы узнать больше о занятиях в колледже в старшей школе, ознакомьтесь с этими сообщениями:

Следует ли мне посещать занятия в колледже летом?

Заработок в старшей школе: что нужно знать

10 отличий классов колледжа от старшей школы

Самостоятельная сдача экзаменов AP

классов AP — не единственный путь к получению баллов AP и признанию.Фактически, вы можете самостоятельно изучить большинство экзаменов AP. Это означает, что вы можете самостоятельно изучить содержание курса, а затем сдать экзамен в официальном экзаменационном центре. Ваш экзамен будет оцениваться точно так же, как и экзамены студентов, записавшихся в настоящие классы.

Если вы хороший независимый ученик, самостоятельная подготовка к экзамену AP может быть для вас отличным вариантом. Однако имейте в виду, что экзамены AP предлагаются только один раз в год, в мае, поэтому вам нужно будет готовиться к этим экзаменам одновременно с подготовкой к выпускным и другим обязательным курсам.Если вы сдадите экзамен AP с оценкой 3 или выше, вы сможете заработать кредит колледжа или пройти вводный курс колледжа.

Не пропустите эти важные сообщения о самостоятельной подготовке к экзаменам AP:

Могут ли тесты AP действительно сэкономить вам тысячи долларов?

Полное руководство по самостоятельному изучению AP-экзаменов

Какой экзамен AP следует изучать самостоятельно?

Контрольный список из 4 пунктов, чтобы стать ученым AP

К счастью, курсы AP не являются предпосылкой для поступления в отличный колледж.Есть много других вариантов, которые демонстрируют ваше академическое мастерство и могут даже продемонстрировать вашу способность создавать возможности для себя. Если ваша средняя школа не предлагает экзамены AP, не переживайте — вы все равно можете подать конкурсное заявление в колледж даже в самый отборный колледж.

Ищете помощь со школьным курсом в колледж? Загрузите наше бесплатное руководство для девятиклассников и наше бесплатное руководство для десятиклассников. Наши гиды подробно расскажут о предметах, начиная от академиков , выбирая курсы , стандартизированных тестов , внеклассных занятий , и многих других !

Хотите получить бесплатный доступ к профессиональному руководству колледжа? Создав бесплатную учетную запись CollegeVine, вы узнаете свои реальные шансы на поступление, составите список наиболее подходящих школ, узнаете, как улучшить свой профиль, и получите ответы на свои вопросы от экспертов и коллег — и все это бесплатно. Зарегистрируйтесь в своей учетной записи CollegeVine сегодня , чтобы ускорить свое обучение в колледже.

Чего НЕ делать, если вы не понимаете говорящих по-английски

Бестолковые означает незнакомых , нечувствительных . Представьте себя в туфлях динамика . Допустим, вы из Великобритании и разговариваете с настоящим вами за кофеваркой — может быть, вы болтаете о том, что делали на выходных, или что-то в этом роде.Итак, ваша британская версия слышит настоящий английский. Вы, кажется, довольно свободно говорите! Ваша британская версия совершенно нечувствительна к , каково это говорить на иностранном языке, потому что вы привыкли к миру, говорящему с вами по-английски.

На самом деле, большинство носителей языка не говорят на втором языке … да, я изучал французский в школе все три минуты, но не — коммуникативным способом , и мне повезло, если я все еще могу запомните одно или два слова по-французски.На самом деле, если пойти немного дальше — большинство из нас даже не знает своего собственного языка. Готов поспорить на деньги, если вы попросите обычного англичанина объяснить настоящее перфект или спросите его, что такое фразовый глагол…. большинство из них не знают. Мы плохо изучаем грамматику английского языка в школе.

Следовательно, по любой причине; высокомерие, невежество, независимо от причины; вполне вероятно, что человек, с которым вы разговариваете, не понимает, что вы пытаетесь понять .Они слышат, что вы немного говорите по-английски, и предполагают, что вы говорите свободно.

Следовательно, ставя себя на его место, правильно или неправильно — это может быть странно для этого человека, если вы внезапно отключаете немой . Он, вероятно, подумает, что вы немного странный или грубый .

Здесь мы возвращаемся к общению как улице с двусторонним движением. Иногда вам нужно рассказать людям, что творится у вас в голове! Вам необходимо сообщить, что вы не понимаете.

И это ВСЕГДА нормально признать это. Итак, урок состоит в том, что вместо того, чтобы замораживать, сделайте человека, с которым вы говорите, осознанным. Опять же, есть много способов сделать это, и вы найдете множество примеров в руководстве, но пока достаточно просто улыбнуться, и небольшое извинение может иметь большое значение:

– Простите, что не понимаю.

-Я не понимаю, не могли бы вы говорить немного помедленнее?

Причем реакция нормальный человек наверное будет, О ч да, извините! Конечно!

Теперь я хочу, чтобы вы задумались над этими вопросами: Вы когда-нибудь чувствовали себя кроликом в свете фар, говоря по-английски? Вы когда-нибудь замораживали и немой? Что случилось? Удалось ли продолжить разговор или на этом разговор закончился? Что бы вы могли сделать по-другому в следующий раз?

Не стесняйтесь оставлять любые мысли в комментариях.👇

— Английский клуб Анапа —

УСЛОВИЯ

Мисс Ирен

1 Подчеркнутый р наиболее подходящие глагольные формы в каждом предложении.

1 Если машина останавливается / остановится, нажмите / нажмет эту кнопку.

2 Я не могу понять что он видит в ней! Если кто лечит / лечит / Относился ко мне так, Я / буду / буду быть очень злым!

3 Если помогли / помогли меня с этим упражнением, я буду! сделал бы то же самое для тебя однажды.

4 Согласно расписанию, если поезд уходит / уходит время, мы приедем / приедем в 5.30.

5 Если это / будет завтра будет хорошо, пойдем / будем поехать на побережье.

6 Если мы найдем / найдем такси, мы получим / получим добраться туда до начала спектакля.

7 На самом деле это довольно просто.Если возьмешь / возьмешь / взял эти таблетки каждый день, то теряешь / потеряет / потеряет / похудела бы.

8 Мне эта квартира не нравится. я Думаю, я / 1 буду / Я буду счастливее если я буду жить / буду жить / буду жил / жил в доме в стране.

9 Я не умею играть бейсбол, но я уверен, что если я сделаю / сделал, Я играю / буду играть / много играл бы лучше всех в этой ужасной команде!

10 Если я позвоню / позвоню / позвоню ты сегодня вечером, ты / будешь вы бы были / вы бы были?

2 Подчеркните наиболее подходящий глагольные формы в каждом предложении.

1 Почему ты мне не сказал? Если ты сказал / сказал мне, Я помог / помог бы вам.

2 Если Билл не украл / не украл денег, его не было / не было / не был в тюрьме в настоящее время.

3 Если бы Энн не была за рулем / не водил / не водил так быстро, что ее машина не разбилась / не разбилась сбой / не будет врезались в дерево.

4 Позвольте мне дать вам немного совет. Если бы вы курили / курили / меньше курил, ты не чувствовал / не хотел чувствую / не чувствовал бы так усталый.

5 Какая неудача! Если Алан не упал / не упал / не упадет, он выиграл / выиграет / будет выиграл гонка.

6 Если вы пригласили / имели Пригласи меня на прошлой неделе я смог / имел мог / был бы смогли прийти.

7 Я уверен твое письмо еще не прибыл. Если бы он пришел / пришел Я уверен, что заметил / заметил заметил / был бы заметил это.

8 У нас есть предложение. Как вы себя чувствуете / чувствовали бы, если бы мы предложили / предложили бы / предложили ты работаешь помощником менеджера?

9 Если вы одолжили / имели одолжили нам деньги, мы заплатили / заплатил / заплатил вам на следующей неделе.

10 Терри никогда ничего не ловит, когда идет на рыбалку. И если он уловов / поймал / имел поймал рыбу, он бросает / бросил бы это назад!

3 Поместите каждый глагол в скобки в подходящую форму глагола.

1 Почему ты не позвонил? Если я (знаю) … знал …. вы идете, я (встречаюсь) ………………………………………….ты в аэропорту.

2 Жалко, что ты пропустил партия. если ты (прийти)……………………………………….. ………,ты (встречаемся) с моими друзьями из Венгрии.

3 Если У меня (есть) ………………………………….. мой телефон здесь с я, я (смогу) ……………………. вызвать такси сейчас, но Я оставил это дома.

4 Если вы (не помогите) ………………………………… я, я (не пройду) .. …………………………………..экзамен.

5 Это красивый дом, и я (купить) ………………………………………. это Если я (есть) ………………………….. деньги, но Я не могу себе этого позволить.

6 Я не могу представить, что я (делать)…………………………………….. с деньгами, если я (выиграть в лотерею.

7 Если Марк (поезд) …………………………………… сложнее, он (быть)……………………………………….. …………. а хороший бегун.

8 Если Клэр (слушай) …………………………………… своей матери, она (не выходит замуж)………………………………….. выйти замуж)……….. ……………………. Дэвид в первую очередь.

4 Перепишите каждое предложение, начиная, как показано. Не меняйте имея в виду.

1 У меня не было зонтика со мной и так я промок.

я не будет. промокли бы, если бы я зонтик со мной.

2 Я позвоню в полицию, если ты не оставляй меня в покое!

Если …………………………………………. ………………………………………….. ……………………….

3 В снежную погоду мы не идти в школу.

Если…………………………………………………………………….. ………………………………………….. …..

4 Без помощи Джека я не смог бы сдвинуть стол.

Если…………………………………………. ………………………………………….. ………………………………

5 Сделай мне кофе, и я дать тебе одно из моих печенья.

Если…………………………………………. ………………………………………….. ………………………………

6 Если бы ты не сказал мне о Волосы Сью я бы не заметила.

Если …………………………………………. ………………………………………….. ……………………….

7 Если вы видите Питера, скажите ему, чтобы он был здесь в 8.00.

Должен…………………………………………. ………………………………………….. ………………………

8 Я бы не согласился, если бы вы спросили жениться на тебе!

Если ты мы…………………………………………………….. ………………………………………….. ……

Мисс Ирен

5 Перепишите каждое предложение. Используйте контрактные формы.

1 Если бы я знал, я бы сказал ты.

Если Я знал, я бы сказал вам.

2 Тони не упал бы если бы он был более осторожным.

3 Если бы у меня была с собой кредитная карта, я бы купил пальто.

4 Вы бы не заблудились, если взяли карту.

5 Если бы у Грэма было не потерял часы, он бы не пропустил самолет.

6 Если бы вы не сказал мне ее имя, я бы узнал от кого-нибудь другого.

7 Если бы я был тобой, Попробую встать пораньше.

ОТВЕТЫ

1 1 остановок, Нажмите. 2 пролечил бы. 3 помогите, будет. 4 листа, будет. 5 есть, пойдет. 6 найду, достанет. 7 возьму, проиграешь. 8 Я бы был, жил. 9 сделал, играл бы. 10 телефон будешь. 2 1 сказал, будет помогли . 2 не было украли, не было бы 3 не водил, не разбился бы. 4 курил, не чувствовал бы. 5 не было упал, выиграл бы.6 пригласили; был бы в состоянии. 7 пришло, было бы обратил внимание. 8 бы вы чувствовали, предложили. 9 одолжил, заплатил бы. 10 поймал, бросил бы. 3 1 знал , встретил бы. 2 приехал, встретил бы. 3 имел, смог бы. 4 не помогло, не прошло бы. 5 купил бы, имел. 6 подойдет, выиграл. 7 обученных, было бы.8 слушал, не стал бы в браке. 4 1 Я бы не стал промок бы, если бы у меня был с собой зонт . 2 Если вы не оставите меня в покое, я позвоню в полицию. 3 Если идет снег, мы не ходи в школу. 4 Если бы Джек не помог мне, я бы не смог передвинуть стол. 5 Если вы сделаете мне кофе, я дам вам одно из своих печений. 6 Если вы не сказали мне насчет волос Сью я бы и не заметил.7 Если вы увидите Петра, скажите ему, чтобы он был здесь в 8.00. 8 Если бы ты попросил меня выйти за тебя замуж, я бы не согласился! 5 1 Если бы я знал, Я бы сказал вам . 2 Тони не упал бы, если бы был более осторожен. You May Also Like Разное Бытовые сказки о барине и мужике: Мужик и барин — русская народная сказка. Читать онлайн. Разное 4 детские песни: Влад A4 — Детские Песни (Альбом) » Скачать самые свежие новинки 2021 года в mp3 Leave a Reply Cancel 2024 © Все права защищены.