Разное

Числа от 1 до 100 сложить: как сложить все числа от 1 до 100 (умножением)

Содержание

Как найти x и зачем это нужно

Изучение математики всегда начинается с чисел. Сначала мы учимся выражать количество с помощью букв, цифр или самих предметов. А потом долгие и долгие годы складываем, вычитаем, умножаем, делим и решаем разные арифметические задачи. И за всей этой рутиной часто не видим магию чисел, способную развлечь и удивить любого, кто решится всего лишь заглянуть чуть глубже.

Вот, например, одна хитрость, с которой еще в детстве столкнулся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс[2]. Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой всей числа от 1 до 100. Вряд ли он хотел развлечь учеников – скорее, отвлечь: заставить заняться чем-нибудь нудным и требующим полного сосредоточения, а самому спокойно сделать другую работу. Представьте себе его удивление, когда через несколько секунд Гаусс вышел к доске и написал ответ – 5050. Хотите знать, как он это сделал? Он просто представил все эти числа в виде двух рядов: верхний – от 1 до 50, нижний – от 51 до 100, причем в нижнем ряду числа шли в обратном порядке, вот так:

Гаусс заметил, что сумма чисел в каждом из 50 столбцов одинаковая – 101, а значит, для того, чтобы получить искомый результат, нужно всего лишь умножить 101 на 50. Так у него и получилось 5050.

Собственно говоря, благодаря такой вот способности – не быстро считать в уме, но заставлять числа плясать под свою дудку – Гаусс и стал одним из величайших математиков XIX столетия. В этой главе мы как раз и поговорим об интересных числовых закономерностях и, конечно, увидим танец чисел. Одни из этих примеров полезны тем, что развивают способности умственного счета, другие – просто красивы.

Только что мы последовали путем гауссовой логики, чтобы получить сумму первой сотни простых чисел. Но что, если нам нужна сумма 17 из них? Или тысячи? Миллиона? Логика Гаусса позволяет подсчитывать сумму первых n чисел, где n – любое нужное вам количество! Некоторым людям легче разобраться с математическими абстракциями, если они могут их визуализировать. К примеру, числа 1, 3, 6, 10 и 15 иногда называют треугольными, потому что, заменив их соответствующим количеством кружков, можно легко сложить треугольники, вроде того, что изображен чуть ниже (конечно, один кружок треугольником можно назвать с очень большой натяжкой, но число 1, несмотря на это, все же считается треугольным). Согласно определению, треугольное число

n равняется 1 + 2 + 3 +… + n.

Посмотрите, что произойдет, если мы расположим два треугольника основаниями друг к другу, вот так:

У нас получился прямоугольник из 5 рядов и 6 столбцов – всего 30 кружков. Значит, в каждом из двух наших треугольников была половина общего их количества, то есть по 15 кружков. Мы, это, разумеется, уже знаем, но давайте применим этот же принцип к двум прямоугольникам, количество рядов в которых равно n. Точно так же составим из них прямоугольник с n рядов и n + 1 столбцов. Кружков в нем будет n ? (n + 1) – ну или в более привычной записи – n(n + 1). В результате мы получим формулу, которая позволит нам подсчитывать сумму первых n чисел:

Видите, закономерность, которую мы использовали для сложения первой сотни чисел, вполне применима к любому подобному ряду, сколько бы членов в него ни входило. И если вдруг нам понадобится сложить между собой все числа от 1 до 1 000 000, сделать это можно будет всего за два шага: перемножив 1 000 000 и 1 000 001 и разделив результат пополам.

Разобравшись в одной формуле, вы с легкостью разберетесь и в остальных. Например, если мы удвоим обе части последнего уравнения, получится формула суммы первых n четных чисел:

2 + 4 + 6 +… + 2n = n(n + 1)

А как насчет суммы первых нечетных, спр?сите вы? Давайте посмотрим, что говорят нам числа.

То, что справа – квадраты целых чисел. 1 ? 1; 2 ? 2; 3 ? 3 и т. д. Сложно не заметить следующую закономерность: сумма первых n нечетных чисел равняется n ? n. Или n?. Но что, если это просто совпадение? Чуть позже, в главе 6, мы с вами увидим несколько путей развития этой формулы, но уже и сейчас понятно, что у такой простой закономерности должно быть не менее простое объяснение. Самое мое любимое – методом подсчета кружков: он наглядно показывает, почему числа вроде 25 называются квадратами. Но почему вдруг мы должны складывать первые 5 нечетных чисел с 5?? А просто посмотрите на квадрат размером 5 на 5:

Кружков в нем 5 ? 5 = 25, это очевидно. Но давайте подсчитаем иначе. Начнем с одинокого кружка в левом верхнем углу. Его окружают 3 кружка, потом 5, потом 7 и, наконец, 9. Следовательно,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

И возьми мы квадрат со сторонами n на n, его можно будет легко разбить на n-ное количество L-образных секторов, в каждом из которых будет соответственно 1, 3, 5…., (2n – 1) кружков. Это и есть формула суммы первых n нечетных чисел

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n?

Отступление

Чуть позже мы еще вернемся к методу подсчета кружков (как и к методу решения задачи двумя разными способами), и вы увидите, к каким интересным результатам он может привести в высшей математике. Но и для понимания основ он не менее полезен. Почему, например, 3 ? 5 = 5 ? 3? Уверен, вы никогда даже не задавались таким вопросом: просто однажды в детстве вам сказали, что порядок чисел при умножении абсолютно не важен (математики, кстати, называют это

законом коммутативности). Но почему же три пакетика по пять жемчужин – это то же, что и пять пакетиков по три жемчужины? Самый простой способ объяснить этот закон – посчитать кружки в прямоугольнике размером 3 на 5. Считая ряд за рядом, мы видим 3 ряда, в каждом из них 5 кружков, то есть во всем прямоугольнике 3 ? 5 кружков. С другой стороны, мы можем подсчитать столбики, а не ряды: по 3 кружка в каждом из 5 рядов, значит, всего кружков 5 ? 3.

Эта закономерность может привести нас к другой, еще более красивой. Раз уж мы хотим заставить числа танцевать, почему бы не сделать это и с их квадратами?

Взгляните вот на такую пирамидку уравнений:

Какую закономерность вы видите? Подсчитать количество чисел в каждом ряду несложно: 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. А дальше неожиданность: первое число каждого ряда – по крайней мере, первых 5 записанных здесь рядов – является квадратом числа. И правда: 1, 4, 9, 16, 25… Почему так получается? Возьмем пятый ряд. Сколько чисел ему предшествуют? Давайте сложим их количество: 3 + 5 + 7 + 9. Прибавим к ним еще единицу, и у нас получится первое число пятого ряда – сумма первых 5 нечетных чисел, которая, как мы уже знаем, равна 5?.

А теперь просчитаем пятое уравнение, ничего к нему не добавляя. Как бы это сделал Гаусс? Если пока не обращать внимания на начальное 25, слева у нас останется 5 чисел, каждое из которых будет ровно на 5 меньше, чем соответствующее ему число справа.

То есть сумма чисел справа будет ровно на 25 больше суммы чисел слева. Но это без учета 25, которые стоят в начале. А с ними у нас получается именно тот результат, который обещан нам знаком равенства. Следуя той же логике и призвав на помощь алгебру, мы докажем, что этот ряд можно продолжать бесконечно.

Отступление

А теперь – специально для тех, кто хотел немного алгебры. Ряду n предшествует количество чисел, равное 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n? – 1, поэтому левая сторона нашего уравнения должна начинаться с числа n?, за которым следует n последовательных чисел, от n? + 1 до n? + n. Справа – n последовательных чисел, начиная с n? + n + 1, заканчивая n? + 2n. Если мы временно «забудем» про число

n? слева, то увидим, что каждое из n чисел справа на n больше, чем соответствующее ему последовательное число слева. Разница при этом составляет n ? n, то есть n?. Закономерность эта компенсируется начальным n? слева, поэтому-то левая и правая части и равны.

Перейдем к другой закономерности. Как мы уже видели, из нечетных чисел можно составлять квадраты. А теперь посмотрим, что произойдет, если собрать их в один большой треугольник – вроде того, что изображен чуть ниже.

Так отлично видно, что 3 + 5 = 8, а 7 + 9 + 11 = 27, а 13 + 15 + 17 + 19 = 64. Что общего у 1, 8, 27 и 64? Да это же полные кубы чисел! Например, если сложить между собой пять чисел пятого ряда, мы получим:

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 ? 5 ? 5 = 5?

Логика вроде бы подсказывает, что сумма чисел в ряду n будет равна n?. Но насколько верным будет этот вывод? Не простое ли это совпадение? Чтобы лучше понять эту закономерность, посмотрим на числа в середине 1, 3 и 5 рядов. Что мы видим? 1, 9 и 25. То есть квадраты. В середине 2 и 4 рядов чисел нет, но по сторонам центра 2 ряда видим числа 3 и 5, среднее арифметическое которых – 4, а по сторонам центра 4 ряда – 15 и 17 со средним арифметическим 16. Давайте подумаем, как эту закономерность можно использовать.

Снова возьмем 4 ряд. Что мы тут видим? А видим мы, что сумма всех чисел в нем есть 5? – и не нужно к ним ничего добавлять, чтобы заметить: все они симметрично расположены вокруг 25. Так как среднее арифметическое этих чисел – 5?, уравнение преобразуется в 5? + 5? + 5? + 5? + 5? = 5 ? 5?, то есть 5?. То же справедливо и в отношении 4 ряда: среднее арифметическое всех чисел в нем – 4?, их сумма – 4?. Чуть-чуть алгебры (к которой мы здесь не прибегаем), и вы легко сделаете вывод, что среднее арифметическое n чисел ряда n равно n?, а их сумма равна n?, что и требовалось доказать.

Кстати, если уж мы взялись оперировать квадратами и кубами, не могу удержаться, чтобы не указать вам на еще одну закономерность. Что получится, если сложить кубы чисел, начиная с 1??

Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т. д. – числа, которые являются полными квадратами. Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. – треугольных чисел! Мы уже знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,

1? + 2? + 3? + 4? + 5? = 225 = 15? = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)?

Другими словами, сумма кубов первых n чисел есть квадрат суммы этих самых первых n чисел. Подтвердить это мы пока не можем, но в главе 6 пару доказательств увидим.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Урок 3. счёт десятками. образование и запись чисел от 20 до 100 - Математика - 2 класс

Математика, 2 класс

Урок №3. Счёт десятками. Образование и запись чисел от 20 до 100

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

- Что такое круглые числа?

- Как образуются числа от 20 до 100?

Глоссарий по теме:

Десяток – счётная единица, равная десяти, а также десять одинаковых предметов.

Круглое число – число, которое оканчивается одним или несколькими нулями.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1.–8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.6

2. Волкова А. Д. Математика. Проверочные работы. 2 кл.: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2017.- с. 4, 8

3. Волкова С. И. Математика. Тетрадь учебных достижений. 2 кл.: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2017.- с.12

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Возьмем счётные палочки. Отсчитаем десять палочек и свяжем их в пучок. По-другому это один десяток. Один десяток – это десять палочек.

Оказывается десятки можно считать как обычные числа.

Отсчитаем еще десять палочек и тоже свяжем их в пучок. Получим два десятка.

Возьмем следующие десять палочек, свяжем их в третий пучок. Получим три десятка.

Возьмем еще десять палочек, свяжем в пучок. Получим четыре десятка.

Далее получим, связав еще десять палочек, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков, девять десятков и десять десятков.

Давайте посчитаем десятками 1дес., 2 дес., 3 дес., 4дес., 5 дес., 6 дес., 7 дес., 8 дес., 9 дес., 10 дес.

Название числа 20 образуется из двух слов: «два» и «дцать. Слово «дцать»  – означает «десять».

2 десятка– двадцать,

3 десятка – тридцать,

4 десятка – сорок,

5 десятков –пятьдесят,

6 десятков– шестьдесят,

7 десятков – семьдесят,

8 десятков – восемьдесят,

9 десятков – девяносто,

10 десятков – сто или сотня.

Названия всех вышеперечисленных чисел, кроме трех: сорок, девяносто и сто, образуются  одинаково: сначала называется число десятков, а затем добавляется слово «дцать». Названия чисел «сорок», «девяносто» и «сто» нужно просто запомнить. 

Как же эти числа записать цифрами?

А так: «дес.» заменим цифрой «ноль». Получаются следующие записи:

1дес.–10

2дес.–20

3дес.–30

4дес. – 40

5дес. – 50

6дес. – 60

7дес. – 70

8дес. – 80

9дес. – 90

10дес. – 100

Такие числа называются круглыми, так как в их записи на конце стоит ноль.

Чтобы сложить или вычесть круглые числа, можно сложить или вычесть десятки и приписать справа 0.

Давайте попробуем

5дес. + 2 дес. = 7 дес. Значит:

50 + 20 = 70

6 дес. – 2 дес. = 4дес., значит:

60 – 20=40

Как же будем сравнивать круглые двузначные числа?

Давайте сравним числа 50 и 90

Чтобы сравнить два круглых двузначных числа, мы должны сравнить десятки;

50 – это 5десятков, а

70 – это 7 десятков,

5 дес. < 7дес., значит, 50 < 70

Вывод: десятками считают точно так же, как и единицами.

Тренировочные задания.

1. Расставьте знаки +, , вместо звездочек, чтобы запись стала верной

60*20*10=50

60*20*10=30

60*20*10=90

60*20*10=70

Правильные ответы:

60 – 20+10=50

60 – 20 – 10=30

60+20+10=90

60+20 – 10=70

2 . Решите примеры, ответы выделите цветом по вертикали и горизонтали

1. десять или …

2. 10 + 20

3. 50 + 50

4. 90 – 70

5. 80 – 40

В

С

О

Р

О

К

Д

Ь

Е

Д

Ы

Ж

П

У

Л

Ч

С

С

Л

Е

Д

В

А

Д

Ц

А

Т

Ь

Г

С

Л

О

Т

Т

М

И

О

Я

О

Я

Р

Н

Н

О

О

С

Т

Г

С

Т

Т

Р

И

Д

Ц

А

Т

Ь

Т

О

И

О

Т

И

Ч

Е

С

К

И

К

Правильные ответы:

  1. Десяток
  2. Тридцать
  3. Сто
  4. Двадцать
  5. Сорок

правило Гаусса. Задачи на использование правила Гаусса

Содержимое:

Целые числа – это числа, не содержащие дробную или десятичную часть. Если в задаче требуется сложить определенное количество целых чисел от 1 до заданного значения N, то их не нужно складывать вручную. Вместо этого воспользуйтесь формулой (N(N+1))/2, где N - наибольшее число ряда.

Шаги

  1. 1 Определите наибольшее целое число (N). Суммируя целые числа от 1 до любого заданного числа N, вы должны определить значение N (N не может быть десятичным числом или дробью или отрицательным числом).
    • Пример. Найдите сумму всех целых чисел от 1 до 100. В этом случае N=100, так как это наибольшее (и конечное) число данного вам числового ряда.
  2. 2 Умножьте N на (N +1) и разделите результат умножения на 2. Когда вы определили целое значение N, подставьте его в формулу (N(N+1))/2 и вы найдете сумму всех целых чисел от 1 до N.
    • Пример. Подставьте N=100 и получите (100(100+1))/2.
  3. 3 Запишите ответ. Окончательный ответ есть сумма всех целых чисел от 1 до данного N.
    • Пример.
      • (100(100+1))/2 =
      • (100(101))/2 =
      • (10100)/2 = 5050
      • Сумма всех целых чисел от 1 до 100 равна 5050.
  4. 4 Вывод формулы (N(N+1))/2. Еще раз рассмотрим вышеописанный пример. Мысленно разделите ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 на два ряда - первый от 1 до 50, а второй от 51 до 100. Если вы сложите первое число (1) первого ряда и последнее число (100) второго ряда, то вы получите 101. Вы также получите 101, если сложите 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97, и так далее. Если каждое число первой группы сложить с соответствующим числом второй группы, то в итоге мы получим 50 чисел, каждое из которых равно 101. Поэтому 50*101 = 5050 - сумма чисел от 1 до 100. Обратите внимание, что 50 = 100/2 и 101 = 100 + 1. На самом деле это справедливо для суммы любых положительных целых чисел: их суммирование можно разбить на два этапа с двумя рядами чисел, причем соответствующие числа в каждом ряду могут быть сложены друг с другом, а результат сложения будет одинаковым.
    • Можно сказать, что сумма целых чисел от 1 до N равна (N/2)(N+1). Упрощенная запись этой формулы есть формула (N(N+1))/2.

Вычисление суммы чисел, расположенных между двумя числами, посредством суммы от 1 до N

  1. 1 Определите вариант суммирования (включительно или нет). Часто в задачах вместо того, чтобы найти сумму чисел от 1 до заданного числа N, просят найти сумму целых чисел от N 1 до N 2 , где N 2 > N 1 и оба числа > 1. Вычислить такую сумму довольно просто, но, прежде чем приступать к вычислениям, вы должны определить, включаются ли данные числа в N 1 и N 2 в конечную сумму или нет.
  2. 2 Чтобы найти сумму целых чисел между двумя числами N 1 and N 2 , отдельно найдите сумму до N 1 , отдельно найдите сумму до N 2 и вычтите их друг из друга (вычтите сумму до меньшего значения N из суммы до большего значения N). При этом важно знать, суммировать ли включительно или нет. При суммировании включительно вы должны вычесть 1 из данного значения N 1 ; в противном случае вы должны вычесть 1 из данного значения N 2 .
    • Пример. Найдем сумму («включительно») целых чисел от N 1 = 75 до N 2 = 100. Другими словами, мы должны найти 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Чтобы решить задачу, мы должны найти сумму целых чисел от 1 до N 1 -1, а затем вычесть ее от суммы чисел от 1 до N 2 (запомните: при суммировании включительно мы вычитаем 1 из N 1):
      • (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
      • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
      • 5050 - (74(75))/2 =
      • 5050 - 5550/2 =
      • 5050 - 2775 = 2275. Сумма чисел от 75 до 100 («включительно») равна 2275.
    • Теперь найдем сумму чисел без включения данных чисел (другими словами, мы должны найти 76 + 77 + ... + 99). В этом случае мы вычитаем 1 из N 2:
      • ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
      • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
      • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
      • 9900/2 - 5700/2 =
      • 4950 - 2850 = 2100. Сумма чисел от 75 до 100 (без включения этих чисел) равна 2100.
  3. 3 Уясните процесс. Представьте себе сумму целых чисел от 1 до 100 как 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 и сумму целых чисел от 1 до 75 как 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Сумма целых чисел от 75 до 100 («включительно») есть вычисление: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Сумма чисел от 1 до 75 и сумма чисел от 1 до 100 равны до числа 75, но сумма чисел от 1 до 100 после числа 75 продолжается: … + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Таким образом, вычитая сумму чисел от 1 до 75 из суммы чисел от 1 до 100 мы «изолируем» сумму целых чисел от 75 до 100.
    • Если мы суммируем включительно, мы должны использовать сумму от 1 до 74, а не на сумму от 1 до 75, чтобы включить число 75 в конечную сумму.
    • Аналогично, если мы суммируем без включения данных чисел, мы должны использовать сумму от 1 до 99, а не на сумму от 1 до 100, чтобы исключить число 100 из конечной суммы. Мы можем использовать сумму от 1 до 75, так как ее вычитание из суммы от 1 до 99 исключает число 75 из конечной суммы.
  • В результате вычисления суммы всегда получается целое число, потому что либо N, либо N +1 – четное число, которое делится на 2 без остатка.
  • Сумма = Сумма – Сумма.
  • Другими словами: Сумма = n(n+1)/2

Предупреждения

  • Хотя распространить этот метод на отрицательные числа не очень сложно, в данной статье рассматриваются только любые положительные целые числа N, где N больше или равно 1.

Цикл «Занимательная математика» посвящен деткам увлекающимся математикой и родителям, которые уделяют время развитию своих детей, «подкидывая» им интересные и занимательные задачки, головоломки.

Первая статья из этого цикла посвящена правилу Гаусса.

Немного истории

Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) с раннего детства отличался от своих сверстников. Несмотря на то, что он был из небогатой семьи, он достаточно рано научился читать, писать, считать. В его биографии есть даже упоминание того, что в возрасте 4-5 лет он смог скорректировать ошибку в неверных подсчетах отца, просто наблюдая за ним.

Одно из первых его открытий было сделано в возрасте 6 лет на уроке математики. Учителю было необходимо увлечь детей на продолжительное время и он предложил следующую задачку:

Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс справился с этим заданием достаточно быстро, найдя интересную закономерность, которая получила большое распространение и применяется по сей день при устном счете.

Давайте попробуем решить эту задачку устно. Но для начала возьмем числа от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Посмотрите внимательно на эту сумму и попробуйте догадаться, что же необычного смог разглядеть Гаусс? Для ответа необходимо хорошо представлять себе состав чисел.

Гаусс сгруппировал числа следующим образом:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Таким образом маленький Карл получил 5 пар чисел, каждая из которых в отдельности в сумме дает 11. Тогда, чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10 необходимо

Вернемся к первоначальной задаче. Гаусс заметил, что перед суммированием необходимо группировать числа в пары и тем самым изобрел алгоритм, благодаря которому можно быстро сложить числа от 1 до100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

    Находим количество пар в ряде натуральных чисел. В данном случае их 50.

    Суммируем первое и последнее числа данного ряда. В нашем примере — это 1 и 100. Получаем 101.

    Умножаем полученную сумму первого и последнего члена ряда на количество пар этого ряда. Получаем 101 * 50 = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.

Задачи на использование правила Гаусса

А сейчас вашему вниманию предлагаются задачи, в которых в той или иной степени используется правило Гаусса. Эти задачки вполне способен понять и решить четвероклассник.

Можно дать возможность ребенку порассуждать самому, чтобы он сам «изобрел» это правило. А можно разобрать вместе и посмотреть как он сможет его применить. Среди ниже приведенных задач есть примеры, в которых нужно понять как модифицировать правило Гаусса, чтобы его применить к данной последовательности.

В любом случае, чтобы ребенок мог оперировать этим в своих вычислениях необходимо понимание алгоритма Гаусса, то есть умение разбить правильно по парам и посчитать.

Важно! Если будет заучена формула без понимания, то это очень быстро будет забыто.

Задача 1

Найти сумму чисел:

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
  • 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Решение.

Вначале можно дать возможность ребенку самому решить первый пример и предложить найти способ, при котором это сделать легко в уме. Далее разобрать этот пример вместе с ребенком и показать как это сделал Гаусс. Лучше всего для наглядности записать ряд и соединить линиями пары чисел, дающие в сумме одинаковое число. Важно, чтобы ребенок понял как образуются пары — берем самое маленькое и самое большое из оставшихся чисел при условии, что количество чисел в ряду четно.

  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
  • 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача 2

Имеется 9 гирь весом 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Можно ли разложить эти гири на три кучки с равным весом?

Решение.

С помощью правила Гаусса находим сумму всех весов:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (г)

Значит, если мы сможем сгруппировать гири так, чтобы в каждой кучке были гири суммарным весом 15г, то задача решена.

Один из вариантов:

  • 9г, 6г
  • 8г, 7г
  • 5г, 4г, 3г, 2г, 1г

Другие возможные варианты найдите сами с ребенком.

Обратите внимание ребенка на то, что когда решаются подобные задачи лучше всегда начинать группировать с большего веса (числа).

Задача 3

Можно ли разделить циферблат часов прямой линией на две части так, чтобы суммы чисел в каждой части были равны?

Решение.

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим, делится ли она на 2:

Значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

Следовательно, надо провести линию на циферблате так, чтобы 3 пары попали в одну половину, а три в другую.

Ответ: линия пройдет между числами 3 и 4, а затем между числами 9 и 10.

Задача 4

Можно ли провести на циферблате часов две прямые линией так, чтобы в каждой части сумма чисел была одинаковой?

Решение.

Для начала к ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 применим правило Гаусса: найдем сумму и посмотрим делиться ли она на 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 делиться на 3 без остатка, значит разделить можно. Теперь посмотрим как.

По правилу Гаусса у нас получается 6 пар чисел, каждая из которых в сумме дает 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Следовательно, надо провести линии на циферблате так, чтобы в каждую часть попали по 2 пары.

Ответ: первая линия пройдет между числами 2 и 3, а затем между числами 10 и 11; вторая линия — между числами 4 и 5, а затем между 8 и 9.

Задача 5

Летит стая птиц. Впереди одна птица (вожак), за ней две, потом три, четыре и т. д. Сколько птиц в стае, если в последнем ряду их 20?

Решение.

Получаем, что нам необходимо сложить числа от 1 до 20. А к вычислению такой суммы можно применить правило Гаусса:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Как рассадить 45 кроликов в 9 клеток так, чтобы во всех клетках было разное количество кроликов?

Решение.

Если ребенок решил и с пониманием разобрал примеры из задания 1, то тут же вспоминается, что 45 это сумма чисел от 1 до 9. Следовательно, сажаем кроликов так:

  • первая клетка — 1,
  • вторая — 2,
  • третья — 3,
  • восьмая — 8,
  • девятая — 9.

Но если ребенок сразу не может сообразить, то попробуйте натолкнуть его на мысль о том, что подобные задачи можно решить перебором и надо начинать с минимального числа.

Задача 7

Вычислить сумму, используя прием Гаусса:

  • 31 + 32 + 33 + … + 40;
  • 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
  • 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Решение.

  • 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
  • 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
  • 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
  • 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Имеется набор из 12 гирек массой 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г, 10г, 11г, 12г. Из набора убрали 4 гирьки, общая масса которых равна трети общей массы всего набора гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 4 штуки на каждой чашке так, чтобы они оказались в равновесии?

Решение.

Применяем правило Гаусса, чтобы найти общую массу гирек:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (г)

Вычисляем массу гирек, которые убрали:

Следовательно, оставшиеся гирьки (общей массой 78-26 = 52г) надо расположить по 26 г на каждую чашу весов, чтобы они оказались в равновесии.

Нам не известно какие гирьки были убраны, значит мы должны рассмотреть все возможные варианты.

Применяя правило Гаусса можно разбить гирьки на 6 пар с равным весом (по 13г):

1г и 12г, 2г и 11г, 3г и 10, 4г и 9г, 5г и 8г, 6г и 7г.

Тогда лучший вариант, когда при убирании 4 гирек уберутся две пары из приведенных выше. В этом случае у нас останутся 4 пары: 2 пары на одну чашу весов и 2 пары на другую.

Худший вариант — это когда 4 убранные гирьки разобьют 4 пары. У нас останутся 2 неразбитые пары общим весом 26г, значит их помещаем на одну чашу весов, а оставшиеся гирьки можно поместить на другую чашу весов и они тоже будут 26г.

Удачи в развитии Ваших детей.

помогите пожалуйста!! вычислите сумму натуральных чисел от 1+2+3+4+...+97+98+99+100. и получил лучший ответ

Ответ от Александр Хейнонен[гуру]
Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855) современники называли «королём математики» .
Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности. В возрасте трех лет Гаусс уже исправлял счета отца.
Рассказывают, что в начальной школе, где учился Гаусс (6 лет) , учитель, чтобы занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал задание ученикам - вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс ответил на вопрос почти мгновенно, чем невероятно удивил всех и, прежде всего, учителя.
Давайте попробуем устно решить задачу о нахождении суммы указанных выше чисел. Для начала возьмём сумму чисел от 1 до 10: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Гаусс обнаружил, что 1 + 10 = 11, и 2 + 9 = 11, и так далее. Он определил, что при сложений натуральных чисел от 1 до 10 получается 5 таких пар, и что 5 раз по 11 равно 55.
Гаусс увидел, что сложение чисел всего ряда следует проводить попарно, и составил алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Необходимо подсчитать количество пар чисел в последовательности от 1 до 100. Получаем 50 пар.
2. Складываем первое и последнее числа всей последовательности. В нашем случае это 1 и 100. Получаем 101.
3. Умножаем количество пар чисел в последовательности на полученную в пункте 2 сумму. Получаем 5050.
Таким образом, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050.
Простая формула: сумма чисел от 1 до n = n * (n+1) : 2. Вместо n подставляйте последнее число и вычисляйте.
Проверьте! Это работает!

Ответ от Ђаня Фертикова [новичек]
5050

Ответ от Михаил Медведев [активный]
5050

Ответ от Павел соломенников [новичек]
5050

Ответ от Алевтина башкова [новичек]
5050

Ответ от Ђигр Тихомирова [активный]
5050

Ответ от Мария дубровина [новичек]
5050

Ответ от Ѐавил Бадиров [новичек]
5050

Ответ от Дмитрий [активный]
5050

Ответ от Евгений Саяпов [активный]
5050

Ответ от 2 ответа [гуру]

Контрольная работа № 4«Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание». | План-конспект урока по математике (2 класс) на тему:

Математика

Тема: Контрольная работа № 4«Числа от 1 до 100. Сложение и вычитание».

Педагогические задачи: проверить умение выполнять сложение и вычитание в изученных случаях; решать выражения со скобками, решать составные задачи.

Планируемые образовательные результаты:

Личностные: имеют мотивацию к учебной деятельности; стремятся развивать внимание, память, логическое мышление, смекалку, навыки счета, аккуратность; проявляют самостоятельность, личную ответственность.

Предметные: знают, как из двузначного числа, оканчивающегося нулем, вычесть однозначное число, двузначное число, оканчивающееся нулем, двузначное число, которое не оканчивается на нуль; как сложить двузначное число, не оканчивающееся на ноль, с однозначным, двузначное и однозначное число, при сложении единиц которых получается 10; как сложить двузначное число, не оканчивающееся нулем, с однозначным, при сложении единиц которых получается двузначное число; устную и письменную нумерацию чисел в пределах 100; отличительные особенности задачи; умеют: складывать и вычитать двузначные числа в случаях вида: 36 + 2, 36 + 20, 36 – 2, 36 – 20, 26 + 4, 30 – 7, 60 – 24, 26 + 7; решать задачи и выражения изученных видов.

Метапредметные (критерии сформированности/оценки компонентов УУД): регулятивные: формулируют учебную задачу урока; планируют, контролируют и оценивают собственную деятельность, вносят корректировки, если это необходимо; способны к мобилизации волевых усилий; познавательные: формулируют познавательную цель; создают алгоритм деятельности; строят логическую цепочку рассуждений, устанавливают причинно-следственные связи; коммуникативные: умеют слушать, слышать и понимать партнеров по речевому высказыванию.

Методы и формы обучения: письменного контроля и самоконтроля; индивидуальная.

Основные понятия и термины: увеличить, уменьшить, сложение, вычитание, сумма, разность, прибавить, вычесть, задача, составная задача, выражение,

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Выполнение заданий контрольной работы.

Вариант I

1. Найдите значения выражений:

             40 + 5                76 – 70

      28 – 8        70+13

      60 – 40        26+2

  37 – 6        30+20

2. Вычислите, указав порядок действий:

        60 – (2 + 3)

          15 + (19 – 4)

3. Решите задачу:

В книге 25 страниц. Сережа начал читать книгу вчера и прочитал 8 страниц, а сегодня он прочитал еще 7 страниц. Сколько страниц осталось прочитать Сереже?

4. Сравни и поставь знак или =.

1 дм 4 см … 41см                   4м 5 дм… 40 дм    

1ч 10 мин… 80 мин        60 мин…1ч  

5. Вычисли длину ломаной линии состоящей из четырёх звеньев: 2см,5см,7см,3см.

*У брата было 5 орехов. Один орех он отдал сестренке, у которой тоже были орехи. После этого у брата и сестры орехов стало поровну. Сколько орехов было у сестры сначала?

        Вариант II 

1. Найдите значения выражений:

        50 + 5                  36 – 20                        

70 + 20        39-9

46 + 3        80-40  

     80 + 17                   56-4

2. Вычислите, указав порядок действий:

        83 + (5 – 3)

70 – (50 + 20)

3. Решите задачу:

В гараже было 20 машин. Сначала из гаража выехало 2 машины, а потом еще 8. Сколько машин осталось в гараже?

4. Сравни и поставь знак или =.

2 дм 8 см … 82см                   3м 7 дм… 30 дм    

1ч 30 мин… 90 мин        100 мин…1ч  

5. Вычисли длину ломаной линии состоящей из четырёх звеньев: 1см,4см,8см, 2см.

*У брата было 5 орехов. Один орех он отдал сестренке, у которой тоже были орехи. После этого у брата и сестры орехов стало поровну. Сколько орехов было у сестры сначала?

Тест.Числа от 1 до 100. Нумерация

Числа от 1 до 100. Нумерация. Вариант 1. Выбери правильный ответ. 1. В каком ряду записаны подряд все числа от 76 до 82? 2. Укажи число, в котором 5 десятков и 9 единиц. 3. Что обозначает цифра 4 в записи числа 47? 1) 76, 77, 78, 79, 81, 82 2) 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82 3) 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82 1) 95 2) 19 3) 59 1) десятки 2) единицы стала верной? 4. Какой знак надо поставить вместо точек, чтобы запись 23 … 32 5. Укажи запись числа «сорок» цифрами. 6. Между какими двумя числами в ряду чисел от 80 до 100 находится число 89? 7. Какое число меньше 60 на 1? 1) > 2) < 3) = 1) 14 2) 4 3) 40 1) 97 и 98 2) 87 и 99 3) 88 и 90 1) 58 2) 59 3) 61 1) 89 2) 79 3) 91 1) 20+18 2) 10+28 3) 30+8 1) 64 2) 76 3) 66 1) 48 2) 18 3) 8 8. К какому числу надо прибавить 1, чтобы получить 90? 9. Укажи запись числа 38 в виде суммы разрядных слагаемых 10. 11. Чему равно значение суммы чисел 70 и 6? Число 28 уменьши на 20. Сколько получилось? 1 12. Уменьшаемое 83, разность 3. Укажи вычитаемое 13. *Укажи число, которое больше 60, но меньше 70, и в котором число десятков на 3 больше числа единиц 14. *Какое число надо записать в «окошко», чтобы равенство 40 + 8 = __ + 1 стало верным? 1) 80 2) 86 3) 79 1) 63 2) 96 3) 74 1) 47 2) 48 3) 46 1) + 2) - 1)+ 2)- 1)+ 2)- _______________________________________________________________________ Максимальное количество баллов 16. Оценки: «5» - 16 баллов, «4» - 12 -15 баллов, «3» - 10 -11 баллов. Текстовые задачи в одно действие Выбери действие, нужное для решения задачи. 1. Витя сложил картинку из 15 частей, а Серёжа – из 10. На сколько больше частей в картинке у Вити? 2. На одной клумбе распустилось 7 роз, а на другой на 5 роз больше. Сколько роз распустилось на второй клумбе? 3. На столе стояло 5 больших тарелок и столько же маленьких. Сколько больших и маленьких тарелок стояло на столе? Числа от 1 до 100. Нумерация. 2 Выбери правильный ответ. Вариант 2. 15. В каком ряду записаны подряд, но в обратном порядке все числа от 37 до 43? 1) 43, 42, 41, 39, 38, 37 2) 43, 42, 40, 39, 38, 37 3) 43, 42, 41, 40, 39, 38, 37 1) 87 2) 78 3) 81 1) десятки 2) единицы 73 стала верной? Укажи число, в котором 8 десятков и 7 единиц. Что обозначает цифра 9 в записи числа 69? Какой знак надо поставить вместо точек, чтобы запись 37 … 19. Укажи запись числа «сорок один» цифрами. 20. Между какими двумя числами в ряду чисел от 60 до 80 находится число 79? 16. 17. 18. 21. 22. 23. 24. 25. 1) > 2) < 3) = 1) 14 2) 41 3) 1 1) 77 и 78 2) 78 и 81 3) 78 и 80 1) 68 2) 69 3) 71 1) 101 2) 99 3) 98 1) 30+17 2) 40+7 3) 20+27 1) 60 2) 76 3) 61 1) 26 2) 35 3) 97 Какое число меньше 70 на 1? К какому числу надо прибавить 1, чтобы получить 100? Укажи запись числа 47 в виде суммы разрядных слагаемых Чему равно значение разности чисел 68 и 8? Число 30 увеличь на 4. Сколько получилось? 26. Вычитаемое 90, разность 7. Укажи уменьшаемое 3 27. *Укажи число, которое больше 40, но меньше 50, и в котором число единиц на 4 больше числа десятков 28. *Какое число надо записать в «окошко», чтобы равенство 53 - __ = 49 + 1 стало верным? _______________________________________________________________________ Максимальное количество баллов 16. Оценки: «5» - 16 баллов, «4» - 12 -15 баллов, «3» - 10 -11 баллов. 1) 83 2) 99 3) 97 1) 74 2) 48 3) 59 1) 5 2) 50 3) 3 1) + 2) - 1) + 2) - Текстовые задачи в одно действие Выбери действие, нужное для решения задачи 1. Люся вырезала 9 снежинок, а её старшая сестра – 12. На сколько больше снежинок вырезала старшая сестра? 2. Большой ёж принёс 11 грибов, а маленький ёжик – на 4 гриба меньше. Сколько грибов принёс маленький ёжик? второй. Сколько всего огурцов сорвала бабушка с двух грядок? 3. Бабушка сорвала с одной грядки 6 огурцов и столько же со 1) + 2) - 4

Как научить ребенка считать до 10, 20, 100

Как правильно научить ребёнка математике

Многие ребята приходят в первый класс уже с навыками счёта и чтения, поэтому для родителей становится актуальным вопрос: как научить ребёнка считать, если он идёт в 1 класс. Сегодня есть большое число методик, которые позволяют правильно обучить ребёнка счёту — интересно, весело, в процессе игры или выполнения простых домашних дел. Важно понимать, что в отличие от взрослых, ребёнку сложно представить что-то абстрактное, поэтому предметы, о которых вы говорите при обучении счёту, должны быть понятны и знакомы малышу, чтобы он мог посмотреть на них, потрогать. Два апельсина или четыре тарелки он сможет понять, а вот абстрактные множества — вряд ли.

Не навязывайте ребёнку обучение счёту, оно должно быть лёгким, как бы между прочим, в процессе повседневных дел. Считайте привычные предметы вместе, постепенно усложняя задачки.

Когда стоит учить ребёнка считать

Большинство специалистов сходятся во мнении, что лучшее время для обучения малышей счёту — это 3-5 лет, именно в этом возрасте ребёнок начинает испытывать интерес к новым знаниям и учится устанавливать закономерности между цифрами. Однако всё очень индивидуально, поэтому если ребёнок активно осваивает мир и интересуется цифрами раньше, можно начинать обучение и с 1,5 лет. Если вы не освоили счёт в дошкольном возрасте и задаётесь вопросом, как научить ребёнка считать в первом классе, обратите внимание на методики в нашей статье.

Какие методики обучения счёту использовать

Сегодня довольно легко узнать, как научить ребёнка считать, есть проверенные методики, которые позволяют сделать это в игровой форме, интересной для ребёнка:

  • Счёт на пальцах. Эта методика помогает понять, как научить ребёнка считать до 10. Запомнить сразу десять цифр малышу будет сложно, поэтому можно начать с пяти и ориентироваться на пальцы одной руки. Познакомьте ребёнка с названиями первых пяти цифр, далее подключите вторую руку. Можно использовать игры с пальчиками, когда один исчезает или два-три пальчика встречаются вместе.
  • Использование обучающих карточек и палочек. Можно выкладывать их по одной на стол и называть цифры, потом сдвинуть одну часть палочек вправо, а другую влево и спросить, сколько палочек в каждой части. Лучше запомнить цифры ребёнку помогут карточки с изображёнными на них предметами, например, шесть шляп, два котёнка, три банана.
  • Счёт с помощью предметов. Этот метод хорош для того, чтобы понять, как научить ребёнка считать до 20. После того как ребёнок научится считать до десяти, объясните ему, что во втором десятке числа состоят из двух цифр, первой из цифр будут десятки, а второй — единицы. Для этого можно использовать две коробки — в одну положить десять кубиков, а в другую один, такой способ наглядно продемонстрирует разницу между десятками и единицами. Также предметы можно использовать, если вы хотите понять, как научить ребёнка считать десятками. Предметы или полоски необходимо выкладывать десятками друг за другом и объяснить ребёнку, что десятками считают так же, как единицами, но используют «дцать».
  • Игры с цифрами. Поиграйте с ребёнком в «магазин», выбрав, кто из вас будет продавцом, а кто — покупателем, назначьте валюту. Продавая или покупая конфеты и игрушки, ребёнок легко запомнит цифры до десяти и даже до двадцати.
  • Методика Монтессори. Этот метод схож с игрой в магазин, так как Мария Монтессори считала, что одним из лучших способов обучения счёту являются операции с деньгами или муляжами денег. Можно дать ребёнку разные монеты, например, рубль, два, пять и попросить его посчитать сумму или разменять.
Источник: freepik.com

Как научить ребёнка считать в пределах 20

Счёт до 20 для детей — как правило, второй этап. Сначала дети осваивают счёт до 10 — и тут в ход идут пальцы рук.

Чтобы научить ребёнка считать до 20, используйте две пары рук — ваши и его собственные. Ещё можно задействовать кубики, карточки, палочки или рисовать чёрточки — что душе угодно. 

Как научить ребёнка считать до 100

Расскажите ребёнку о том, что десятков всего девять, после этого назовите каждый десяток: десять, двадцать, тридцать и так далее. Предложите ему каждый день заучивать по 10 новых цифр каждого десятка. В конце дня спрашивайте, что ребёнок запомнил и повторяйте то, что он выучил в другие дни. Упростить повторение можно считая предметы, которые находятся перед вами. После того как ребёнок освоит десятки, предложите ему сыграть в игру: напишите ряд чисел с десятками и пропустите одно число в середине, попросив ребёнка вписать в этом месте пропущенное число.

Также можно использовать методику Глена Домана. Сначала ребёнку нужно показывать карточки с количеством точек не более пяти, затем с большим количеством точек — 20, 50 и далее до 100. Этот метод поможет также натренировать зрительную память.

Как научить ребёнка складывать и вычитать

Чтобы научить ребёнка решать примеры, снова нужна наглядность. Загибайте и отгибайте пальцы, убирайте и доставайте конфеты.

Сложение и вычитание — взаимообратные операции. Эту связь нужно донести ребёнку. То есть продемонстрировать, что 2+1 = 3 — это то же самое, что 3−1 = 2 и 3−2 = 1. Если ребёнок усвоил принцип, проблем с другими числами не возникнет. 

Как правильно научить ребёнка считать столбиком

Когда числа до 100 освоены, встаёт вопрос, как научить ребёнка считать столбиком? Объясните, что в сложении и вычитании все действия с цифрами происходят по разрядам: десятки с десятками, единицы с единицами. Например: 31+12, тройка складывается с единицей, единица с двойкой. 

Как научить ребёнка первого класса считать в столбик? Для того чтобы упростить процесс, можно воспользоваться тренировочными упражнениями — записывать числа друг под другом, например, внизу число 6, вверху число 12. Важно объяснить ребёнку, что цифра 6 должна стоять под цифрой 2, а не 1, так как относится к единицам.

Начните с простых примеров, где цифры при сложении образуют число меньше 10. Дальше можно переходить к примерам посложнее: 25+16, в этом случае сложение единиц даёт число 11, важно объяснить ребёнку, что под чертой равно к единицам нужно записать цифру один, а вторую цифру запомнить и добавить к десяткам, получится 2+1+1=4. 

В случае с вычитанием нужно также начать с простых примеров, постепенно переходя к более сложным. Например: 25-16, в столбике, где стоят единицы, 5 меньше 6, объяснить ребёнку, что в этом случае мы как бы «занимаем» у десятков единицу.

Чтобы поддержать интерес ребёнка к освоению счёта и привить любовь к математике, важно в начальной школе развивать его активность и объяснять предмет в лёгкой и понятной форме. В начальной школе «Фоксфорда» занятия по математике ведут практикующие педагоги, методисты высшей категории, они знают, как заинтересовать ребят предметом и помогают с лёгкостью освоить и искренне полюбить математику.

<<Блок перелинковки>>

Источник: freepik.com

Резюме

Нет обязательного требования учить ребёнка считать до школы, но лучше поддерживать в нём природное стремление к новым знаниям и открытиям. Начинать учить малыша счёту можно с 3-5 лет, сначала до десяти, потом до ста. Когда десятки и единицы изучены, приступайте к изучению сложения и вычитания. Важно действовать мягко и прививать ребёнку любовь к числам и математике. С этим вам помогут профессиональные педагоги начальной школы «Фоксфорда».

перестановок - сколько списков из 100 чисел (только от 1 до 10) добавляют к 700?

A066099 имеет красивый шаблон визуальной генерации композиций из $ n $ (перечисление их в обратном лексическом порядке):

  От Омара Э. Пола, 3 сентября 2013 г .:

----------------------------------- ----------
n j Диаграмма Состав j Длина строки
----------------------------------- ----------
. _
1 1 | _ | 1; 1
. _ _
2 1 | _ | 2, 1
2 2 | _ | _ | 1, 1; 2
._ _ _
3 1 | _ | 3, 1
3 2 | _ | _ | 2, 1, 2
3 3 | | _ | 1, 2, 2
3 4 | _ | _ | _ | 1, 1, 1; 3
. _ _ _ _
4 1 | _ | 4, 1
4 2 | _ | _ | 3, 1, 2
4 3 | | _ | 2, 2, 2
4 4 | _ | _ | _ | 2, 1, 1, 3
4 5 | | _ | 1, 3, 2
4 6 | | _ | _ | 1, 2, 1, 3
4 7 | | | _ | 1, 1, 2, 3
4 8 | _ | _ | _ | _ | 1, 1, 1, 1; 4
.{699} $. 

О задействованной рекурсии:

  1. Список композиций для $ n + 1 $ можно получить, используя сначала копию списка для $ n $.
  2. Затем мы помещаем столбец из $ 1 $ элементов слева от этого списка.
  3. Наконец, мы поместили еще одну копию списка для $ n $ сверху, сдвинули на одну позицию влево, выровняв столбец с элементами $ 1 $ и добавив $ 1 $ к каждой записи в первом столбце копии.

Боковое примечание: уже интересно посмотреть, как меняются длины рядов:

1
1 2
1 2 2 3
1 2 2 3 2 3 3 4
1 2 2 3 2 3 3 4 2 3 3 4 3 4 4 5

Если у нас есть $ 2 ^ n $ терминов, мы находим следующие $ 2 ^ n $ терминов, копируя первые $ 2 ^ n $ терминов плюс 1 $ каждый.

Это ведет к A063787 и связано с A000120 (двоичный вес $ n $). Они описаны как фрактальных последовательностей - удаление каждого второго члена дает исходный ряд.

Четные числа - Math28

%MINIFYHTML18eeabdac24ebdbfb03d42fe9fea353d29%

Содержимое

Какие четные числа?

Четные числа - это числа, которые можно разделить на 2 и получить точное число, поэтому четное число не может иметь десятичных знаков.

Еще одна альтернатива проверки четности числа - это когда последняя цифра или цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8.

Примечание : Число 0 считается четным.

В математической форме это 2n, где n - целое число, например: проверьте, является ли 32 четным числом:

2n = 32
n = 32/2 = 6

Следовательно, 32 - четное число.

Примечание : Отрицательные числа также могут быть четными.


Операции с четными числами

Сложите и вычтите, чтобы получить четное число

При сложении или вычитании четного числа с другим четным числом результатом будет четное число.

четное число + четное число = четное число

При сложении или вычитании нечетного числа с нечетным числом результатом будет четное число.

нечетное число + нечетное число = четное число

Узнать больше о: « Sum ». →

Узнайте больше о: « Вычитание ». →

Умножение для получения четного числа

При умножении четного числа на другое четное число получается четное число.

четное число x четное число = четное число

При умножении четного числа на нечетное получается четное число.

четное число x нечетное число = четное число
нечетное число x четное число = четное число

Узнайте больше о: « Умножение ». →


Четные числа от 1 до 100

В таблице показаны четные числа на синем фоне.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Четные числа от 1 до 100: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42. , 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92 , 94, 96, 98 и 100.

Из таблицы можно заметить, что каждое четное число имеет последним числом 2, 4, 6, 8 или 0, и каждое число с белым цветом фона соответствует нечетным числам.

Подробнее о: « Нечетные числа ». →

Сумма первых n членов серии

%MINIFYHTML18eeabdac24ebdbfb03d42fe9fea353d30%

Сумма членов последовательности называется серии .

Если последовательность является арифметика или же геометрический есть формулы для нахождения суммы первых п термины, обозначенные S п , без фактического добавления всех терминов.

(Обратите внимание, что последовательность не может быть ни арифметической, ни геометрической, и в этом случае вам нужно будет добавить с помощью грубой силы или какой-либо другой стратегии.)

Сумма членов арифметической последовательности (арифметической последовательности)

Чтобы найти сумму первых п члены арифметической последовательности используют формулу,
S п знак равно п ( а 1 + а 2 ) 2 ,
где п это количество терминов, а 1 это первый член и а п это последний срок.

Пример 1:

Найдите сумму первых 20 члены арифметического ряда, если а 1 знак равно 5 и а 20 знак равно 62 .

S 20 знак равно 20 ( 5 + 62 ) 2 S 20 знак равно 670

Пример 2:

Найдите сумму первых 40 члены арифметической последовательности
2 , 5 , 8 , 11 , 14 , ⋯

Сначала найдите 40 th срок:

а 40 знак равно а 1 + ( п - 1 ) d знак равно 2 + 39 ( 3 ) знак равно 119

Затем найдите сумму:

S п знак равно п ( а 1 + а п ) 2 S 40 знак равно 40 ( 2 + 119 ) 2 знак равно 2420

Пример 3:

Найдите сумму:

∑ k знак равно 1 50 ( 3 k + 2 )

Первая находка а 1 и а 50 :

а 1 знак равно 3 ( 1 ) + 2 знак равно 5 а 20 знак равно 3 ( 50 ) + 2 знак равно 152

Затем найдите сумму:

S k знак равно k ( а 1 + а k ) 2 S 50 знак равно 50 ( 5 + 152 ) 2 знак равно 3925

Сумма членов геометрической последовательности (геометрического ряда)

Чтобы найти сумму первых п термины геометрической последовательности используют формулу,
S п знак равно а 1 ( 1 - р п ) 1 - р , р ≠ 1 ,
где п это количество терминов, а 1 это первый член и р это обычное отношение .

Пример 4:

Найдите сумму первых 8 члены геометрического ряда, если а 1 знак равно 1 и р знак равно 2 .

S 8 знак равно 1 ( 1 - 2 8 ) 1 - 2 знак равно 255

Пример 5:

Находить S 10 геометрического ряда 24 + 12 + 6 + ⋯ .

Сначала найдите р .

р знак равно р 2 р 1 знак равно 12 24 знак равно 1 2

Теперь найдите сумму:

S 10 знак равно 24 ( 1 - ( 1 2 ) 10 ) 1 - 1 2 знак равно 3069 64

Пример 6:

Оценивать.

∑ п знак равно 1 10 3 ( - 2 ) п - 1

(Вы находите S 10 для сериала 3 - 6 + 12 - 24 + ⋯ , обыкновенное отношение которого - 2 .)

S п знак равно а 1 ( 1 - р п ) 1 - р S 10 знак равно 3 [ 1 - ( - 2 ) 10 ] 1 - ( - 2 ) знак равно 3 ( 1 - 1024 ) 3 знак равно - 1023

Смотрите также: сигма-обозначение ряда

C Программа для вычисления суммы нечетных и четных чисел

%MINIFYHTML18eeabdac24ebdbfb03d42fe9fea353d31%

Это программа на языке C для поиска суммы нечетных и четных чисел от 1 до N.

Описание проблемы

Программа берет число N и находит сумму нечетных и четных чисел от 1 до N.

Решение проблемы

1. Возьмите число N, до которого мы должны найти сумму, в качестве входных данных.
2. Используя цикл for, возьмите элементы один за другим от 1 до N.
3. С помощью операторов if, else разделите элемент как четный или нечетный.
4. Сложите отдельно четные и нечетные числа и сохраните их в разных переменных.
5. Выведите сумму отдельно и выйдите.

Программа / исходный код

Вот исходный код программы на языке C для вычисления суммы нечетных и четных чисел. Программа на C успешно скомпилирована и запускается в системе Linux. Вывод программы также показан ниже.

  1.  
  2.  #include  
  3.  
  4.  void main () 
  5.  {
  6.  int i, num, odd_sum = 0, even_sum = 0; 
  7.  
  8.  printf («Введите значение числа \ n»); 
  9.  scanf ("% d", & num); 
  10.  для (i = 1; i <= num; i ++) 
  11.  {
  12.  if (i% 2 == 0) 
  13.  even_sum = even_sum + i; 
  14.  еще 
  15.  odd_sum = odd_sum + i; 
  16. } 
  17.  printf («Сумма всех нечетных чисел =% d \ n», odd_sum); 
  18.  printf («Сумма всех четных чисел =% d \ n», even_sum); 
  19. } 

Описание программы

1.Пользователь должен сначала ввести число, до которого он хочет найти сумму, которая сохраняется в переменной num.
2. Используя цикл for, возьмите элементы один за другим от 1 до num.
3. Используйте оператор if, else для каждого элемента, чтобы определить, является ли он четным или нечетным, разделив элемент на 2.
4. Инициализируйте переменные odd_sum и even_sum равными нулю.
5. Если элемент четный, увеличьте значение переменной even_sum на текущий элемент.
6. Если элемент нечетный, увеличьте значение переменной odd_sum на текущий элемент.
7. Вывести переменные odd_sum и even_sum отдельно и выйти.

Случаи тестирования

 Случай 1:
Введите значение числа
10
Сумма всех нечетных чисел = 25
Сумма всех четных чисел = 30

Случай 2:
Введите значение числа
100
Сумма всех нечетных чисел = 2500
Сумма всех четных чисел = 2550 

Sanfoundry Global Education & Learning Series - Программы 1000 C.

Вот список лучших справочников по программированию, структурам данных и алгоритмам на C

Примите участие в конкурсе сертификации Sanfoundry, чтобы получить бесплатную Почетную грамоту.Присоединяйтесь к нашим социальным сетям ниже и будьте в курсе последних конкурсов, видео, стажировок и вакансий!

Сложение двух чисел - WebMath

Быстро! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике ... Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions, Convert to a decimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLinesLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансовМатематика, Практика многочленов по математике, Практика основМетрическая система, Преобразование чисел, Сложение чисел, Вычисление с числами, Вычисление с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение числовых линий, Числовые строки, Разместите значения чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание числа слагаемых, Вычитание числа Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов многочленов, Факторинг триномов многочленов, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, Что они представляют собой Устранение, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, УмножениеФормы, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение, Упрощение продуктов, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упрощение, Упражнение , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Список нечетных чисел - ChiliMath

Не стесняйтесь ознакомиться с концепцией нечетных чисел.Щелкните изображение ниже, чтобы перейти к моему уроку о нечетных числах.

Если вы ищете исчерпывающий список нечетных чисел от 1 до 1000 , это место для вас!

Я разбил нечетные числа на десять (10) групп.


Нечетные числа от 1 до 100

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99

Нечетные числа от 101 до 200

101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
121
123
125
127
129
131
133
135
137
139
141
143
145
147
149
151
153
155
157
159
161
163
165
167
169
171
173
175
177
179
181
183
185 900 28 187
189
191
193
195
197
199

Нечетные числа от 201 до 300

201
203
205
207
209
211
213
215
217
219
221
223
225
227
229
231
233
235
237
239
241
243
245
247
249
251
253
255
257
259
261
263
265
267
269
271
273 275
277
279
281
283
285
287
289
291
293
295
297
299

Нечетные числа от 301 до 400

301
303
305
307
309

8 311

315
317
319
321
323
325
327
329
331
333
335
337
339
341
343
345
347
349
351
353
355
357
359
361
363
365
367
369
371
373
375
377
379
381
383
385
387
389
391
393
395
397
399

Нечетные числа от 401 до 500

900 401
403
405
407
409
411
413
415
417
419
421
423
425
427
429
431
433
435
437
439
441
443
445
447
451
453
455
457
459
461
463
465
467
469
471
473
475
477
479
481
483
485
487
489
491
493
495
497

Нечетные числа от 501 до 600

501
503
505
507
509
511
513
515
517
519
521
523
525
527
529
531
533
535
537
539
541
543
545
547
549
551
553
555
557
559
561
563
565
567
569
571
573
575
577
579
581
583
587
589
591
593
595
597
599

Нечетные числа от 601 до 700

601
603
605
607
609
611
613
615
617
619
621 623
623 900
627
629
631
633
635
637
639
641
643
645
647
649
651
653
655
657
659
661
663
665
667
669
671 673
677
679
681
683
685
687
689
691
693
695
697
699

Нечетные числа от 701 до 800

701
703
705
707
709
711 9 0028 713
715
717
719
721
723
725
727
729
731
733
735
737
739
741
743
745
747
749
751
753
755
757 728 759
763
765
767
769
771
773
775
777
779
781
783
785
787
789
791
793
795
797
799

Нечетные номера от 801 до 900

9000 801
803
805
807
809
811
813
815
817
819
821
823
825
827
829
831
833
835
837
839
841
843
845

28 847
851
853
855
857
859
861
863
865
867
869
871
873
875
877
879
881
883
885
887
889
891
893
895
897
891
893
895
897

Нечетные числа от 901 до 1000

901
903
905
907
909
911
913
915
917
919
921
923
925
927
929
931
933
935
929 939
941
943
945
947
949
951
953
955
957
959
961
963
965
967
969
971
973
975
977
979
981
983 9007 985
989
991
993
995
997
999


Вас также может заинтересовать:

Список четных чисел

Что такое нечетное число?

Что такое четное число?

Автоматическая нумерация строк - Excel

В отличие от других программ Microsoft Office, Excel не имеет кнопки для автоматической нумерации данных.Но вы можете легко добавлять последовательные числа к строкам данных, перетаскивая дескриптор заполнения, чтобы заполнить столбец серией чисел, или с помощью функции СТРОКА.

Совет: Если вы ищете более продвинутую систему автоматической нумерации для ваших данных и на вашем компьютере установлен Access, вы можете импортировать данные Excel в базу данных Access. В базе данных Access вы можете создать поле, которое автоматически генерирует уникальный номер, когда вы вводите новую запись в таблицу.

Что ты хочешь сделать?

Заполните столбец серией чисел

  1. Выберите первую ячейку в диапазоне, который вы хотите заполнить.

  2. Введите начальное значение серии.

  3. Введите значение в следующую ячейку, чтобы установить шаблон.

    Совет: Например, если вам нужны серии 1, 2, 3, 4, 5..., введите 1 и 2 в первых двух ячейках. Если вам нужны серии 2, 4, 6, 8 ..., введите 2 и 4 .

  4. Выберите ячейки, содержащие начальные значения.

    Примечание. В Excel 2013 и более поздних версиях кнопка Быстрый анализ отображается по умолчанию, когда вы выбираете более одной ячейки, содержащей данные. Вы можете проигнорировать кнопку, чтобы завершить эту процедуру.

  5. Перетащите маркер заполнения по всему диапазону, который вы хотите заполнить.

    Примечание: Когда вы перетаскиваете маркер заполнения через каждую ячейку, Excel отображает предварительный просмотр значения. Если вам нужен другой узор, перетащите маркер заливки, удерживая нажатой кнопку правой кнопки мыши, а затем выберите узор.

    Для заполнения в порядке возрастания перетащите вниз или вправо.Для заполнения в порядке убывания перетащите вверх или влево.

    Примечание: Эти номера не обновляются автоматически при добавлении, перемещении или удалении строк. Вы можете вручную обновить последовательную нумерацию, выбрав два числа в правильной последовательности, а затем перетащив маркер заполнения в конец пронумерованного диапазона.

Используйте функцию СТРОКА для нумерации строк

  1. В первой ячейке диапазона, который вы хотите пронумеровать, введите = СТРОКА (A1) .

    Функция ROW возвращает номер строки, на которую вы ссылаетесь. Например, = СТРОКА (A1) возвращает число 1 .

  2. Перетащите маркер заполнения по всему диапазону, который вы хотите заполнить.

  • Эти числа обновляются, когда вы сортируете их с вашими данными. Последовательность может быть прервана, если вы добавляете, перемещаете или удаляете строки.Вы можете вручную обновить нумерацию, выбрав два числа в правильной последовательности, а затем перетащив маркер заполнения в конец пронумерованного диапазона.

  • Если вы используете функцию ROW и хотите, чтобы числа вставлялись автоматически при добавлении новых строк данных, превратите этот диапазон данных в таблицу Excel. Все строки, добавленные в конец таблицы, нумеруются последовательно. Дополнительные сведения см. В разделе Создание или удаление таблицы Excel на листе.

Для ввода определенных последовательных числовых кодов, таких как номера заказа на поставку, вы можете использовать функцию СТРОКА вместе с функцией ТЕКСТ . Например, чтобы начать нумерованный список с использованием 000-001 , вы вводите формулу = ТЕКСТ (СТРОКА (A1), «000-000») в первую ячейку диапазона, который вы хотите пронумеровать, и затем перетащите маркер заполнения в конец диапазона.

Показать или скрыть маркер заполнения

Ручка заполнения отображается по умолчанию, но вы можете включить или выключить его.

  1. В Excel 2010 и более поздних версиях щелкните вкладку Файл , а затем щелкните Параметры .

    В Excel 2007 нажмите кнопку Microsoft Office , а затем щелкните Параметры Excel .

  2. В категории Advanced в разделе Параметры редактирования установите или снимите флажок Включить маркер заполнения и флажок с перетаскиванием ячейки, чтобы отобразить или скрыть маркер заполнения.

Примечание: Чтобы предотвратить замену существующих данных при перетаскивании маркера заполнения, убедитесь, что установлен флажок «Предупреждение перед перезаписью ячеек». . Если вы не хотите, чтобы Excel отображал сообщение о перезаписи ячеек, вы можете снять этот флажок.

См. Также

Обзор формул в Excel

Как избежать неправильных формул

Найдите и исправьте ошибки в формулах

Сочетания клавиш и функциональные клавиши Excel

Функции поиска и ссылки (ссылка)

Функции Excel (по алфавиту)

Функции Excel (по категориям)

.

Leave a Reply